Você investe €2 000 a 8% ao ano com capitalização contínua. Encontre o valor FV após 10 anos.
PV = €2 000r = 8%t = 10
FV = €
2.Valor temporal do dinheiroDifícil
Um financiamento imobiliário de €200 000 é pago em prestações mensais iguais ao longo de 20 anos a 4,2% ao ano, capitalizados mensalmente. Quanto ainda se deve logo após o pagamento do final do ano 5? Encontre o saldo devedor B.
P = €200 0004,2% / 12N = 240k = 60
B = €
3.VAL e TIRMédia
Um projeto custa €250 000 hoje. Ele gera €23 000 no final do primeiro ano, e o fluxo de caixa depois cresce 3% ao ano para sempre. O custo de capital é 10%. Encontre o valor presente líquido NPV.
C0 = €250 000CF1 = €23 000g = 3%r = 10%
NPV = €
4.VAL e TIRDifícil
Um projeto custa €10 000 e devolve €5 500, €3 500, €4 500 no fim dos anos 1 a 3. Calcule a sua taxa interna de rendibilidade IRR em percentagem.
CF0 = −10 000CF1 = 5 500CF2 = 3 500CF3 = 4 500
IRR = %
5.Preço e rendimento de títulosMédia
Um título com valor de face de €1 000 vence em 12 anos e paga cupons anuais. Ele é vendido a €849 quando o rendimento até o vencimento é 8%. Encontre a taxa de cupom c em porcentagem.
F = €1 000n = 12P = €849YTM = 8%
c = %
6.Preço e rendimento de títulosDifícil
Um título com valor de face de €1 000 e cupom anual de 3% vence em 8 anos e é vendido por €935. Calcule seu rendimento até o vencimento YTM em porcentagem.
F = €1 000cupom = 3%n = 8P = €935
YTM = %
7.CAPM e WACCMédia
Uma empresa tem capital próprio de €12 000 000 e dívida de €6 000 000. Seu custo do capital próprio é 13%, seu custo da dívida antes dos impostos é 4,5% e a alíquota de imposto é 20%. Calcule o WACC.
Uma empresa tem 2 000 000 ações negociadas a €16,50; o valor contábil do seu patrimônio líquido é €13 200 000. Ela acaba de pagar um dividendo de €1,90 por ação, e os dividendos crescem 4% ao ano. Sua dívida tem valor de mercado de €16 500 000 e custo antes dos impostos de 6%. A alíquota de imposto é 25%. Encontre o WACC, usando o modelo de crescimento de dividendos para o custo do capital próprio.
As alturas de homens adultos seguem uma distribuição normal com média 178 cm e desvio-padrão 7 cm. Que fração está entre 167,5 e 188,85 cm? Dê P em forma decimal.
μ = 178σ = 7x1 = 167,5x2 = 188,85
P =
14.Distribuição normalDifícil
Os notas de prova têm distribuição normal com média 65 pontos e desvio padrão 10 pontos. Arraste o ponto de corte para que os 95% inferiores sombreados fiquem à esquerda dele. Encontre o ponto de corte x.
μ = 65 pontosσ = 10 pontos95%
x = pontos
15.Intervalos de confiançaMédia
Uma amostra de 8 itens tem média 114,5 e desvio-padrão s = 17,5. A população é aproximadamente normal. Calcule o limite superior do intervalo de confiança de 90% para a média.
n = 8x̄ = 114,5s = 17,590%t(7) = 1,895
limite superior =
16.Intervalos de confiançaDifícil
O desvio-padrão da população é 35. Qual o tamanho de amostra n necessário para que um intervalo de confiança de 95% para a média tenha margem de erro de no máximo 1,5?
