Prática de métodos quantitativos e renda fixa do CFA Level I: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 20 exercícios, com soluções completas no final.

Novos exercícios Voltar à disciplina

Na janela de impressão, escolha “Salvar como PDF” para guardar uma cópia no seu dispositivo.

1Fórmulas e métodos

Valor temporal do dinheiro

Valor futuro: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Valor atual: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Vários períodos por ano: i = r/m, N = m·n
Anuidade, valor atual: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Anuidade, valor futuro: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Método

Desenhe uma linha do tempo com cada fluxo de caixa e o momento em que ocorre.
Ajuste a taxa ao período: uma taxa mensal para pagamentos mensais.
Use FV = PV·(1 + i)ⁿ para valores únicos e as fórmulas de anuidade para pagamentos iguais.
Verifique o sinal e a ordem de grandeza da resposta.

VAL e TIR

Valor atual líquido: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Fluxos iguais: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Taxa interna de retorno: o r em que NPV = 0
Decisão: aceitar se NPV > 0 (ou IRR > retorno exigido)

Método

Liste todos os fluxos de caixa com o seu ano; o investimento no ano 0 é negativo.
Desconte cada fluxo de caixa: CF_t/(1 + r)^t.
Some-os para obter o VPL. Positivo significa que o projeto rende mais que r.
Para a TIR, encontre a taxa que zera o VPL por tentativa ou interpolação.

Preço e rendimento de títulos

Preço do título: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Semestral: C/2, y/2 e 2n períodos
Rendimento corrente: C/P
Preço e rendimento: rendimento sobe → preço cai

Método

Encontre o cupom por período e o rendimento por período.
Preço = valor presente dos cupons (uma anuidade) + valor presente do valor de face.
Para cupons semestrais use metade do cupom, metade do rendimento e o dobro de períodos.
Verificação: se o rendimento está acima da taxa de cupom, o preço fica abaixo do valor de face.

CAPM e WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Valor da empresa: V = E + D

Estatística descritiva

Média: x̄ = Σx/n
Desvio-padrão amostral: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: valor do meio dos dados ordenados
Pontuação z: z = (x − μ)/σ
Distribuição normal: 68% dentro de ±1σ, 95% dentro de ±2σ

Probabilidades

Complementar: P(not A) = 1 − P(A)
Regra da adição: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Eventos independentes: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Probabilidade condicional: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Distribuição normal

Pontuação z: z = (x − μ)/σ
Abaixo de x: P(X < x) = Φ(z)
Acima de x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Entre: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentil: x = μ + z·σ

Método

Converta o valor em um escore z: z = (x − μ)/σ.
Procure Φ(z), a área à esquerda de z.
Para a área à direita use 1 − Φ(z); para um intervalo subtraia as duas áreas à esquerda.
Para um percentil, faça o caminho inverso: encontre z para a área e depois x = μ + z·σ.

Intervalos de confiança

σ conhecido: x̄ ± z·σ/√n
σ desconhecido: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z crítico: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Tamanho da amostra: n = (z·σ/E)², rounded up

Método

Escolha entre z (σ populacional conhecido) e t (só o s amostral, com n − 1 graus de liberdade).
Encontre o valor crítico para o nível de confiança.
Margem de erro: E = valor crítico × desvio-padrão/√n.
Intervalo: x̄ ± E.

Testes de hipóteses e intervalos de confiança

Teste z para uma média: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Teste t para uma média: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Bilateral a 5%: rejeite H₀ se |z| > 1,96
Intervalo de confiança: x̄ ± z·σ/√n

Método

Enuncie H₀ e H₁ e decida se o teste é unilateral ou bilateral.
Calcule a estatística de teste: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), ou com s e t.
Compare com o valor crítico, ou encontre o valor-p.
Rejeite H₀ se a estatística estiver além do valor crítico (p abaixo de α) e enuncie a conclusão em palavras.

Regressão linear e correlação

Somas de quadrados: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Inclinação: b = S_xy/S_xx
Intercepto: a = ȳ − b·x̄
Correlação: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Resíduo: e = y − ŷ

2Exercícios

1.Valor temporal do dinheiroMédia

Investe €3 000 a uma taxa nominal de 2 % ao ano, capitalizada mensalmente. Calcule o valor FV do investimento ao fim de 6 anos.

