Prática de métodos quantitativos e renda fixa do CFA Level I: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 20 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Valor temporal do dinheiro

Valor futuro: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Valor atual: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Vários períodos por ano: i = r/m, N = m·n
Anuidade, valor atual: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Anuidade, valor futuro: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Método

Desenhe uma linha do tempo com cada fluxo de caixa e o momento em que ocorre.
Ajuste a taxa ao período: uma taxa mensal para pagamentos mensais.
Use FV = PV·(1 + i)ⁿ para valores únicos e as fórmulas de anuidade para pagamentos iguais.
Verifique o sinal e a ordem de grandeza da resposta.

VAL e TIR

Valor atual líquido: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Fluxos iguais: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Taxa interna de retorno: o r em que NPV = 0
Decisão: aceitar se NPV > 0 (ou IRR > retorno exigido)

Método

Liste todos os fluxos de caixa com o seu ano; o investimento no ano 0 é negativo.
Desconte cada fluxo de caixa: CF_t/(1 + r)^t.
Some-os para obter o VPL. Positivo significa que o projeto rende mais que r.
Para a TIR, encontre a taxa que zera o VPL por tentativa ou interpolação.

Preço e rendimento de títulos

Preço do título: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Semestral: C/2, y/2 e 2n períodos
Rendimento corrente: C/P
Preço e rendimento: rendimento sobe → preço cai

Método

Encontre o cupom por período e o rendimento por período.
Preço = valor presente dos cupons (uma anuidade) + valor presente do valor de face.
Para cupons semestrais use metade do cupom, metade do rendimento e o dobro de períodos.
Verificação: se o rendimento está acima da taxa de cupom, o preço fica abaixo do valor de face.

CAPM e WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Valor da empresa: V = E + D

Estatística descritiva

Média: x̄ = Σx/n
Desvio-padrão amostral: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: valor do meio dos dados ordenados
Pontuação z: z = (x − μ)/σ
Distribuição normal: 68% dentro de ±1σ, 95% dentro de ±2σ

Probabilidades

Complementar: P(not A) = 1 − P(A)
Regra da adição: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Eventos independentes: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Probabilidade condicional: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Distribuição normal

Pontuação z: z = (x − μ)/σ
Abaixo de x: P(X < x) = Φ(z)
Acima de x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Entre: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentil: x = μ + z·σ

Método

Converta o valor em um escore z: z = (x − μ)/σ.
Procure Φ(z), a área à esquerda de z.
Para a área à direita use 1 − Φ(z); para um intervalo subtraia as duas áreas à esquerda.
Para um percentil, faça o caminho inverso: encontre z para a área e depois x = μ + z·σ.

Intervalos de confiança

σ conhecido: x̄ ± z·σ/√n
σ desconhecido: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z crítico: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Tamanho da amostra: n = (z·σ/E)², rounded up

Método

Escolha entre z (σ populacional conhecido) e t (só o s amostral, com n − 1 graus de liberdade).
Encontre o valor crítico para o nível de confiança.
Margem de erro: E = valor crítico × desvio-padrão/√n.
Intervalo: x̄ ± E.

Testes de hipóteses e intervalos de confiança

Teste z para uma média: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Teste t para uma média: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Bilateral a 5%: rejeite H₀ se |z| > 1,96
Intervalo de confiança: x̄ ± z·σ/√n

Método

Enuncie H₀ e H₁ e decida se o teste é unilateral ou bilateral.
Calcule a estatística de teste: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), ou com s e t.
Compare com o valor crítico, ou encontre o valor-p.
Rejeite H₀ se a estatística estiver além do valor crítico (p abaixo de α) e enuncie a conclusão em palavras.

