Um cartão de crédito cobra uma taxa de juros nominal de 16% ao ano, capitalizada semestralmente. Encontre a taxa efetiva anual EAR em porcentagem.
r = 16%m = 2
EAR = %
2.Valor temporal do dinheiroDifícil
Um empréstimo de €250 000 é pago em prestações mensais iguais durante 30 anos. A taxa de juro é de 2,4 % ao ano, capitalizada mensalmente. Calcule a prestação mensal A.
P = €250 0002,4% / 12N = 360
A = €
3.VAL e TIRMédia
Um investimento de €60 000 gera estes fluxos no fim dos anos 1 a 4: €19 000, €26 000, €20 000, €30 000. O custo do capital é de 10 %. Calcule o valor atual líquido NPV.
O projeto A custa €10 000 e retorna €6 000, €3 500, €2 000 no final dos anos 1 a 3. O projeto B custa €12 000 e retorna €3 000, €4 500, €6 500. Encontre a taxa de Fisher (ponto de interseção) r* na qual os dois projetos têm o mesmo VPL, em porcentagem.
Você compra um título com 3 anos até o vencimento (valor de face €1 000, cupom anual 7%) quando seu rendimento até o vencimento é 8%. Um ano depois, logo após receber o primeiro cupom, você o vende quando o rendimento até o vencimento é 9,5%. Encontre seu retorno no período de posse HPR em porcentagem.
F = €1 000cupom = 7%n = 3y0 = 8%y1 = 9,5%
HPR = %
6.Preço e rendimento de títulosDifícil
Um título é negociado a €1 020 com rendimento até o vencimento de 4% (capitalização anual) e duration de Macaulay de 10,2 anos. Use a duration modificada para estimar o novo preço P se o rendimento subir 150 pontos-base.
P0 = €1 020y = 4%D = 10,2Δy = +150 bp
P = €
7.CAPM e WACCMédia
Uma empresa tem capital próprio de €8 000 000 e dívida de €5 000 000. Seu custo do capital próprio é 14%, seu custo da dívida antes dos impostos é 6% e a alíquota de imposto é 30%. Calcule o WACC.
As ações de uma empresa têm beta de 1,1 na sua relação dívida/capital próprio atual de 0,2. Ela planeja elevar a relação dívida/capital próprio para 1. A alíquota de imposto é 20%, a taxa livre de risco 1,5% e o prêmio de risco de mercado 6,5%. Encontre o custo do capital próprio re após a mudança.
Calcule o desvio-padrão amostral s dos dados: 18, 39, 44, 47, 44, 22, 30.
n = 7
s =
10.Estatística descritivaDifícil
As notas de um exame seguem uma distribuição normal com média 170 e desvio-padrão 20. Calcule a pontuação z z de uma nota de 160.
μ = 170σ = 20x = 160
z =
11.ProbabilidadesMédia
Para a distribuição mostrada, encontre o desvio padrão σ de X.
x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0,2, 0,1, 0,15, 0,3, 0,25
σ =
12.ProbabilidadesDifícil
X tem a distribuição mostrada e Y = 5X + 1. Encontre o desvio padrão σY de Y.
x: 0, 1, 2p(x): 0,3, 0,35, 0,35Y = 5X + 1
σY =
13.Distribuição normalMédia
Arraste z para que a área sombreada entre −z e z sob a curva normal padrão seja 0,9328. Encontre z com duas casas decimais.
A = 0,9328
z =
14.Distribuição normalDifícil
As pontuações de QI seguem uma distribuição normal com média 100 pontos e desvio-padrão 15 pontos. Calcule o valor x abaixo do qual estão 99% delas (o percentil 99).
μ = 100σ = 15P = 99%
x = pontos
15.Intervalos de confiançaMédia
Um intervalo de confiança de 95% para uma média, baseado em 50 observações e σ conhecido, tem margem de erro de 4,7. Qual é a margem de erro E₂ de um intervalo de 90% com os mesmos dados?
95%n₁ = 50E₁ = 4,790%
E₂ =
16.Intervalos de confiançaDifícil
Dois fertilizantes são testados. Grupo de parcelas 1: 11 parcelas, produção média 57,5 kg, desvio-padrão 4,5 kg. Grupo de parcelas 2: 15 parcelas, média 46,5 kg, desvio-padrão 2 kg. Suponha variâncias iguais (t combinado, gl = n₁ + n₂ − 2). Encontre o limite superior do intervalo de confiança de 99% para μ₁ − μ₂.