PV = €3 0002% / 12n = 6

FV = €

2.Valor temporal do dinheiroDifícil

Você deposita €3 000 no início de cada ano durante 20 anos, sendo o primeiro depósito hoje. A conta rende 6% ao ano. Quanto há na conta no final do ano 20? Encontre FV.

A = €3 000i = 6%n = 20

FV = €

3.VAL e TIRMédia

Um projeto custa €20 000 hoje e retorna €5 500 no final de cada ano durante 5 anos. O custo de capital é 6%. Suponha que os fluxos de caixa entrem de forma uniforme ao longo de cada ano. Encontre o período de payback descontado DPB em anos.

r = 6%CF₀ = −20 000CF₁ = 5 500CF₂ = 5 500CF₃ = 5 500CF₄ = 5 500CF₅ = 5 500

DPB = anos

4.VAL e TIRDifícil

Um projeto custa €40 000 e devolve €20 000, €20 000, €16 500 no fim dos anos 1 a 3. Calcule a sua taxa interna de rendibilidade IRR em percentagem.

CF₀ = −40 000CF₁ = 20 000CF₂ = 20 000CF₃ = 16 500

IRR = %

5.Preço e rendimento de títulosMédia

Um título com valor de face de €1 000 vence em 5 anos e paga cupons anuais. Ele é vendido a €918 quando o rendimento até o vencimento é 7%. Encontre a taxa de cupom c em porcentagem.

F = €1 000n = 5P = €918YTM = 7%

c = %

6.Preço e rendimento de títulosDifícil

Um título com 20 anos até o vencimento (valor de face €1 000, cupom anual 9%) é vendido a €1 153. O emissor pode resgatá-lo antecipadamente daqui a 3 anos a um preço de resgate de €1 090. Encontre o rendimento até o resgate antecipado YTC em porcentagem.

F = €1 000cupom = 9%P = €1 153preço de resgate = €1 090resgate em 3 anos

YTC = %

7.CAPM e WACCMédia

Uma ação com beta de 1,5 tem retorno exigido de 9,25%. A taxa livre de risco é 1%. Que retorno esperado do mercado r_m o CAPM implica?

β = 1,5r_e = 9,25%r_f = 1%

r_m = %

8.CAPM e WACCDifícil

O negócio de uma empresa tem beta desalavancado (dos ativos) de 0,6. Ela planeja uma relação dívida/capital próprio de 0,25. A alíquota de imposto é 21%, a taxa livre de risco é 3% e o prêmio de risco de mercado é 4,5%. Encontre o custo do capital próprio r_e na nova estrutura de capital.

β_U = 0,6D/E = 0,25T = 21%r_f = 3%r_m − r_f = 4,5%

r_e = %

9.Estatística descritivaMédia

Calcule o desvio-padrão amostral s dos dados: 14, 51, 27, 33, 53, 44.

n = 6

s =

10.Estatística descritivaDifícil

As notas de um exame seguem uma distribuição normal com média 170 e desvio-padrão 5. Calcule a pontuação z z de uma nota de 160.

μ = 170σ = 5x = 160

z =

11.ProbabilidadesMédia

Para a distribuição mostrada, encontre a variância Var(X) de X.

x: 0, 2, 4, 6p(x): 0,25, 0,25, 0,15, 0,35

Var(X) =

12.ProbabilidadesDifícil

X tem a distribuição mostrada e Y = 10X + 5. Encontre o desvio padrão σ_Y de Y.

x: 0, 1, 2, 3p(x): 0,15, 0,25, 0,3, 0,3Y = 10X + 5

σ_Y =

13.Distribuição normalMédia

As notas de prova seguem uma distribuição normal com média 65 pontos e desvio-padrão 10 pontos. Que fração está entre 55 e 80,5 pontos? Dê P em forma decimal.

μ = 65σ = 10x₁ = 55x₂ = 80,5

P =

14.Distribuição normalDifícil

As pontuações de QI seguem uma distribuição normal com média 100 pontos e desvio-padrão 15 pontos. Calcule o valor x abaixo do qual estão 97,5% delas (o percentil 97,5).

