Investe €1 000 a uma taxa nominal de 4 % ao ano, capitalizada mensalmente. Calcule o valor FV do investimento ao fim de 5 anos.
PV = €1 0004% / 12n = 5
FV = €
2.Valor temporal do dinheiroDifícil
Um financiamento imobiliário de €250 000 é pago em prestações mensais iguais ao longo de 20 anos a 6% ao ano, capitalizados mensalmente. Quanto ainda se deve logo após o pagamento do final do ano 14? Encontre o saldo devedor B.
P = €250 0006% / 12N = 240k = 168
B = €
3.VAL e TIRMédia
Um investimento de €75 000 gera estes fluxos no fim dos anos 1 a 3: €36 000, €18 000, €16 000. O custo do capital é de 10 %. Calcule o valor atual líquido NPV.
Um projeto custa €10 000 e devolve €4 500, €6 000, €3 500 no fim dos anos 1 a 3. Calcule a sua taxa interna de rendibilidade IRR em percentagem.
CF0 = −10 000CF1 = 4 500CF2 = 6 000CF3 = 3 500
IRR = %
5.Preço e rendimento de títulosMédia
Um título com valor de face de €1 000 paga um cupom anual de 7% e vence em 5 anos. Seu rendimento até o vencimento muda de 3% para 4%. Quanto ΔP varia o preço do título?
F = €1 000cupom = 7%n = 5y1 = 3%y2 = 4%
ΔP = €
6.Preço e rendimento de títulosDifícil
Um título é negociado a €900 com rendimento até o vencimento de 3% (capitalização anual) e duration de Macaulay de 7,4 anos. Use a duration modificada para estimar o novo preço P se o rendimento cair 25 pontos-base.
P0 = €900y = 3%D = 7,4Δy = −25 bp
P = €
7.CAPM e WACCMédia
Uma empresa tem capital próprio no valor de €4 000 000 e dívida no valor de €5 000 000. Seu WACC é 5,88%, seu custo da dívida antes dos impostos é 4,5% e a alíquota de imposto é 25%. Encontre o custo do capital próprio re.
As ações de uma empresa têm beta de 1 na sua relação dívida/capital próprio atual de 0,2. Ela planeja elevar a relação dívida/capital próprio para 1,5. A alíquota de imposto é 25,8%, a taxa livre de risco 2% e o prêmio de risco de mercado 5,5%. Encontre o custo do capital próprio re após a mudança.
Arraste z para que a área sombreada sob a curva normal padrão, à direita de z, seja 0,8962. Encontre z com duas casas decimais.
A = 0,8962
z =
14.Distribuição normalDifícil
Os diâmetros D dos furos são normais com média 25,05 mm e desvio padrão 0,02 mm. Os diâmetros d dos eixos são independentes e normais com média 25 mm e desvio padrão 0,01 mm. Um eixo escolhido ao acaso encaixa quando D − d > 0. Encontre a probabilidade P de ele encaixar. Arredonde z para duas casas decimais.
furo: μ = 25,05 mm, σ = 0,02 mmeixo: μ = 25 mm, σ = 0,01 mm
P =
15.Intervalos de confiançaMédia
Uma amostra de 11 itens tem média 78 e desvio-padrão s = 7. A população é aproximadamente normal. Calcule o limite superior do intervalo de confiança de 99% para a média.
n = 11x̄ = 78s = 799%t(10) = 3,169
limite superior =
16.Intervalos de confiançaDifícil
O desvio-padrão da população é 9. Qual o tamanho de amostra n necessário para que um intervalo de confiança de 99% para a média tenha margem de erro de no máximo 4?
σ = 9E = 499%
n =
17.Testes de hipóteses e intervalos de confiançaMédia
Duas linhas de produção fabricam a mesma peça. Linha 1: uma amostra de 100 peças tem comprimento médio de 143,5 mm, e o desvio-padrão conhecido da linha é 18 mm. Linha 2: uma amostra de 80 peças tem média de 149,6 mm, desvio-padrão conhecido de 11 mm. Encontre a estatística de teste z para H₀: μ₁ = μ₂, tomando a diferença como x̄₁ − x̄₂ (linha 1 menos linha 2).
