Espera-se que um imóvel renda um aluguel líquido de €2 000 no próximo ano. Espera-se que o aluguel cresça 1,5% ao ano para sempre. O retorno exigido é 6,5% ao ano. Encontre o valor PV do imóvel hoje.
C1 = €2 000g = 1,5%r = 6,5%
PV = €
2.Valor temporal do dinheiroDifícil
Poupa €100 no fim de cada mês durante 16 anos. A conta rende 2,4 % ao ano, capitalizada mensalmente. Quanto poupou no fim? Calcule FV.
A = €1002,4% / 12N = 192
FV = €
3.VAL e TIRMédia
Um investimento de €45 000 gera estes fluxos no fim dos anos 1 a 4: €10 000, €17 000, €20 000, €22 000. O custo do capital é de 7,000000000000001 %. Calcule o valor atual líquido NPV.
Um projeto custa €20 000 e devolve €10 500, €10 000, €14 500 no fim dos anos 1 a 3. Calcule a sua taxa interna de rendibilidade IRR em percentagem.
CF0 = −20 000CF1 = 10 500CF2 = 10 000CF3 = 14 500
IRR = %
5.Preço e rendimento de títulosMédia
Um título com valor de face de €1 000 paga um cupom anual de 4,5% em dois pagamentos semestrais e vence em 4 anos. O rendimento até o vencimento é de 7% ao ano. Calcule o preço P do título.
F = €1 000cupom = 4,5%YTM = 7%n = 4
P = €
6.Preço e rendimento de títulosDifícil
Um título com valor de face de €1 000 e cupom anual de 6% vence em 6 anos e é vendido por €910. Calcule seu rendimento até o vencimento YTM em porcentagem.
F = €1 000cupom = 6%n = 6P = €910
YTM = %
7.CAPM e WACCMédia
Uma empresa tem capital próprio de €6 000 000 e dívida de €6 000 000. Seu custo do capital próprio é 14%, seu custo da dívida antes dos impostos é 5% e a alíquota de imposto é 30%. Calcule o WACC.
Uma empresa tem 2 500 000 ações a €22,00 cada e 40 000 títulos negociados a €1 050 cada. O custo da dívida antes dos impostos é 3,5% e a alíquota de imposto é 25,8%. O beta da ação é 1,5, a taxa livre de risco é 3% e o retorno do mercado é 9,5%. Calcule o WACC.
β = 1,5rf = 3%rm = 9,5%rd = 3,5%T = 25,8%
WACC = %
9.Estatística descritivaMédia
Calcule o desvio-padrão amostral s dos dados: 54, 28, 29, 45, 60, 11.
n = 6
s =
10.Estatística descritivaDifícil
As notas de um exame seguem uma distribuição normal com média 50 e desvio-padrão 10. Calcule a pontuação z z de uma nota de 62,5.
μ = 50σ = 10x = 62,5
z =
11.ProbabilidadesMédia
Para a distribuição mostrada, encontre a variância Var(X) de X.
x: 0, 1, 2, 3p(x): 0,35, 0,3, 0,3, 0,05
Var(X) =
12.ProbabilidadesDifícil
X tem a distribuição mostrada e Y = 2X + 1. Encontre o desvio padrão σY de Y.
x: 0, 1, 2, 3p(x): 0,35, 0,3, 0,3, 0,05Y = 2X + 1
σY =
13.Distribuição normalMédia
Arraste z para que a área sombreada sob a curva normal padrão, à direita de z, seja 0,9406. Encontre z com duas casas decimais.
A = 0,9406
z =
14.Distribuição normalDifícil
As massas de sacos seguem uma distribuição normal com média 250 g e desvio-padrão 5 g. Calcule o valor x abaixo do qual estão 25% delas (o percentil 25).
μ = 250σ = 5P = 25%
x = g
15.Intervalos de confiançaMédia
A pressão arterial de 9 pacientes é medida antes e depois de um tratamento. As diferenças d = antes − depois (mmHg) têm média 5,6 e desvio-padrão 3,5. Encontre o limite superior do intervalo de confiança de 99% para a diferença média.
n = 9d̄ = 5,6sd = 3,599%t(8) = 3,355
limite superior = mmHg
16.Intervalos de confiançaDifícil
O desvio-padrão da população é 13. Qual o tamanho de amostra n necessário para que um intervalo de confiança de 95% para a média tenha margem de erro de no máximo 1?