μ = 100σ = 15P = 97,5%

x = pontos

15.Intervalos de confiançaMédia

Uma amostra de 16 itens tem média 49,5 e desvio-padrão s = 10. A população é aproximadamente normal. Calcule o limite inferior do intervalo de confiança de 99% para a média.

n = 16x̄ = 49,5s = 1099%t(15) = 2,947

limite inferior =

16.Intervalos de confiançaDifícil

O desvio-padrão da população é 10. Qual o tamanho de amostra n necessário para que um intervalo de confiança de 90% para a média tenha margem de erro de no máximo 2?

σ = 10E = 290%

n =

17.Testes de hipóteses e intervalos de confiançaMédia

Uma amostra de 16 estudantes tem nota média 69,5 e desvio-padrão amostral 10. Calcule a estatística de teste t para H₀: μ = 75.

μ₀ = 75x̄ = 69,5s = 10n = 16

t =

18.Testes de hipóteses e intervalos de confiançaDifícil

Que tamanho deve ter uma amostra para que o intervalo de confiança a 95 % para uma média tenha uma margem de erro de no máximo 1,5? O desvio-padrão é 15. Calcule o menor tamanho de amostra n.

σ = 15E = 1,595%

n =

19.Regressão linear e correlaçãoMédia

A tabela dá 6 observações pareadas de x = idade do carro em anos e y = preço em k€. Encontre o coeficiente de determinação r² da reta de mínimos quadrados.

n = 6

r² =

20.Regressão linear e correlaçãoDifícil

A tabela dá 6 observações pareadas de x = carga em kN e y = alongamento em mm. Use a reta de mínimos quadrados ŷ = a + b·x. Para que valor x a reta prevê ŷ = 16?

n = 6ŷ = 16

x =

3Soluções

1.Valor temporal do dinheiro

Resposta: FV = 3382 €

Valor temporal do dinheiro: o dinheiro hoje vale mais do que a mesma quantia no futuro, porque pode render juros. Com uma taxa i por período, um montante cresce para FV = PV·(1 + i)ⁿ. Uma série de pagamentos iguais (uma renda) avalia-se somando cada pagamento, o que dá as fórmulas das rendas.

Taxa e número de períodos

i = r/m = 0,02/12 = 0,001667

N = m·n = 12·6 = 72

Valor futuro

FV = 3 000·(1 + 0,001667)⁷² = 3 000·1,127 = €3 382,15

Resposta

FV = €3 382,15

2.Valor temporal do dinheiro

Resposta: FV = 116978 €

Fator de anuidade postecipada

((1 + 0,06)²⁰ − 1)/0,06 = 36,79

Anuidade antecipada

Cada depósito fica investido um ano a mais.

FV = 3 000·36,79·1,06 = €116 978,18

Resposta

FV = €116 978,18

3.VAL e TIR

Resposta: DPB = 4,229 anos

Período de payback: o tempo até que os fluxos de caixa acumulados recuperem o investimento inicial. Supõe-se que o caixa entra de forma uniforme durante cada ano, então a última parte é uma fração de ano. O payback simples ignora o valor do dinheiro no tempo; o payback descontado usa os fluxos de caixa descontados.

Fluxos de caixa descontados e acumulados

ano 1: 5 500/1,06 = 5 188,68 → Σ = 5 188,68

ano 2: 5 500/1,124 = 4 894,98 → Σ = 10 083,66

ano 3: 5 500/1,191 = 4 617,91 → Σ = 14 701,57

ano 4: 5 500/1,262 = 4 356,52 → Σ = 19 058,08

ano 5: 5 500/1,338 = 4 109,92 → Σ = 23 168,00

Fração do último ano

DPB = 4 + 941,92/4 109,92 = 4,229

Resposta

DPB = 4,229 anos

O payback descontado é sempre mais longo que o payback simples (3,636 anos).

4.VAL e TIR

Resposta: IRR = 20,17 %

Valor atual líquido: desconte cada fluxo de caixa até hoje com a rendibilidade exigida r e some-os: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Um projeto com NPV > 0 rende mais do que r e cria valor. A taxa interna de rendibilidade (TIR) é a taxa para a qual NPV = 0.

Enquadrar a TIR

O VAL desce quando a taxa sobe, por isso a TIR está entre uma taxa com VAL positivo e outra com VAL negativo.

NPV(20%) = 104,17

NPV(25%) = −2 752,00

Aproximar

A interpolação linear dá uma primeira estimativa; repeti-la (ou usar a função TIR de uma calculadora) dá a taxa exata.