Regressão linear e correlação

Somas de quadrados: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Inclinação: b = S_xy/S_xx
Intercepto: a = ȳ − b·x̄
Correlação: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Resíduo: e = y − ŷ

2Exercícios

1.Valor temporal do dinheiroMédia

Um cartão de crédito cobra uma taxa de juros nominal de 25% ao ano, capitalizada diária. Encontre a taxa efetiva anual EAR em porcentagem.

r = 25%m = 365

EAR = %

2.Valor temporal do dinheiroDifícil

Poupa €50 no fim de cada mês durante 13 anos. A conta rende 4,2 % ao ano, capitalizada mensalmente. Quanto poupou no fim? Calcule FV.

A = €504,2% / 12N = 156

FV = €

3.VAL e TIRMédia

Um projeto custa €400 000 hoje. Ele gera €52 000 no final do primeiro ano, e o fluxo de caixa depois cresce 1% ao ano para sempre. O custo de capital é 11%. Encontre o valor presente líquido NPV.

C₀ = €400 000CF₁ = €52 000g = 1%r = 11%

NPV = €

4.VAL e TIRDifícil

Um projeto custa €20 000 e retorna €11 500, €8 500, €7 500, €6 500 no final dos anos 1 a 4. Os fluxos de caixa podem ser reinvestidos ao custo de capital de 6%. Encontre a taxa interna de retorno modificada MIRR em porcentagem.

r = 6%CF₀ = −20 000CF₁ = 11 500CF₂ = 8 500CF₃ = 7 500CF₄ = 6 500

MIRR = %

5.Preço e rendimento de títulosMédia

Um título com valor de face de €1 000 vence em 3 anos e paga cupons anuais. Ele é vendido a €923 quando o rendimento até o vencimento é 8%. Encontre a taxa de cupom c em porcentagem.

F = €1 000n = 3P = €923YTM = 8%

c = %

6.Preço e rendimento de títulosDifícil

Um título com valor de face de €1 000 e cupom anual de 3% vence em 3 anos e é vendido por €945. Calcule seu rendimento até o vencimento YTM em porcentagem.

F = €1 000cupom = 3%n = 3P = €945

YTM = %

7.CAPM e WACCMédia

Uma empresa tem capital próprio de €10 000 000 e dívida de €4 000 000. Seu custo do capital próprio é 14%, seu custo da dívida antes dos impostos é 3% e a alíquota de imposto é 25%. Calcule o WACC.

E = €10 000 000D = €4 000 000r_e = 14%r_d = 3%T = 25%

WACC = %

8.CAPM e WACCDifícil

Uma empresa tem 4 000 000 ações a €19,00 cada e 20 000 títulos negociados a €1 020 cada. O custo da dívida antes dos impostos é 7% e a alíquota de imposto é 28%. O beta da ação é 0,8, a taxa livre de risco é 2% e o retorno do mercado é 8%. Calcule o WACC.

β = 0,8r_f = 2%r_m = 8%r_d = 7%T = 28%

WACC = %

9.Estatística descritivaMédia

Calcule o desvio-padrão amostral s dos dados: 36, 30, 11, 55, 59, 29.

n = 6

s =

10.Estatística descritivaDifícil

Uma grandeza segue uma distribuição normal com média 500 e desvio-padrão 40. Que proporção P dos valores está abaixo de 524?

μ = 500σ = 40x = 524

P =

11.ProbabilidadesMédia

De quantas maneiras N se pode escolher uma comissão de 3 pessoas num grupo de 11? A ordem não interessa.

n = 11k = 3

N =

12.ProbabilidadesDifícil

Testam-se 5 componentes e cada um avaria com probabilidade 0,6, de forma independente. Qual é a probabilidade P de avariar no máximo um?

n = 5p = 0,6

P =

13.Distribuição normalMédia

As durações de entregas seguem uma distribuição normal com média 32 min e desvio-padrão 6 min. Que fração está entre 29 e 44 min? Dê P em forma decimal.

μ = 32σ = 6x₁ = 29x₂ = 44

P =

14.Distribuição normalDifícil

As alturas de homens adultos seguem uma distribuição normal com média 178 cm e desvio-padrão 7 cm. Calcule o valor x abaixo do qual estão 10% delas (o percentil 10).