σ = 13E = 195%
n =
17.Testes de hipóteses e intervalos de confiançaMédia
Uma amostra de 49 estudantes tem nota média 498,7 e desvio-padrão amostral 10. Calcule a estatística de teste t para H₀: μ = 500.
μ₀ = 500x̄ = 498,7s = 10n = 49
t =
18.Testes de hipóteses e intervalos de confiançaDifícil
Uma amostra de 49 medições tem média 120,8. O desvio-padrão da população é 4. Calcule o limite superior U do intervalo de confiança a 99 % para a média.
x̄ = 120,8σ = 4n = 4999%
U =
19.Regressão linear e correlaçãoMédia
A tabela dá 6 observações pareadas de x = horas de estudo e y = nota na prova. Encontre o coeficiente de correlação de Pearson r.
n = 6
r =
20.Regressão linear e correlaçãoDifícil
A tabela dá 5 observações pareadas de x = temperatura em °C e y = sorvetes vendidos. Use a reta de mínimos quadrados ŷ = a + b·x. Preveja ŷ para x = 26,5.
n = 5x = 26,5
ŷ =
3Soluções
1.Valor temporal do dinheiro
Resposta: PV = 40000 €
Valor temporal do dinheiro: o dinheiro hoje vale mais do que a mesma quantia no futuro, porque pode render juros. Com uma taxa i por período, um montante cresce para FV = PV·(1 + i)n. Uma série de pagamentos iguais (uma renda) avalia-se somando cada pagamento, o que dá as fórmulas das rendas.
Valor temporal do dinheiro: o dinheiro hoje vale mais do que a mesma quantia no futuro, porque pode render juros. Com uma taxa i por período, um montante cresce para FV = PV·(1 + i)n. Uma série de pagamentos iguais (uma renda) avalia-se somando cada pagamento, o que dá as fórmulas das rendas.
Valor atual líquido: desconte cada fluxo de caixa até hoje com a rendibilidade exigida r e some-os: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Um projeto com NPV > 0 rende mais do que r e cria valor. A taxa interna de rendibilidade (TIR) é a taxa para a qual NPV = 0.
Valor atual de cada fluxo
CF0 = −45 000
CF1/(1 + 0,07)1 = 10 000/1,07 = 9 345,79
CF2/(1 + 0,07)2 = 17 000/1,145 = 14 848,46
CF3/(1 + 0,07)3 = 20 000/1,225 = 16 325,96
CF4/(1 + 0,07)4 = 22 000/1,311 = 16 783,69
Somar
NPV = €12 303,90
Resposta
NPV = €12 303,90
O VAL é positivo, logo o projeto rende mais do que a rendibilidade exigida.
4.VAL e TIR
Resposta: IRR = 31,99 %
Valor atual líquido: desconte cada fluxo de caixa até hoje com a rendibilidade exigida r e some-os: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Um projeto com NPV > 0 rende mais do que r e cria valor. A taxa interna de rendibilidade (TIR) é a taxa para a qual NPV = 0.
Enquadrar a TIR
O VAL desce quando a taxa sobe, por isso a TIR está entre uma taxa com VAL positivo e outra com VAL negativo.
NPV(30%) = 593,99
NPV(35%) = −841,84
Aproximar
A interpolação linear dá uma primeira estimativa; repeti-la (ou usar a função TIR de uma calculadora) dá a taxa exata.
IRR ≈ 30 + 5·593,99/(593,99 − (−841,84)) = 32,07%
exato: NPV(31,99%) = 0 → IRR = 31,99%
Resposta
IRR = 31,99%
5.Preço e rendimento de títulos
Resposta: P = 914,1 €
Precificação de títulos: o preço de um título é o valor presente dos seus fluxos de caixa, descontados ao rendimento até o vencimento (YTM): os cupons formam uma anuidade e o valor de face é devolvido no vencimento. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando o rendimento está acima da taxa de cupom, o título é negociado abaixo do valor de face, e vice-versa.
Por período
C = €22,50, i = 0,035, N = 8
Valor presente dos cupons
€22,50·(1 − 0,7594)/0,035 = €154,66
Valor presente do valor de face
€1 000·0,7594 = €759,41
Preço
P = €914,08
Resposta
P = €914,08
O rendimento está acima da taxa de cupom, então o título é vendido com deságio.