17.Testes de hipóteses e intervalos de confiançaMédia
Uma amostra de 100 estudantes tem nota média 501,2 e desvio-padrão amostral 10. Calcule a estatística de teste t para H₀: μ = 500.
μ₀ = 500x̄ = 501,2s = 10n = 100
t =
18.Testes de hipóteses e intervalos de confiançaDifícil
Que tamanho deve ter uma amostra para que o intervalo de confiança a 90 % para uma média tenha uma margem de erro de no máximo 3? O desvio-padrão é 12. Calcule o menor tamanho de amostra n.
σ = 12E = 390%
n =
19.Regressão linear e correlaçãoMédia
A tabela dá 5 observações pareadas de x = idade do carro em anos e y = preço em k€. Encontre o coeficiente de correlação de Pearson r.
n = 5
r =
20.Regressão linear e correlaçãoDifícil
A tabela dá 5 observações pareadas de x = idade do carro em anos e y = preço em k€. Use a reta de mínimos quadrados ŷ = a + b·x. É feita uma nova observação (1,5, 20). Encontre o seu resíduo e = y − ŷ.
n = 5(1,5, 20)
e =
3Soluções
1.Valor temporal do dinheiro
Resposta: EAR = 16,64 %
Valor temporal do dinheiro: o dinheiro hoje vale mais do que a mesma quantia no futuro, porque pode render juros. Com uma taxa i por período, um montante cresce para FV = PV·(1 + i)n. Uma série de pagamentos iguais (uma renda) avalia-se somando cada pagamento, o que dá as fórmulas das rendas.
Taxa por período
r/m = 0,16/2 = 0,08
Capitalize ao longo de um ano
EAR = (1 + 0,08)2 − 1 = 1,166 − 1 = 16,64%
Resposta
EAR = 16,64%
A taxa efetiva anual é sempre maior que a taxa nominal quando os juros são capitalizados mais de uma vez por ano.
2.Valor temporal do dinheiro
Resposta: A = 974,9 €
Valor temporal do dinheiro: o dinheiro hoje vale mais do que a mesma quantia no futuro, porque pode render juros. Com uma taxa i por período, um montante cresce para FV = PV·(1 + i)n. Uma série de pagamentos iguais (uma renda) avalia-se somando cada pagamento, o que dá as fórmulas das rendas.
Taxa mensal e número de prestações
i = 0,024/12 = 0,002
N = 12·30 = 360
Prestação
O valor atual de N pagamentos iguais A é A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Iguale-o ao empréstimo e resolva em ordem a A.
(1 + i)−N = 0,4871
A = 250 000·0,002/(1 − 0,4871) = €974,85
Resposta
A = €974,85
3.VAL e TIR
Resposta: NPV = 14277 €
Valor atual líquido: desconte cada fluxo de caixa até hoje com a rendibilidade exigida r e some-os: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Um projeto com NPV > 0 rende mais do que r e cria valor. A taxa interna de rendibilidade (TIR) é a taxa para a qual NPV = 0.
Valor atual de cada fluxo
CF0 = −60 000
CF1/(1 + 0,1)1 = 19 000/1,1 = 17 272,73
CF2/(1 + 0,1)2 = 26 000/1,21 = 21 487,60
CF3/(1 + 0,1)3 = 20 000/1,331 = 15 026,30
CF4/(1 + 0,1)4 = 30 000/1,464 = 20 490,40
Somar
NPV = €14 277,03
Resposta
NPV = €14 277,03
O VAL é positivo, logo o projeto rende mais do que a rendibilidade exigida.
4.VAL e TIR
Resposta: r* = 4,386 %
Taxa de interseção (taxa de Fisher): a taxa de desconto na qual dois projetos têm o mesmo VPL. Ela é a TIR da diferença entre seus fluxos de caixa (B − A). Abaixo dela, o projeto com fluxos de caixa maiores e mais tardios tem o VPL mais alto; acima dela, o outro vence.
Diferença dos fluxos de caixa
ΔCF0 = −12 000 − (−10 000) = −2 000
ΔCF1 = 3 000 − 6 000 = −3 000
ΔCF2 = 4 500 − 3 500 = 1 000
ΔCF3 = 6 500 − 2 000 = 4 500
TIR da diferença
NPVΔ(4%) = 40,42
NPVΔ(5%) = −62,84
r* = 4,386%
Resposta
r* = 4,386%
Verificação: a 4,386% os dois VPLs valem €718,22.
