Investe €12 000 a uma taxa nominal de 3,6 % ao ano, capitalizada mensalmente. Calcule o valor FV do investimento ao fim de 6 anos.
PV = €12 0003,6% / 12n = 6
FV = €
2.Valor temporal do dinheiroDifícil
Você toma emprestado €20 000 a 2,4% ao ano, capitalizados mensalmente, e paga €375 no final de cada mês. Quantos meses leva até o empréstimo ser quitado (o último pagamento pode ser menor)? Dê o número de pagamentos N.
P = €20 000A = €3752,4% / 12
N = pagamentos
3.VAL e TIRMédia
Um investimento de €75 000 gera estes fluxos no fim dos anos 1 a 3: €17 000, €18 000, €29 000. O custo do capital é de 8 %. Calcule o valor atual líquido NPV.
Um projeto custa €40 000 e devolve €19 000, €27 500, €17 500 no fim dos anos 1 a 3. Calcule a sua taxa interna de rendibilidade IRR em percentagem.
CF0 = −40 000CF1 = 19 000CF2 = 27 500CF3 = 17 500
IRR = %
5.Preço e rendimento de títulosMédia
Um título com valor de face de €1 000 paga um cupom anual de 4,5% em dois pagamentos semestrais e vence em 5 anos. O rendimento até o vencimento é de 2,5% ao ano. Calcule o preço P do título.
F = €1 000cupom = 4,5%YTM = 2,5%n = 5
P = €
6.Preço e rendimento de títulosDifícil
Um título é negociado a €990 com rendimento até o vencimento de 6% (capitalização anual) e duration de Macaulay de 7 anos. Use a duration modificada para estimar o novo preço P se o rendimento subir 150 pontos-base.
P0 = €990y = 6%D = 7Δy = +150 bp
P = €
7.CAPM e WACCMédia
Uma empresa é financiada com ações ordinárias no valor de €4 000 000, ações preferenciais no valor de €2 000 000 e dívida no valor de €6 000 000. O custo do capital próprio é 10%, o custo das ações preferenciais 8% e o custo da dívida antes dos impostos 5%. A alíquota de imposto é 30%. Encontre o WACC.
Uma empresa tem 5 000 000 ações negociadas a €39,00; o valor contábil do seu patrimônio líquido é €58 500 000. Ela acaba de pagar um dividendo de €3,00 por ação, e os dividendos crescem 4% ao ano. Sua dívida tem valor de mercado de €97 500 000 e custo antes dos impostos de 4%. A alíquota de imposto é 20%. Encontre o WACC, usando o modelo de crescimento de dividendos para o custo do capital próprio.
Calcule o desvio-padrão amostral s dos dados: 49, 47, 37, 19, 10, 10, 23.
n = 7
s =
10.Estatística descritivaDifícil
As notas de um exame seguem uma distribuição normal com média 70 e desvio-padrão 5. Calcule a pontuação z z de uma nota de 75.
μ = 70σ = 5x = 75
z =
11.ProbabilidadesMédia
Lança-se um dado equilibrado 8 vezes. Qual é a probabilidade P de sair pelo menos um seis?
n = 8
P =
12.ProbabilidadesDifícil
Um jogo custa €3 para jogar. Você ganha €12 com probabilidade 0,3 e €60 com probabilidade 0,05; caso contrário, não ganha nada. A aposta não é devolvida. Encontre o ganho líquido esperado E(G) por jogo.
aposta = €3€12: p = 0,3€60: p = 0,05
E(G) = €
13.Distribuição normalMédia
Arraste z para que a área sombreada entre −z e z sob a curva normal padrão seja 0,8557. Encontre z com duas casas decimais.
A = 0,8557
z =
14.Distribuição normalDifícil
Os notas de prova têm distribuição normal com média 65 pontos e desvio padrão 10 pontos. Arraste o ponto de corte para que os 80% superiores sombreados fiquem à direita dele. Encontre o ponto de corte x.
μ = 65 pontosσ = 10 pontos80%
x = pontos
15.Intervalos de confiançaMédia
Uma amostra de 25 itens tem média 12 e desvio-padrão s = 19,5. A população é aproximadamente normal. Calcule a margem de erro E de um intervalo de confiança de 99% para a média.
n = 25x̄ = 12s = 19,599%t(24) = 2,797
E =
16.Intervalos de confiançaDifícil
Não se sabe nada de antemão sobre a proporção de produtos defeituosos. Quantos produtos n devem ser inspecionados para que um intervalo de confiança de 90% para a proporção tenha margem de erro de no máximo 0,03?
p = 0,5E = 0,0390%
n =
17.Testes de hipóteses e intervalos de confiançaMédia
Uma amostra de 49 estudantes tem nota média 102,4 e desvio-padrão amostral 8. Calcule a estatística de teste t para H₀: μ = 100.