IRR ≈ 20 + 5·104,17/(104,17 − (−2 752,00)) = 20,18%

exato: NPV(20,17%) = 0 → IRR = 20,17%

Resposta

IRR = 20,17%

5.Preço e rendimento de títulos

Resposta: c = 5 %

Precificação de títulos: o preço de um título é o valor presente dos seus fluxos de caixa, descontados ao rendimento até o vencimento (YTM): os cupons formam uma anuidade e o valor de face é devolvido no vencimento. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando o rendimento está acima da taxa de cupom, o título é negociado abaixo do valor de face, e vice-versa.

Valor presente do valor de face

1000·(1 + 0,07)⁻⁵ = €712,99

Cupom

C = (918 − 712,99)/4,1 = €50,00

Taxa de cupom

c = 50/1000 = 5%

Resposta

c = 5%

6.Preço e rendimento de títulos

Resposta: YTC = 6,091 %

Equação do rendimento

1153 = 90·(1 − (1 + y)⁻³)/y + 1090/(1 + y)³

Resolva numericamente

y = 6%: €1 155,76

y = 7%: €1 125,95

YTC = 6,091%

Resposta

YTC = 6,091%

O rendimento até o vencimento é 7,499%. Investidores em um título com ágio esperam que ele seja resgatado antecipadamente, então o rendimento até o resgate, menor, é o mais realista.

7.CAPM e WACC

Resposta: r_m = 6,5 %

Custo de capital: o CAPM dá o retorno exigido pelos acionistas: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). O custo médio ponderado de capital combina capital próprio e dívida pelos seus valores de mercado: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), com V = E + D. Os juros são dedutíveis do imposto, daí o (1 − T).

Prêmio de risco de mercado

r_m − r_f = (9,25% − 1%)/1,5 = 5,5%

Retorno do mercado

r_m = 1% + 5,5% = 6,5%

Resposta

r_m = 6,5%

8.CAPM e WACC

Resposta: r_e = 6,233 %

Beta alavancado (Hamada): a dívida torna o capital próprio mais arriscado. β_L = β_U·(1 + (1 − T)·D/E), onde β_U é o beta do negócio sem dívida. Para levar um beta a outra estrutura de capital, primeiro desalavanque-o e depois realavanque-o com o novo D/E.

Beta alavancado

β_L = 0,6·(1 + 0,79·0,25) = 0,7185

Custo do capital próprio (CAPM)

r_e = 3% + 0,7185·4,5% = 6,233%

Resposta

r_e = 6,233%

9.Estatística descritiva

Resposta: s = 15,14

Estatística descritiva: a média é a soma a dividir por n; a mediana é o valor central dos dados ordenados (a média dos dois centrais se n for par). O desvio-padrão amostral é s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Uma pontuação z = (x − μ)/σ diz a quantos desvios-padrão da média está um valor.

Média

x̄ = 222/6 = 37

Desvios ao quadrado

Σ(x − x̄)² = (−23)² + 14² + (−10)² + (−4)² + 16² + 7² = 1146

Desvio-padrão

s = √(1146/5) = 15,14

Resposta

s = 15,14

10.Estatística descritiva

Resposta: z = −2

Padronizar

z = (160 − 170)/5 = −2

Resposta

z = −2

11.Probabilidades

Resposta: Var(X) = 5,76

Variáveis aleatórias discretas: uma distribuição de probabilidade lista cada valor x que uma variável pode assumir com sua probabilidade p(x); as probabilidades ficam entre 0 e 1 e somam 1. O valor esperado (média) é E(X) = Σx·p(x), a média de longo prazo. A variância é Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², e o desvio padrão é σ = √Var(X). Para uma mudança linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) e σ_Y = |a|·σ_X; somar uma constante não muda a dispersão.

Média

μ = 0·0,25 + 2·0,25 + 4·0,15 + 6·0,35 = 3,2

Média dos quadrados

E(X²) = 0·0,25 + 4·0,25 + 16·0,15 + 36·0,35 = 16

Variância

Var(X) = 16 − 3,2² = 5,76

Resposta

Var(X) = 5,76

12.Probabilidades

Resposta: σ_Y = 10,43

Dispersão de X

μ = 1,75, Var(X) = 1,087, σ_X = 1,043

Mudança linear

σ_Y = |10|·1,043 = 10,43

Resposta

σ_Y = 10,43

A média de fato se desloca: E(Y) = 10·1,75 + 5 = 22,5.