5.Preço e rendimento de títulos
Resposta: HPR = 5,347 %
Precificação de títulos: o preço de um título é o valor presente dos seus fluxos de caixa, descontados ao rendimento até o vencimento (YTM): os cupons formam uma anuidade e o valor de face é devolvido no vencimento. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando o rendimento está acima da taxa de cupom, o título é negociado abaixo do valor de face, e vice-versa.
Duration: a duration de Macaulay é o prazo médio ponderado em que um título paga seus fluxos de caixa, usando como pesos os valores presentes dos fluxos de caixa: D = Σ t·PVₜ/P. A duration modificada D/(1 + y) estima a variação percentual do preço para uma pequena variação do rendimento: %ΔP ≈ −Dmod·Δy.
Duration modificada
Dmod = 10,2/1,04 = 9,808
Variação estimada do preço
%ΔP ≈ −9,808·(0,015) = −14,71%
P ≈ 1020·(1 − 0,1471) = €869,94
Resposta
P = €869,94
A duration é uma estimativa linear; para grandes variações de rendimento a convexidade torna o preço real um pouco mais alto.
7.CAPM e WACC
Resposta: WACC = 10,23 %
Custo de capital: o CAPM dá o retorno exigido pelos acionistas: re = rf + β·(rm − rf). O custo médio ponderado de capital combina capital próprio e dívida pelos seus valores de mercado: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), com V = E + D. Os juros são dedutíveis do imposto, daí o (1 − T).
Pesos
V = €13 000 000, E/V = 0,6154, D/V = 0,3846
WACC
WACC = 0,6154·14% + 0,3846·6%·(1 − 0,3) = 10,23%
Resposta
WACC = 10,23%
8.CAPM e WACC
Resposta: re = 12,59 %
Beta alavancado (Hamada): a dívida torna o capital próprio mais arriscado. βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E), onde βU é o beta do negócio sem dívida. Para levar um beta a outra estrutura de capital, primeiro desalavanque-o e depois realavanque-o com o novo D/E.
Desalavanque o beta
βU = 1,1/(1 + 0,8·0,2) = 0,9483
Realavanque com o novo D/E
βL = 0,9483·(1 + 0,8·1) = 1,707
Custo do capital próprio (CAPM)
re = 1,5% + 1,707·6,5% = 12,59%
Resposta
re = 12,59%
9.Estatística descritiva
Resposta: s = 11,58
Estatística descritiva: a média é a soma a dividir por n; a mediana é o valor central dos dados ordenados (a média dos dois centrais se n for par). O desvio-padrão amostral é s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Uma pontuação z = (x − μ)/σ diz a quantos desvios-padrão da média está um valor.
Estatística descritiva: a média é a soma a dividir por n; a mediana é o valor central dos dados ordenados (a média dos dois centrais se n for par). O desvio-padrão amostral é s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Uma pontuação z = (x − μ)/σ diz a quantos desvios-padrão da média está um valor.
Padronizar
z = (160 − 170)/20 = −0,5
Resposta
z = −0,5
11.Probabilidades
Resposta: σ = 1,453
Variáveis aleatórias discretas: uma distribuição de probabilidade lista cada valor x que uma variável pode assumir com sua probabilidade p(x); as probabilidades ficam entre 0 e 1 e somam 1. O valor esperado (média) é E(X) = Σx·p(x), a média de longo prazo. A variância é Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², e o desvio padrão é σ = √Var(X). Para uma mudança linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) e σY = |a|·σX; somar uma constante não muda a dispersão.
Variáveis aleatórias discretas: uma distribuição de probabilidade lista cada valor x que uma variável pode assumir com sua probabilidade p(x); as probabilidades ficam entre 0 e 1 e somam 1. O valor esperado (média) é E(X) = Σx·p(x), a média de longo prazo. A variância é Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², e o desvio padrão é σ = √Var(X). Para uma mudança linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) e σY = |a|·σX; somar uma constante não muda a dispersão.
Dispersão de X
μ = 1,05, Var(X) = 0,6475, σX = 0,8047
Mudança linear
σY = |5|·0,8047 = 4,023
Resposta
σY = 4,023
A média de fato se desloca: E(Y) = 5·1,05 + 1 = 6,25.