18.Testes de hipóteses e intervalos de confiançaDifícil
Uma amostra de 81 medições tem média 501. O desvio-padrão da população é 5. Calcule o limite superior U do intervalo de confiança a 90 % para a média.
x̄ = 501σ = 5n = 8190%
U =
19.Regressão linear e correlaçãoMédia
A tabela dá 6 observações pareadas de x = carga em kN e y = alongamento em mm. Encontre o coeficiente de correlação de Pearson r.
n = 6
r =
20.Regressão linear e correlaçãoDifícil
A tabela dá 5 observações pareadas de x = temperatura em °C e y = sorvetes vendidos. Use a reta de mínimos quadrados ŷ = a + b·x. Preveja ŷ para x = 19.
n = 5x = 19
ŷ =
3Soluções
1.Valor temporal do dinheiro
Resposta: FV = 1221 €
Valor temporal do dinheiro: o dinheiro hoje vale mais do que a mesma quantia no futuro, porque pode render juros. Com uma taxa i por período, um montante cresce para FV = PV·(1 + i)n. Uma série de pagamentos iguais (uma renda) avalia-se somando cada pagamento, o que dá as fórmulas das rendas.
Valor temporal do dinheiro: o dinheiro hoje vale mais do que a mesma quantia no futuro, porque pode render juros. Com uma taxa i por período, um montante cresce para FV = PV·(1 + i)n. Uma série de pagamentos iguais (uma renda) avalia-se somando cada pagamento, o que dá as fórmulas das rendas.
O que ainda se deve precisa ser quitado exatamente pelas prestações restantes.
N − k = 240 − 168 = 72
B = 1791·(1 − (1 + 0,005)−72)/0,005 = €108 072,75
Resposta
B = €108 072,75
3.VAL e TIR
Resposta: NPV = −15376 €
Valor atual líquido: desconte cada fluxo de caixa até hoje com a rendibilidade exigida r e some-os: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Um projeto com NPV > 0 rende mais do que r e cria valor. A taxa interna de rendibilidade (TIR) é a taxa para a qual NPV = 0.
Valor atual de cada fluxo
CF0 = −75 000
CF1/(1 + 0,1)1 = 36 000/1,1 = 32 727,27
CF2/(1 + 0,1)2 = 18 000/1,21 = 14 876,03
CF3/(1 + 0,1)3 = 16 000/1,331 = 12 021,04
Somar
NPV = €−15 375,66
Resposta
NPV = €−15 375,66
O VAL é negativo, logo o projeto rende menos do que a rendibilidade exigida.
4.VAL e TIR
Resposta: IRR = 19,62 %
Valor atual líquido: desconte cada fluxo de caixa até hoje com a rendibilidade exigida r e some-os: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Um projeto com NPV > 0 rende mais do que r e cria valor. A taxa interna de rendibilidade (TIR) é a taxa para a qual NPV = 0.
Enquadrar a TIR
O VAL desce quando a taxa sobe, por isso a TIR está entre uma taxa com VAL positivo e outra com VAL negativo.
NPV(15%) = 751,21
NPV(20%) = −57,87
Aproximar
A interpolação linear dá uma primeira estimativa; repeti-la (ou usar a função TIR de uma calculadora) dá a taxa exata.
IRR ≈ 15 + 5·751,21/(751,21 − (−57,87)) = 19,64%
exato: NPV(19,62%) = 0 → IRR = 19,62%
Resposta
IRR = 19,62%
5.Preço e rendimento de títulos
Resposta: ΔP = −49,63 €
Precificação de títulos: o preço de um título é o valor presente dos seus fluxos de caixa, descontados ao rendimento até o vencimento (YTM): os cupons formam uma anuidade e o valor de face é devolvido no vencimento. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando o rendimento está acima da taxa de cupom, o título é negociado abaixo do valor de face, e vice-versa.
Duration: a duration de Macaulay é o prazo médio ponderado em que um título paga seus fluxos de caixa, usando como pesos os valores presentes dos fluxos de caixa: D = Σ t·PVₜ/P. A duration modificada D/(1 + y) estima a variação percentual do preço para uma pequena variação do rendimento: %ΔP ≈ −Dmod·Δy.
Duration modificada
Dmod = 7,4/1,03 = 7,184
Variação estimada do preço
%ΔP ≈ −7,184·(−0,0025) = 1,796%
P ≈ 900·(1 + 0,01796) = €916,17
Resposta
P = €916,17
A duration é uma estimativa linear; para grandes variações de rendimento a convexidade torna o preço real um pouco mais alto.