μ = 178σ = 7P = 10%

x = cm

15.Intervalos de confiançaMédia

Uma amostra de 20 itens tem média 83 e desvio-padrão s = 7,5. A população é aproximadamente normal. Calcule o limite inferior do intervalo de confiança de 99% para a média.

n = 20x̄ = 83s = 7,599%t(19) = 2,861

limite inferior =

16.Intervalos de confiançaDifícil

O desvio-padrão da população é 32. Qual o tamanho de amostra n necessário para que um intervalo de confiança de 95% para a média tenha margem de erro de no máximo 1?

σ = 32E = 195%

n =

17.Testes de hipóteses e intervalos de confiançaMédia

Uma amostra de 81 estudantes tem nota média 97,07 e desvio-padrão amostral 12. Calcule a estatística de teste t para H₀: μ = 100.

μ₀ = 100x̄ = 97,07s = 12n = 81

t =

18.Testes de hipóteses e intervalos de confiançaDifícil

Uma amostra de 36 medições tem média 497,4. O desvio-padrão da população é 12. Calcule o limite inferior L do intervalo de confiança a 95 % para a média.

x̄ = 497,4σ = 12n = 3695%

L =

19.Regressão linear e correlaçãoMédia

A tabela dá 5 observações pareadas de x = horas de estudo e y = nota na prova. As suas somas são dadas. Encontre o coeficiente de correlação de Pearson r a partir dessas somas.

n = 5Σx = 25Σy = 342Σx² = 165Σy² = 24186Σxy = 1888

r =

20.Regressão linear e correlaçãoDifícil

A tabela dá 5 observações pareadas de x = horas de estudo e y = nota na prova. Use a reta de mínimos quadrados ŷ = a + b·x. Preveja ŷ para x = 3,5.

n = 5x = 3,5

ŷ =

3Soluções

1.Valor temporal do dinheiro

Resposta: EAR = 28,39 %

Valor temporal do dinheiro: o dinheiro hoje vale mais do que a mesma quantia no futuro, porque pode render juros. Com uma taxa i por período, um montante cresce para FV = PV·(1 + i)ⁿ. Uma série de pagamentos iguais (uma renda) avalia-se somando cada pagamento, o que dá as fórmulas das rendas.

Taxa por período

r/m = 0,25/365 = 0,0006849

Capitalize ao longo de um ano

EAR = (1 + 0,0006849)³⁶⁵ − 1 = 1,284 − 1 = 28,39%

Resposta

EAR = 28,39%

A taxa efetiva anual é sempre maior que a taxa nominal quando os juros são capitalizados mais de uma vez por ano.

2.Valor temporal do dinheiro

Resposta: FV = 10353 €

Taxa mensal e número de depósitos

i = 0,042/12 = 0,0035

N = 12·13 = 156

Valor futuro dos depósitos

FV = A·((1 + i)^N − 1)/i = 50·(1,725 − 1)/0,0035 = €10 352,70

Resposta

FV = €10 352,70

Pôs €7 800 do seu bolso; o resto são juros.

3.VAL e TIR

Resposta: NPV = 120000 €

Valor atual líquido: desconte cada fluxo de caixa até hoje com a rendibilidade exigida r e some-os: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Um projeto com NPV > 0 rende mais do que r e cria valor. A taxa interna de rendibilidade (TIR) é a taxa para a qual NPV = 0.

Valor dos fluxos de caixa

PV = 52 000/(0,11 − 0,01) = 520 000,00

NPV

NPV = 520 000,00 − 400 000 = €120 000,00

Resposta

NPV = €120 000,00

O VAL é positivo, logo o projeto rende mais do que a rendibilidade exigida.

4.VAL e TIR

Resposta: MIRR = 17,17 %

TIR modificada: capitalize cada entrada até o final do projeto à taxa de reinvestimento (normalmente o custo de capital) para obter o valor terminal TV. A TIRM é a taxa que transforma o investimento inicial em TV: MIRR = (TV/C₀)^(1/n) − 1.