13.Distribuição normal
Resposta: z = 1,83
De uma área de volta a z: Φ(z) é a área à esquerda de z. Para uma área de cauda esquerda A, encontre na tabela o z com Φ(z) = A. Uma área de cauda direita A significa Φ(z) = 1 − A. Uma área central A entre −z e z deixa (1 − A)/2 em cada cauda, então Φ(z) = (1 + A)/2. Para um valor x, use x = μ + zσ.
Área à esquerda de z
Φ(z) = (1 + 0,9328)/2 = 0,9664
Leia a tabela de z ao contrário
Encontre 0,9664 dentro da tabela e leia z.
z = 1,83
Resposta
z = 1,83
14.Distribuição normal
Resposta: x = 134,9 pontos
Distribuição normal: converta um valor x em uma pontuação z, z = (x − μ)/σ, que conta quantos desvios-padrão ele está da média. Uma tabela z (ou Φ(z)) dá a área à esquerda de z, que é P(X < x). A área à direita é 1 − Φ(z), e a área entre dois valores é a diferença entre as duas áreas.
z do percentil
Φ(z) = 0,99 → z = 2,326
De volta a x
x = 100 + 2,326·15 = 134,89 pontos
Resposta
x = 134,89 pontos
15.Intervalos de confiança
Resposta: E₂ = 3,945
Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.
Razão das margens
E₂/E₁ = (1,645/1,96)·√(50/50) = 0,8393
Nova margem
E₂ = 4,7·0,8393 = 3,945
Resposta
E₂ = 3,945
16.Intervalos de confiança
Resposta: limite superior = 14,64 kg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Desvio-padrão combinado
sp² = (10·4,5² + 14·2²)/24 = 10,77
sp = 3,282
Margem de erro
E = 2,797·3,282·√(1/11 + 1/15) = 3,644
Intervalo
11 ± 3,644 → [7,356, 14,64]
Resposta
limite superior = 14,64 kg
17.Testes de hipóteses e intervalos de confiança
Resposta: t = 1,2
Teste a uma média: a estatística de teste mede a quantos erros-padrão a média amostral está do valor afirmado em H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) quando σ é conhecido, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) quando é estimado pela amostra. Um intervalo de confiança é x̄ ± (valor crítico)·(erro-padrão).
Erro-padrão
SE = 10/√100 = 10/10 = 1
Estatística de teste
t = (501,2 − 500)/1 = 1,2
Resposta
t = 1,2
t0,025; df = 99 = 1,984
|t| < 1.984, então H₀ não é rejeitada ao nível de 5% (bilateral).
18.Testes de hipóteses e intervalos de confiança
Resposta: n = 44
Teste a uma média: a estatística de teste mede a quantos erros-padrão a média amostral está do valor afirmado em H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) quando σ é conhecido, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) quando é estimado pela amostra. Um intervalo de confiança é x̄ ± (valor crítico)·(erro-padrão).
Resolver em ordem a n
n = (1,645·12/3)² = 43,3
Arredondar para cima
n = 44
Resposta
n = 44
19.Regressão linear e correlação
Resposta: r = −0,9487
Regressão por mínimos quadrados: com x̄ e ȳ as médias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), a reta ŷ = a + b·x tem inclinação b = Sxy/Sxx e intercepto a = ȳ − b·x̄, então ela sempre passa por (x̄, ȳ). O coeficiente de correlação de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) fica entre −1 e 1; r² é a fração da variação de y explicada pela reta.
Médias
x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 110/5 = 22
Somas de quadrados e de produtos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −18
Syy = Σ(y − ȳ)² = 36
Coeficiente de correlação
r = −18/√(10·36) = −0,9487
Resposta
r = −0,9487
20.Regressão linear e correlação
Resposta: e = −4
Regressão por mínimos quadrados: com x̄ e ȳ as médias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), a reta ŷ = a + b·x tem inclinação b = Sxy/Sxx e intercepto a = ȳ − b·x̄, então ela sempre passa por (x̄, ȳ). O coeficiente de correlação de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) fica entre −1 e 1; r² é a fração da variação de y explicada pela reta.
Médias
x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 102/5 = 20,4
Somas de quadrados e de produtos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −24
Reta de regressão
b = −24/10 = −2,4
a = 20,4 − (−2,4)·3 = 27,6
ŷ = 27,6 − 2,4·x
Valor previsto
ŷ = 27,6 + (−2,4)·1,5 = 24
Resíduo
e = 20 − 24 = −4
Resposta
e = −4
O ponto está abaixo da reta.
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