6.Preço e rendimento de títulos
Resposta: YTM = 7,944 %
Precificação de títulos: o preço de um título é o valor presente dos seus fluxos de caixa, descontados ao rendimento até o vencimento (YTM): os cupons formam uma anuidade e o valor de face é devolvido no vencimento. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando o rendimento está acima da taxa de cupom, o título é negociado abaixo do valor de face, e vice-versa.
Equação do rendimento
€910 = €60·(1 − (1 + y)⁻⁶)/y + €1 000/(1 + y)⁶
Resolva numericamente
P(7%) = €952,33, P(8%) = €907,54
YTM = 7,944%
Resposta
YTM = 7,944%
7.CAPM e WACC
Resposta: WACC = 8,75 %
Custo de capital: o CAPM dá o retorno exigido pelos acionistas: re = rf + β·(rm − rf). O custo médio ponderado de capital combina capital próprio e dívida pelos seus valores de mercado: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), com V = E + D. Os juros são dedutíveis do imposto, daí o (1 − T).
Pesos
V = €12 000 000, E/V = 0,5, D/V = 0,5
WACC
WACC = 0,5·14% + 0,5·5%·(1 − 0,3) = 8,75%
Resposta
WACC = 8,75%
8.CAPM e WACC
Resposta: WACC = 8,354 %
Custo de capital: o CAPM dá o retorno exigido pelos acionistas: re = rf + β·(rm − rf). O custo médio ponderado de capital combina capital próprio e dívida pelos seus valores de mercado: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), com V = E + D. Os juros são dedutíveis do imposto, daí o (1 − T).
Estatística descritiva: a média é a soma a dividir por n; a mediana é o valor central dos dados ordenados (a média dos dois centrais se n for par). O desvio-padrão amostral é s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Uma pontuação z = (x − μ)/σ diz a quantos desvios-padrão da média está um valor.
Estatística descritiva: a média é a soma a dividir por n; a mediana é o valor central dos dados ordenados (a média dos dois centrais se n for par). O desvio-padrão amostral é s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Uma pontuação z = (x − μ)/σ diz a quantos desvios-padrão da média está um valor.
Padronizar
z = (62,5 − 50)/10 = 1,25
Resposta
z = 1,25
11.Probabilidades
Resposta: Var(X) = 0,8475
Variáveis aleatórias discretas: uma distribuição de probabilidade lista cada valor x que uma variável pode assumir com sua probabilidade p(x); as probabilidades ficam entre 0 e 1 e somam 1. O valor esperado (média) é E(X) = Σx·p(x), a média de longo prazo. A variância é Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², e o desvio padrão é σ = √Var(X). Para uma mudança linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) e σY = |a|·σX; somar uma constante não muda a dispersão.
Média
μ = 0·0,35 + 1·0,3 + 2·0,3 + 3·0,05 = 1,05
Média dos quadrados
E(X²) = 0·0,35 + 1·0,3 + 4·0,3 + 9·0,05 = 1,95
Variância
Var(X) = 1,95 − 1,05² = 0,8475
Resposta
Var(X) = 0,8475
12.Probabilidades
Resposta: σY = 1,841
Variáveis aleatórias discretas: uma distribuição de probabilidade lista cada valor x que uma variável pode assumir com sua probabilidade p(x); as probabilidades ficam entre 0 e 1 e somam 1. O valor esperado (média) é E(X) = Σx·p(x), a média de longo prazo. A variância é Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², e o desvio padrão é σ = √Var(X). Para uma mudança linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) e σY = |a|·σX; somar uma constante não muda a dispersão.
Dispersão de X
μ = 1,05, Var(X) = 0,8475, σX = 0,9206
Mudança linear
σY = |2|·0,9206 = 1,841
Resposta
σY = 1,841
A média de fato se desloca: E(Y) = 2·1,05 + 1 = 3,1.
13.Distribuição normal
Resposta: z = −1,56
De uma área de volta a z: Φ(z) é a área à esquerda de z. Para uma área de cauda esquerda A, encontre na tabela o z com Φ(z) = A. Uma área de cauda direita A significa Φ(z) = 1 − A. Uma área central A entre −z e z deixa (1 − A)/2 em cada cauda, então Φ(z) = (1 + A)/2. Para um valor x, use x = μ + zσ.