7.CAPM e WACC
Resposta: re = 9,011 %
Custo de capital: o CAPM dá o retorno exigido pelos acionistas: re = rf + β·(rm − rf). O custo médio ponderado de capital combina capital próprio e dívida pelos seus valores de mercado: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), com V = E + D. Os juros são dedutíveis do imposto, daí o (1 − T).
Pesos
V = €9 000 000, E/V = 0,4444, D/V = 0,5556
Parte da dívida no WACC
0,5556·4,5%·(1 − 0,25) = 1,875%
Custo do capital próprio
re = (5,88% − 1,875%)/0,4444 = 9,011%
Resposta
re = 9,011%
8.CAPM e WACC
Resposta: re = 12,12 %
Beta alavancado (Hamada): a dívida torna o capital próprio mais arriscado. βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E), onde βU é o beta do negócio sem dívida. Para levar um beta a outra estrutura de capital, primeiro desalavanque-o e depois realavanque-o com o novo D/E.
Desalavanque o beta
βU = 1/(1 + 0,742·0,2) = 0,8708
Realavanque com o novo D/E
βL = 0,8708·(1 + 0,742·1,5) = 1,84
Custo do capital próprio (CAPM)
re = 2% + 1,84·5,5% = 12,12%
Resposta
re = 12,12%
9.Estatística descritiva
Resposta: s = 17,54
Estatística descritiva: a média é a soma a dividir por n; a mediana é o valor central dos dados ordenados (a média dos dois centrais se n for par). O desvio-padrão amostral é s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Uma pontuação z = (x − μ)/σ diz a quantos desvios-padrão da média está um valor.
Estatística descritiva: a média é a soma a dividir por n; a mediana é o valor central dos dados ordenados (a média dos dois centrais se n for par). O desvio-padrão amostral é s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Uma pontuação z = (x − μ)/σ diz a quantos desvios-padrão da média está um valor.
Padronizar
z = −1
Tabela da normal padrão
Φ(−1) = 0,1587
P = 1 − 0,1587 = 0,8413
Resposta
P = 0,8413
11.Probabilidades
Resposta: Var(X) = 2,61
Variáveis aleatórias discretas: uma distribuição de probabilidade lista cada valor x que uma variável pode assumir com sua probabilidade p(x); as probabilidades ficam entre 0 e 1 e somam 1. O valor esperado (média) é E(X) = Σx·p(x), a média de longo prazo. A variância é Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², e o desvio padrão é σ = √Var(X). Para uma mudança linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) e σY = |a|·σX; somar uma constante não muda a dispersão.
Variáveis aleatórias discretas: uma distribuição de probabilidade lista cada valor x que uma variável pode assumir com sua probabilidade p(x); as probabilidades ficam entre 0 e 1 e somam 1. O valor esperado (média) é E(X) = Σx·p(x), a média de longo prazo. A variância é Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², e o desvio padrão é σ = √Var(X). Para uma mudança linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) e σY = |a|·σX; somar uma constante não muda a dispersão.
Dispersão de X
μ = 1,95, Var(X) = 1,747, σX = 1,322
Mudança linear
σY = |−2|·1,322 = 2,644
Resposta
σY = 2,644
A média de fato se desloca: E(Y) = −2·1,95 + 4 = 0,1.
13.Distribuição normal
Resposta: z = −1,26
De uma área de volta a z: Φ(z) é a área à esquerda de z. Para uma área de cauda esquerda A, encontre na tabela o z com Φ(z) = A. Uma área de cauda direita A significa Φ(z) = 1 − A. Uma área central A entre −z e z deixa (1 − A)/2 em cada cauda, então Φ(z) = (1 + A)/2. Para um valor x, use x = μ + zσ.
Área à esquerda de z
Φ(z) = 1 − 0,8962 = 0,1038
Leia a tabela de z ao contrário
Encontre 0,1038 dentro da tabela e leia z.
z = −1,26
Resposta
z = −1,26
14.Distribuição normal
Resposta: P = 0,9875
Somas e diferenças de variáveis normais: se X e Y são independentes e normais, X + Y e X − Y também são normais. As médias se somam ou se subtraem: E(X ± Y) = μX ± μY. As variâncias sempre se somam, também em uma diferença: Var(X ± Y) = σX² + σY², portanto σ = √(σX² + σY²). Os desvios padrão nunca se somam diretamente. O total de n itens independentes com a mesma distribuição tem média n·μ e desvio padrão σ·√n. Depois padronize como de costume: z = (x − média)/σ e leia Φ(z).