μ₀ = 100x̄ = 102,4s = 8n = 49
t =
18.Testes de hipóteses e intervalos de confiançaDifícil
Que tamanho deve ter uma amostra para que o intervalo de confiança a 90 % para uma média tenha uma margem de erro de no máximo 3? O desvio-padrão é 15. Calcule o menor tamanho de amostra n.
σ = 15E = 390%
n =
19.Regressão linear e correlaçãoMédia
A tabela dá 5 observações pareadas de x = horas de estudo e y = nota na prova. Encontre o coeficiente de determinação r² da reta de mínimos quadrados.
n = 5
r² =
20.Regressão linear e correlaçãoDifícil
A tabela dá 5 observações pareadas de x = temperatura em °C e y = sorvetes vendidos. Use a reta de mínimos quadrados ŷ = a + b·x. Preveja ŷ para x = 15.
n = 5x = 15
ŷ =
3Soluções
1.Valor temporal do dinheiro
Resposta: FV = 14888 €
Valor temporal do dinheiro: o dinheiro hoje vale mais do que a mesma quantia no futuro, porque pode render juros. Com uma taxa i por período, um montante cresce para FV = PV·(1 + i)n. Uma série de pagamentos iguais (uma renda) avalia-se somando cada pagamento, o que dá as fórmulas das rendas.
Valor temporal do dinheiro: o dinheiro hoje vale mais do que a mesma quantia no futuro, porque pode render juros. Com uma taxa i por período, um montante cresce para FV = PV·(1 + i)n. Uma série de pagamentos iguais (uma renda) avalia-se somando cada pagamento, o que dá as fórmulas das rendas.
Reorganize a fórmula da anuidade
i = 0,002
(1 + i)−N = 1 − 20 000·0,002/375 = 0,8933
Resolver com logaritmos
N = −ln(0,8933)/ln(1,002) = 56,45
Arredonde para cima até pagamentos inteiros
56 pagamentos completos deixam um pequeno saldo, que o último pagamento, menor, quita.
N = 57
Resposta
N = 57 pagamentos
3.VAL e TIR
Resposta: NPV = −20806 €
Valor atual líquido: desconte cada fluxo de caixa até hoje com a rendibilidade exigida r e some-os: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Um projeto com NPV > 0 rende mais do que r e cria valor. A taxa interna de rendibilidade (TIR) é a taxa para a qual NPV = 0.
Valor atual de cada fluxo
CF0 = −75 000
CF1/(1 + 0,08)1 = 17 000/1,08 = 15 740,74
CF2/(1 + 0,08)2 = 18 000/1,166 = 15 432,10
CF3/(1 + 0,08)3 = 29 000/1,26 = 23 021,13
Somar
NPV = €−20 806,03
Resposta
NPV = €−20 806,03
O VAL é negativo, logo o projeto rende menos do que a rendibilidade exigida.
4.VAL e TIR
Resposta: IRR = 27,95 %
Valor atual líquido: desconte cada fluxo de caixa até hoje com a rendibilidade exigida r e some-os: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Um projeto com NPV > 0 rende mais do que r e cria valor. A taxa interna de rendibilidade (TIR) é a taxa para a qual NPV = 0.
Enquadrar a TIR
O VAL desce quando a taxa sobe, por isso a TIR está entre uma taxa com VAL positivo e outra com VAL negativo.
NPV(25%) = 1 760,00
NPV(30%) = −1 147,02
Aproximar
A interpolação linear dá uma primeira estimativa; repeti-la (ou usar a função TIR de uma calculadora) dá a taxa exata.
Precificação de títulos: o preço de um título é o valor presente dos seus fluxos de caixa, descontados ao rendimento até o vencimento (YTM): os cupons formam uma anuidade e o valor de face é devolvido no vencimento. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando o rendimento está acima da taxa de cupom, o título é negociado abaixo do valor de face, e vice-versa.