Valor terminal das entradas

11 500·1,06³ = 13 696,68

8 500·1,06² = 9 550,60

7 500·1,06¹ = 7 950,00

6 500·1,06⁰ = 6 500,00

TV = 37 697,28

MIRR

MIRR = (37 697,28/20 000)^1/4 − 1 = 17,17%

Resposta

MIRR = 17,17%

5.Preço e rendimento de títulos

Resposta: c = 5,012 %

Precificação de títulos: o preço de um título é o valor presente dos seus fluxos de caixa, descontados ao rendimento até o vencimento (YTM): os cupons formam uma anuidade e o valor de face é devolvido no vencimento. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando o rendimento está acima da taxa de cupom, o título é negociado abaixo do valor de face, e vice-versa.

Valor presente do valor de face

1000·(1 + 0,08)⁻³ = €793,83

Cupom

C = (923 − 793,83)/2,577 = €50,12

Taxa de cupom

c = 50,12/1000 = 5,012%

Resposta

c = 5,012%

6.Preço e rendimento de títulos

Resposta: YTM = 5,02 %

Equação do rendimento

€945 = €30·(1 − (1 + y)⁻³)/y + €1 000/(1 + y)³

Resolva numericamente

P(5%) = €945,54, P(6%) = €919,81

YTM = 5,02%

Resposta

YTM = 5,02%

7.CAPM e WACC

Resposta: WACC = 10,64 %

Custo de capital: o CAPM dá o retorno exigido pelos acionistas: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). O custo médio ponderado de capital combina capital próprio e dívida pelos seus valores de mercado: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), com V = E + D. Os juros são dedutíveis do imposto, daí o (1 − T).

Pesos

V = €14 000 000, E/V = 0,7143, D/V = 0,2857

WACC

WACC = 0,7143·14% + 0,2857·3%·(1 − 0,25) = 10,64%

Resposta

WACC = 10,64%

8.CAPM e WACC

Resposta: WACC = 6,428 %

Valores de mercado

E = 4 000 000·€19,00 = €76 000 000

D = 20 000·€1 020 = €20 400 000

Custo do capital próprio (CAPM)

r_e = 2% + 0,8·6% = 6,8%

Pesos

V = €96 400 000, E/V = 0,7884, D/V = 0,2116

WACC

WACC = 0,7884·6,8% + 0,2116·7%·(1 − 0,28) = 6,428%

Resposta

WACC = 6,428%

9.Estatística descritiva

Resposta: s = 17,87

Estatística descritiva: a média é a soma a dividir por n; a mediana é o valor central dos dados ordenados (a média dos dois centrais se n for par). O desvio-padrão amostral é s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Uma pontuação z = (x − μ)/σ diz a quantos desvios-padrão da média está um valor.

Média

x̄ = 220/6 = 36,67

Desvios ao quadrado

Σ(x − x̄)² = (−0,6667)² + (−6,667)² + (−25,67)² + 18,33² + 22,33² + (−7,667)² = 1597

Desvio-padrão

s = √(1597/5) = 17,87

Resposta

s = 17,87

10.Estatística descritiva

Resposta: P = 0,7257

Padronizar

z = 0,6

Tabela da normal padrão

Φ(0,6) = 0,7257

P = 0,7257

Resposta

P = 0,7257

11.Probabilidades

Resposta: N = 165

Probabilidades: com resultados equiprováveis, P(A) = favoráveis/possíveis. Para acontecimentos independentes multiplica-se: P(A e B) = P(A)·P(B). O complementar ajuda muitas vezes: P(pelo menos um) = 1 − P(nenhum). Binomial: em n provas independentes com probabilidade de sucesso p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Combinações

C(11, 3) = (11·10·9)/(3·2·1) = 165

Resposta

N = 165

12.Probabilidades

Resposta: P = 0,08704

Zero e uma avaria

P(X = 0) = 0,4⁵ = 0,01024

P(X = 1) = 5·0,6·0,4⁴ = 0,0768

Some

P = 0,01024 + 0,0768 = 0,08704

Resposta

P = 0,08704

13.Distribuição normal

Resposta: P = 0,6687

Distribuição normal: converta um valor x em uma pontuação z, z = (x − μ)/σ, que conta quantos desvios-padrão ele está da média. Uma tabela z (ou Φ(z)) dá a área à esquerda de z, que é P(X < x). A área à direita é 1 − Φ(z), e a área entre dois valores é a diferença entre as duas áreas.