Distribuição da diferença
μ = 25,05 − 25 = 0,05 mm, σ = 0,02236 mm
Padronizar
z = (0 − 0,05)/0,02236 = −2,24
Probabilidades
P = 1 − Φ(−2,24) = 0,9875
Resposta
P = 0,9875
15.Intervalos de confiança
Resposta: limite superior = 84,69
Intervalo de confiança para uma média: x̄ ± margem de erro. Com σ populacional conhecido, a margem é z·σ/√n; tendo apenas o desvio-padrão amostral s, use t com n − 1 graus de liberdade: t·s/√n. Valores críticos: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Para obter uma margem E ou menor, você precisa de n ≥ (z·σ/E)², arredondado para cima.
Valor crítico
df = n − 1 = 10, t = 3,169
Margem de erro
E = 3,169·7/√11 = 6,688
Intervalo
78 ± 6,688 → [71,31, 84,69]
Resposta
limite superior = 84,69
16.Intervalos de confiança
Resposta: n = 34
Intervalo de confiança para uma média: x̄ ± margem de erro. Com σ populacional conhecido, a margem é z·σ/√n; tendo apenas o desvio-padrão amostral s, use t com n − 1 graus de liberdade: t·s/√n. Valores críticos: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Para obter uma margem E ou menor, você precisa de n ≥ (z·σ/E)², arredondado para cima.
Resolver em ordem a n
n = (2,576·9/4)² = 33,59
Arredondar para cima
O tamanho da amostra é um número inteiro, e arredondar para baixo deixaria a margem grande demais.
n = 34
Resposta
n = 34
17.Testes de hipóteses e intervalos de confiança
Resposta: z = −2,798
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Erro-padrão da diferença
SE = √(18²/100 + 11²/80) = √4,752 = 2,18
Estatística de teste
z = (143,5 − 149,6)/2,18 = −2,798
Resposta
z = −2,798
|z| > 1,96, então H₀ é rejeitada ao nível de 5% (bilateral).
18.Testes de hipóteses e intervalos de confiança
Resposta: U = 501,9
Teste a uma média: a estatística de teste mede a quantos erros-padrão a média amostral está do valor afirmado em H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) quando σ é conhecido, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) quando é estimado pela amostra. Um intervalo de confiança é x̄ ± (valor crítico)·(erro-padrão).
Margem de erro
E = 1,645·5/√81 = 0,9139
Limite do intervalo
U = 501 + 0,9139 = 501,9
Resposta
U = 501,9
19.Regressão linear e correlação
Resposta: r = 0,9914
Regressão por mínimos quadrados: com x̄ e ȳ as médias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), a reta ŷ = a + b·x tem inclinação b = Sxy/Sxx e intercepto a = ȳ − b·x̄, então ela sempre passa por (x̄, ȳ). O coeficiente de correlação de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) fica entre −1 e 1; r² é a fração da variação de y explicada pela reta.
Médias
x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 154/6 = 25,67
Somas de quadrados e de produtos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 244
Syy = Σ(y − ȳ)² = 865,3
Coeficiente de correlação
r = 244/√(70·865,3) = 0,9914
Resposta
r = 0,9914
20.Regressão linear e correlação
Resposta: ŷ = 85,65
Regressão por mínimos quadrados: com x̄ e ȳ as médias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), a reta ŷ = a + b·x tem inclinação b = Sxy/Sxx e intercepto a = ȳ − b·x̄, então ela sempre passa por (x̄, ȳ). O coeficiente de correlação de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) fica entre −1 e 1; r² é a fração da variação de y explicada pela reta.
Médias
x̄ = 110/5 = 22
ȳ = 489/5 = 97,8
Somas de quadrados e de produtos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 162
Reta de regressão
b = 162/40 = 4,05
a = 97,8 − 4,05·22 = 8,7
ŷ = 8,7 + 4,05·x
Previsão
ŷ = 8,7 + 4,05·19 = 85,65
Resposta
ŷ = 85,65
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