Por período
C = €22,50, i = 0,0125, N = 10
Valor presente dos cupons
€22,50·(1 − 0,8832)/0,0125 = €210,27
Valor presente do valor de face
€1 000·0,8832 = €883,18
Preço
P = €1 093,46
Resposta
P = €1 093,46
O rendimento está abaixo da taxa de cupom, então o título é vendido com ágio.
6.Preço e rendimento de títulos
Resposta: P = 891,9 €
Duration: a duration de Macaulay é o prazo médio ponderado em que um título paga seus fluxos de caixa, usando como pesos os valores presentes dos fluxos de caixa: D = Σ t·PVₜ/P. A duration modificada D/(1 + y) estima a variação percentual do preço para uma pequena variação do rendimento: %ΔP ≈ −Dmod·Δy.
Duration modificada
Dmod = 7/1,06 = 6,604
Variação estimada do preço
%ΔP ≈ −6,604·(0,015) = −9,906%
P ≈ 990·(1 − 0,09906) = €891,93
Resposta
P = €891,93
A duration é uma estimativa linear; para grandes variações de rendimento a convexidade torna o preço real um pouco mais alto.
7.CAPM e WACC
Resposta: WACC = 6,417 %
Custo de capital: o CAPM dá o retorno exigido pelos acionistas: re = rf + β·(rm − rf). O custo médio ponderado de capital combina capital próprio e dívida pelos seus valores de mercado: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), com V = E + D. Os juros são dedutíveis do imposto, daí o (1 − T).
Custo de capital: o CAPM dá o retorno exigido pelos acionistas: re = rf + β·(rm − rf). O custo médio ponderado de capital combina capital próprio e dívida pelos seus valores de mercado: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), com V = E + D. Os juros são dedutíveis do imposto, daí o (1 − T).
Custo do capital próprio
D1 = 3·1,04 = €3,12
re = 3,12/39 + 0,04 = 12%
Valores de mercado
E = 5 000 000·€39,00 = €195 000 000
V = €292 500 000, E/V = 0,6667, D/V = 0,3333
WACC
WACC = 0,6667·12% + 0,3333·4%·(1 − 0,2) = 9,067%
Resposta
WACC = 9,067%
9.Estatística descritiva
Resposta: s = 16,52
Estatística descritiva: a média é a soma a dividir por n; a mediana é o valor central dos dados ordenados (a média dos dois centrais se n for par). O desvio-padrão amostral é s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Uma pontuação z = (x − μ)/σ diz a quantos desvios-padrão da média está um valor.
Estatística descritiva: a média é a soma a dividir por n; a mediana é o valor central dos dados ordenados (a média dos dois centrais se n for par). O desvio-padrão amostral é s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Uma pontuação z = (x − μ)/σ diz a quantos desvios-padrão da média está um valor.
Padronizar
z = (75 − 70)/5 = 1
Resposta
z = 1
11.Probabilidades
Resposta: P = 0,7674
Probabilidades: com resultados equiprováveis, P(A) = favoráveis/possíveis. Para acontecimentos independentes multiplica-se: P(A e B) = P(A)·P(B). O complementar ajuda muitas vezes: P(pelo menos um) = 1 − P(nenhum). Binomial: em n provas independentes com probabilidade de sucesso p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Complementar
P(nenhum seis) = (5/6)8 = 0,2326
P = 1 − 0,2326 = 0,7674
Resposta
P = 0,7674
12.Probabilidades
Resposta: E(G) = 3,6 €
Variáveis aleatórias discretas: uma distribuição de probabilidade lista cada valor x que uma variável pode assumir com sua probabilidade p(x); as probabilidades ficam entre 0 e 1 e somam 1. O valor esperado (média) é E(X) = Σx·p(x), a média de longo prazo. A variância é Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², e o desvio padrão é σ = √Var(X). Para uma mudança linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) e σY = |a|·σX; somar uma constante não muda a dispersão.
Resultados líquidos
G: 9 (p = 0,3), 57 (p = 0,05), −3 (p = 0,65)
Valor esperado
E(G) = 9·0,3 + 57·0,05 − 3·0,65 = 3,6 €
Resposta
E(G) = 3,6 €
Um valor positivo significa que você ganha dinheiro em média.
13.Distribuição normal
Resposta: z = 1,46
De uma área de volta a z: Φ(z) é a área à esquerda de z. Para uma área de cauda esquerda A, encontre na tabela o z com Φ(z) = A. Uma área de cauda direita A significa Φ(z) = 1 − A. Uma área central A entre −z e z deixa (1 − A)/2 em cada cauda, então Φ(z) = (1 + A)/2. Para um valor x, use x = μ + zσ.