Área à esquerda de z
Φ(z) = 1 − 0,9406 = 0,0594
Leia a tabela de z ao contrário
Encontre 0,0594 dentro da tabela e leia z.
z = −1,56
Resposta
z = −1,56
14.Distribuição normal
Resposta: x = 246,6 g
Distribuição normal: converta um valor x em uma pontuação z, z = (x − μ)/σ, que conta quantos desvios-padrão ele está da média. Uma tabela z (ou Φ(z)) dá a área à esquerda de z, que é P(X < x). A área à direita é 1 − Φ(z), e a área entre dois valores é a diferença entre as duas áreas.
z do percentil
Φ(z) = 0,25 → z = −0,6745
De volta a x
x = 250 + −0,6745·5 = 246,63 g
Resposta
x = 246,63 g
15.Intervalos de confiança
Resposta: limite superior = 9,514 mmHg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Valor crítico
df = 8, t = 3,355
Margem de erro
E = 3,355·3,5/√9 = 3,914
Intervalo
5,6 ± 3,914 → [1,686, 9,514]
Resposta
limite superior = 9,514 mmHg
16.Intervalos de confiança
Resposta: n = 650
Intervalo de confiança para uma média: x̄ ± margem de erro. Com σ populacional conhecido, a margem é z·σ/√n; tendo apenas o desvio-padrão amostral s, use t com n − 1 graus de liberdade: t·s/√n. Valores críticos: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Para obter uma margem E ou menor, você precisa de n ≥ (z·σ/E)², arredondado para cima.
Resolver em ordem a n
n = (1,96·13/1)² = 649,2
Arredondar para cima
O tamanho da amostra é um número inteiro, e arredondar para baixo deixaria a margem grande demais.
n = 650
Resposta
n = 650
17.Testes de hipóteses e intervalos de confiança
Resposta: t = −0,91
Teste a uma média: a estatística de teste mede a quantos erros-padrão a média amostral está do valor afirmado em H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) quando σ é conhecido, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) quando é estimado pela amostra. Um intervalo de confiança é x̄ ± (valor crítico)·(erro-padrão).
Erro-padrão
SE = 10/√49 = 10/7 = 1,429
Estatística de teste
t = (498,7 − 500)/1,429 = −0,91
Resposta
t = −0,91
t0,025; df = 48 = 2,011
|t| < 2.011, então H₀ não é rejeitada ao nível de 5% (bilateral).
18.Testes de hipóteses e intervalos de confiança
Resposta: U = 122,3
Teste a uma média: a estatística de teste mede a quantos erros-padrão a média amostral está do valor afirmado em H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) quando σ é conhecido, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) quando é estimado pela amostra. Um intervalo de confiança é x̄ ± (valor crítico)·(erro-padrão).
Margem de erro
E = 2,576·4/√49 = 1,472
Limite do intervalo
U = 120,8 + 1,472 = 122,3
Resposta
U = 122,3
19.Regressão linear e correlação
Resposta: r = 0,9683
Regressão por mínimos quadrados: com x̄ e ȳ as médias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), a reta ŷ = a + b·x tem inclinação b = Sxy/Sxx e intercepto a = ȳ − b·x̄, então ela sempre passa por (x̄, ȳ). O coeficiente de correlação de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) fica entre −1 e 1; r² é a fração da variação de y explicada pela reta.
Médias
x̄ = 21/6 = 3,5
ȳ = 297/6 = 49,5
Somas de quadrados e de produtos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 92,5
Syy = Σ(y − ȳ)² = 521,5
Coeficiente de correlação
r = 92,5/√(17,5·521,5) = 0,9683
Resposta
r = 0,9683
20.Regressão linear e correlação
Resposta: ŷ = 100,9
Regressão por mínimos quadrados: com x̄ e ȳ as médias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), a reta ŷ = a + b·x tem inclinação b = Sxy/Sxx e intercepto a = ȳ − b·x̄, então ela sempre passa por (x̄, ȳ). O coeficiente de correlação de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) fica entre −1 e 1; r² é a fração da variação de y explicada pela reta.
Médias
x̄ = 110/5 = 22
ȳ = 394/5 = 78,8
Somas de quadrados e de produtos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 90
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 441
Reta de regressão
b = 441/90 = 4,9
a = 78,8 − 4,9·22 = −29
ŷ = −29 + 4,9·x
Previsão
ŷ = −29 + 4,9·26,5 = 100,9
Resposta
ŷ = 100,9
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