Pontuações z

z₁ = (29 − 32)/6 = −0,5

z₂ = (44 − 32)/6 = 2

Área entre os valores

P = Φ(2) − Φ(−0,5) = 0,9772 − 0,3085 = 0,6687

Resposta

P = 0,6687

14.Distribuição normal

Resposta: x = 169 cm

z do percentil

Φ(z) = 0,1 → z = −1,282

De volta a x

x = 178 + −1,282·7 = 169,03 cm

Resposta

x = 169,03 cm

15.Intervalos de confiança

Resposta: limite inferior = 78,2

Intervalo de confiança para uma média: x̄ ± margem de erro. Com σ populacional conhecido, a margem é z·σ/√n; tendo apenas o desvio-padrão amostral s, use t com n − 1 graus de liberdade: t·s/√n. Valores críticos: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Para obter uma margem E ou menor, você precisa de n ≥ (z·σ/E)², arredondado para cima.

Valor crítico

df = n − 1 = 19, t = 2,861

Margem de erro

E = 2,861·7,5/√20 = 4,798

Intervalo

83 ± 4,798 → [78,2, 87,8]

Resposta

limite inferior = 78,2

16.Intervalos de confiança

Resposta: n = 3934

Resolver em ordem a n

n = (1,96·32/1)² = 3934

Arredondar para cima

O tamanho da amostra é um número inteiro, e arredondar para baixo deixaria a margem grande demais.

n = 3934

Resposta

n = 3934

17.Testes de hipóteses e intervalos de confiança

Resposta: t = −2,198

Teste a uma média: a estatística de teste mede a quantos erros-padrão a média amostral está do valor afirmado em H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) quando σ é conhecido, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) quando é estimado pela amostra. Um intervalo de confiança é x̄ ± (valor crítico)·(erro-padrão).

Erro-padrão

SE = 12/√81 = 12/9 = 1,333

Estatística de teste

t = (97,07 − 100)/1,333 = −2,198

Resposta

t = −2,198

t_{0,025; df = 80} = 1,99

|t| > 1,99, então H₀ é rejeitada ao nível de 5% (bilateral).

18.Testes de hipóteses e intervalos de confiança

Resposta: L = 493,5

Margem de erro

E = 1,96·12/√36 = 3,92

Limite do intervalo

L = 497,4 − 3,92 = 493,5

Resposta

L = 493,5

19.Regressão linear e correlação

Resposta: r = 0,9993

Regressão por mínimos quadrados: com x̄ e ȳ as médias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), a reta ŷ = a + b·x tem inclinação b = Sxy/Sxx e intercepto a = ȳ − b·x̄, então ela sempre passa por (x̄, ȳ). O coeficiente de correlação de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) fica entre −1 e 1; r² é a fração da variação de y explicada pela reta.

Somas centradas

S_xy = 1888 − 25·342/5 = 178

S_xx = 165 − 25²/5 = 40

S_yy = 24186 − 342²/5 = 793,2

Coeficiente de correlação

r = 178/√(40·793,2) = 0,9993

Resposta

r = 0,9993

20.Regressão linear e correlação

Resposta: ŷ = 65,5

Médias

x̄ = 25/5 = 5

ȳ = 347/5 = 69,4

Somas de quadrados e de produtos

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 26

Reta de regressão

b = 26/10 = 2,6

a = 69,4 − 2,6·5 = 56,4

ŷ = 56,4 + 2,6·x

Previsão

ŷ = 56,4 + 2,6·3,5 = 65,5

Resposta

ŷ = 65,5

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