Área à esquerda de z
Φ(z) = (1 + 0,8557)/2 = 0,9279
Leia a tabela de z ao contrário
Encontre 0,9279 dentro da tabela e leia z.
z = 1,46
Resposta
z = 1,46
14.Distribuição normal
Resposta: x = 56,6 pontos
De uma área de volta a z: Φ(z) é a área à esquerda de z. Para uma área de cauda esquerda A, encontre na tabela o z com Φ(z) = A. Uma área de cauda direita A significa Φ(z) = 1 − A. Uma área central A entre −z e z deixa (1 − A)/2 em cada cauda, então Φ(z) = (1 + A)/2. Para um valor x, use x = μ + zσ.
Área à esquerda
Φ(z) = 0,2
z da tabela
z ≈ −0,84
De volta às unidades originais
x = 65 − 0,84·10 = 56,6 pontos
Resposta
x = 56,6 pontos
15.Intervalos de confiança
Resposta: E = 10,91
Intervalo de confiança para uma média: x̄ ± margem de erro. Com σ populacional conhecido, a margem é z·σ/√n; tendo apenas o desvio-padrão amostral s, use t com n − 1 graus de liberdade: t·s/√n. Valores críticos: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Para obter uma margem E ou menor, você precisa de n ≥ (z·σ/E)², arredondado para cima.
Valor crítico
df = n − 1 = 24, t = 2,797
Margem de erro
E = 2,797·19,5/√25 = 10,91
Resposta
E = 10,91
16.Intervalos de confiança
Resposta: n = 752
Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.
Resolver em ordem a n
n = 1,645²·0,5·0,5/0,03² = 751,7
Arredondar para cima
n = 752
Resposta
n = 752
17.Testes de hipóteses e intervalos de confiança
Resposta: t = 2,1
Teste a uma média: a estatística de teste mede a quantos erros-padrão a média amostral está do valor afirmado em H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) quando σ é conhecido, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) quando é estimado pela amostra. Um intervalo de confiança é x̄ ± (valor crítico)·(erro-padrão).
Erro-padrão
SE = 8/√49 = 8/7 = 1,143
Estatística de teste
t = (102,4 − 100)/1,143 = 2,1
Resposta
t = 2,1
t0,025; df = 48 = 2,011
|t| > 2,011, então H₀ é rejeitada ao nível de 5% (bilateral).
18.Testes de hipóteses e intervalos de confiança
Resposta: n = 68
Teste a uma média: a estatística de teste mede a quantos erros-padrão a média amostral está do valor afirmado em H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) quando σ é conhecido, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) quando é estimado pela amostra. Um intervalo de confiança é x̄ ± (valor crítico)·(erro-padrão).
Resolver em ordem a n
n = (1,645·15/3)² = 67,65
Arredondar para cima
n = 68
Resposta
n = 68
19.Regressão linear e correlação
Resposta: r² = 0,8903
Regressão por mínimos quadrados: com x̄ e ȳ as médias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), a reta ŷ = a + b·x tem inclinação b = Sxy/Sxx e intercepto a = ȳ − b·x̄, então ela sempre passa por (x̄, ȳ). O coeficiente de correlação de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) fica entre −1 e 1; r² é a fração da variação de y explicada pela reta.
Médias
x̄ = 25/5 = 5
ȳ = 359/5 = 71,8
Somas de quadrados e de produtos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 48
Syy = Σ(y − ȳ)² = 258,8
Coeficiente de determinação
r² = 48²/(10·258,8) = 0,8903
Resposta
r² = 0,8903
Cerca de 89,03% da variação de y é explicada pela reta.
20.Regressão linear e correlação
Resposta: ŷ = 86,8
Regressão por mínimos quadrados: com x̄ e ȳ as médias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), a reta ŷ = a + b·x tem inclinação b = Sxy/Sxx e intercepto a = ȳ − b·x̄, então ela sempre passa por (x̄, ȳ). O coeficiente de correlação de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) fica entre −1 e 1; r² é a fração da variação de y explicada pela reta.
Médias
x̄ = 90/5 = 18
ȳ = 524/5 = 104,8
Somas de quadrados e de produtos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 240
Reta de regressão
b = 240/40 = 6
a = 104,8 − 6·18 = −3,2
ŷ = −3,2 + 6·x
Previsão
ŷ = −3,2 + 6·15 = 86,8
Resposta
ŷ = 86,8
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