13.Distribuição normal

Resposta: P = 0,7808

Distribuição normal: converta um valor x em uma pontuação z, z = (x − μ)/σ, que conta quantos desvios-padrão ele está da média. Uma tabela z (ou Φ(z)) dá a área à esquerda de z, que é P(X < x). A área à direita é 1 − Φ(z), e a área entre dois valores é a diferença entre as duas áreas.

Pontuações z

z₁ = (55 − 65)/10 = −1

z₂ = (80,5 − 65)/10 = 1,55

Área entre os valores

P = Φ(1,55) − Φ(−1) = 0,9394 − 0,1587 = 0,7808

Resposta

P = 0,7808

14.Distribuição normal

Resposta: x = 129,4 pontos

z do percentil

Φ(z) = 0,975 → z = 1,96

De volta a x

x = 100 + 1,96·15 = 129,4 pontos

Resposta

x = 129,4 pontos

15.Intervalos de confiança

Resposta: limite inferior = 42,13

Intervalo de confiança para uma média: x̄ ± margem de erro. Com σ populacional conhecido, a margem é z·σ/√n; tendo apenas o desvio-padrão amostral s, use t com n − 1 graus de liberdade: t·s/√n. Valores críticos: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Para obter uma margem E ou menor, você precisa de n ≥ (z·σ/E)², arredondado para cima.

Valor crítico

df = n − 1 = 15, t = 2,947

Margem de erro

E = 2,947·10/√16 = 7,367

Intervalo

49,5 ± 7,367 → [42,13, 56,87]

Resposta

limite inferior = 42,13

16.Intervalos de confiança

Resposta: n = 68

Resolver em ordem a n

n = (1,645·10/2)² = 67,65

Arredondar para cima

O tamanho da amostra é um número inteiro, e arredondar para baixo deixaria a margem grande demais.

n = 68

Resposta

n = 68

17.Testes de hipóteses e intervalos de confiança

Resposta: t = −2,2

Teste a uma média: a estatística de teste mede a quantos erros-padrão a média amostral está do valor afirmado em H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) quando σ é conhecido, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) quando é estimado pela amostra. Um intervalo de confiança é x̄ ± (valor crítico)·(erro-padrão).

Erro-padrão

SE = 10/√16 = 10/4 = 2,5

Estatística de teste

t = (69,5 − 75)/2,5 = −2,2

Resposta

t = −2,2

t_{0,025; df = 15} = 2,131

|t| > 2,131, então H₀ é rejeitada ao nível de 5% (bilateral).

18.Testes de hipóteses e intervalos de confiança

Resposta: n = 385

Resolver em ordem a n

n = (1,96·15/1,5)² = 384,2

Arredondar para cima

n = 385

Resposta

n = 385

19.Regressão linear e correlação

Resposta: r² = 0,9005

Regressão por mínimos quadrados: com x̄ e ȳ as médias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), a reta ŷ = a + b·x tem inclinação b = Sxy/Sxx e intercepto a = ȳ − b·x̄, então ela sempre passa por (x̄, ȳ). O coeficiente de correlação de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) fica entre −1 e 1; r² é a fração da variação de y explicada pela reta.

Médias

x̄ = 21/6 = 3,5

ȳ = 92/6 = 15,33

Somas de quadrados e de produtos

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −43

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 117,3

Coeficiente de determinação

r² = −43²/(17,5·117,3) = 0,9005

Resposta

r² = 0,9005

Cerca de 90,05% da variação de y é explicada pela reta.

20.Regressão linear e correlação

Resposta: x = 9,029

Médias

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 80/6 = 13,33

Somas de quadrados e de produtos

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 92

Reta de regressão

b = 92/70 = 1,314

a = 13,33 − 1,314·7 = 4,133

ŷ = 4,133 + 1,314·x

Resolver para x

x = (16 − 4,133)/1,314 = 9,029

Resposta

x = 9,029

Este é um material de prática independente. O ExamProblems não é afiliado nem endossado pela organização que aplica este exame, e o nome do exame é usado apenas para descrever o conteúdo. CFA® and Chartered Financial Analyst® são marcas de CFA Institute, que não é afiliado ao ExamProblems, não o endossa nem garante a sua exatidão.

ExamProblems · examproblems.com/courses/cfa-level-1-quant-and-fixed-income