σ = 35E = 1,595%
n =
17.Testes de hipóteses e intervalos de confiançaMédia
Dois métodos de ensino são comparados. Grupo 1: 9 alunos, nota média 77, desvio-padrão 6,5. Grupo 2: 13 alunos, nota média 80,8, desvio-padrão 11,5. Suponha variâncias populacionais iguais e use o teste t de duas amostras com variância combinada. Encontre a estatística de teste t para H₀: μ₁ = μ₂, tomando a diferença como x̄₁ − x̄₂ (grupo 1 menos grupo 2).
n₁ = 9x̄₁ = 77s₁ = 6,5n₂ = 13x̄₂ = 80,8s₂ = 11,5
t =
18.Testes de hipóteses e intervalos de confiançaDifícil
Uma amostra de 81 medições tem média 99,6. O desvio-padrão da população é 12. Calcule o limite inferior L do intervalo de confiança a 90 % para a média.
x̄ = 99,6σ = 12n = 8190%
L =
19.Regressão linear e correlaçãoMédia
A tabela dá 5 observações pareadas de x = carga em kN e y = alongamento em mm. Encontre o coeficiente de correlação de Pearson r.
n = 5
r =
20.Regressão linear e correlaçãoDifícil
A tabela dá 6 observações pareadas de x = horas de estudo e y = nota na prova. Use a reta de mínimos quadrados ŷ = a + b·x. Preveja ŷ para x = 4,5.
n = 6x = 4,5
ŷ =
3Soluções
1.Valor temporal do dinheiro
Resposta: FV = 4451 €
Valor temporal do dinheiro: o dinheiro hoje vale mais do que a mesma quantia no futuro, porque pode render juros. Com uma taxa i por período, um montante cresce para FV = PV·(1 + i)n. Uma série de pagamentos iguais (uma renda) avalia-se somando cada pagamento, o que dá as fórmulas das rendas.
Expoente
r·t = 0,08·10 = 0,8
e0,8 = 2,226
Valor futuro
FV = 2 000·2,226 = €4 451,08
Resposta
FV = €4 451,08
2.Valor temporal do dinheiro
Resposta: B = 164474 €
Valor temporal do dinheiro: o dinheiro hoje vale mais do que a mesma quantia no futuro, porque pode render juros. Com uma taxa i por período, um montante cresce para FV = PV·(1 + i)n. Uma série de pagamentos iguais (uma renda) avalia-se somando cada pagamento, o que dá as fórmulas das rendas.
O que ainda se deve precisa ser quitado exatamente pelas prestações restantes.
N − k = 240 − 60 = 180
B = 1233·(1 − (1 + 0,0035)−180)/0,0035 = €164 473,61
Resposta
B = €164 473,61
3.VAL e TIR
Resposta: NPV = 78571 €
Valor atual líquido: desconte cada fluxo de caixa até hoje com a rendibilidade exigida r e some-os: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Um projeto com NPV > 0 rende mais do que r e cria valor. A taxa interna de rendibilidade (TIR) é a taxa para a qual NPV = 0.
Valor dos fluxos de caixa
PV = 23 000/(0,1 − 0,03) = 328 571,43
NPV
NPV = 328 571,43 − 250 000 = €78 571,43
Resposta
NPV = €78 571,43
O VAL é positivo, logo o projeto rende mais do que a rendibilidade exigida.
4.VAL e TIR
Resposta: IRR = 17,43 %
Valor atual líquido: desconte cada fluxo de caixa até hoje com a rendibilidade exigida r e some-os: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Um projeto com NPV > 0 rende mais do que r e cria valor. A taxa interna de rendibilidade (TIR) é a taxa para a qual NPV = 0.
Enquadrar a TIR
O VAL desce quando a taxa sobe, por isso a TIR está entre uma taxa com VAL positivo e outra com VAL negativo.
NPV(15%) = 387,93
NPV(20%) = −381,94
Aproximar
A interpolação linear dá uma primeira estimativa; repeti-la (ou usar a função TIR de uma calculadora) dá a taxa exata.
IRR ≈ 15 + 5·387,93/(387,93 − (−381,94)) = 17,52%
exato: NPV(17,43%) = 0 → IRR = 17,43%
Resposta
IRR = 17,43%
5.Preço e rendimento de títulos
Resposta: c = 5,996 %
Precificação de títulos: o preço de um título é o valor presente dos seus fluxos de caixa, descontados ao rendimento até o vencimento (YTM): os cupons formam uma anuidade e o valor de face é devolvido no vencimento. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando o rendimento está acima da taxa de cupom, o título é negociado abaixo do valor de face, e vice-versa.
Valor presente do valor de face
1000·(1 + 0,08)−12 = €397,11
Cupom
C = (849 − 397,11)/7,536 = €59,96
Taxa de cupom
c = 59,96/1000 = 5,996%
Resposta
c = 5,996%
6.Preço e rendimento de títulos
Resposta: YTM = 3,964 %
Precificação de títulos: o preço de um título é o valor presente dos seus fluxos de caixa, descontados ao rendimento até o vencimento (YTM): os cupons formam uma anuidade e o valor de face é devolvido no vencimento. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando o rendimento está acima da taxa de cupom, o título é negociado abaixo do valor de face, e vice-versa.
Equação do rendimento
€935 = €30·(1 − (1 + y)⁻⁸)/y + €1 000/(1 + y)⁸
Resolva numericamente
P(3%) = €1 000,00, P(4%) = €932,67
YTM = 3,964%
Resposta
YTM = 3,964%
7.CAPM e WACC
Resposta: WACC = 9,867 %
Custo de capital: o CAPM dá o retorno exigido pelos acionistas: re = rf + β·(rm − rf). O custo médio ponderado de capital combina capital próprio e dívida pelos seus valores de mercado: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), com V = E + D. Os juros são dedutíveis do imposto, daí o (1 − T).
Custo de capital: o CAPM dá o retorno exigido pelos acionistas: re = rf + β·(rm − rf). O custo médio ponderado de capital combina capital próprio e dívida pelos seus valores de mercado: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), com V = E + D. Os juros são dedutíveis do imposto, daí o (1 − T).
Estatística descritiva: a média é a soma a dividir por n; a mediana é o valor central dos dados ordenados (a média dos dois centrais se n for par). O desvio-padrão amostral é s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Uma pontuação z = (x − μ)/σ diz a quantos desvios-padrão da média está um valor.
Estatística descritiva: a média é a soma a dividir por n; a mediana é o valor central dos dados ordenados (a média dos dois centrais se n for par). O desvio-padrão amostral é s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Uma pontuação z = (x − μ)/σ diz a quantos desvios-padrão da média está um valor.
Padronizar
z = −1,5
Tabela da normal padrão
Φ(−1,5) = 0,06681
P = 1 − 0,06681 = 0,9332
Resposta
P = 0,9332
11.Probabilidades
Resposta: P = 0,4667
Probabilidades: com resultados equiprováveis, P(A) = favoráveis/possíveis. Para acontecimentos independentes multiplica-se: P(A e B) = P(A)·P(B). O complementar ajuda muitas vezes: P(pelo menos um) = 1 − P(nenhum). Binomial: em n provas independentes com probabilidade de sucesso p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Primeira e segunda tiragem
P = 7/10 · 6/9 = 42/90 = 0,4667
Resposta
P = 0,4667
12.Probabilidades
Resposta: σY = 5,22
Variáveis aleatórias discretas: uma distribuição de probabilidade lista cada valor x que uma variável pode assumir com sua probabilidade p(x); as probabilidades ficam entre 0 e 1 e somam 1. O valor esperado (média) é E(X) = Σx·p(x), a média de longo prazo. A variância é Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², e o desvio padrão é σ = √Var(X). Para uma mudança linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) e σY = |a|·σX; somar uma constante não muda a dispersão.
Dispersão de X
μ = 2,1, Var(X) = 1,09, σX = 1,044
Mudança linear
σY = |5|·1,044 = 5,22
Resposta
σY = 5,22
A média de fato se desloca: E(Y) = 5·2,1 − 3 = 7,5.
13.Distribuição normal
Resposta: P = 0,8726
Distribuição normal: converta um valor x em uma pontuação z, z = (x − μ)/σ, que conta quantos desvios-padrão ele está da média. Uma tabela z (ou Φ(z)) dá a área à esquerda de z, que é P(X < x). A área à direita é 1 − Φ(z), e a área entre dois valores é a diferença entre as duas áreas.
Pontuações z
z₁ = (167,5 − 178)/7 = −1,5
z₂ = (188,85 − 178)/7 = 1,55
Área entre os valores
P = Φ(1,55) − Φ(−1,5) = 0,9394 − 0,06681 = 0,8726
Resposta
P = 0,8726
14.Distribuição normal
Resposta: x = 81,4 pontos
De uma área de volta a z: Φ(z) é a área à esquerda de z. Para uma área de cauda esquerda A, encontre na tabela o z com Φ(z) = A. Uma área de cauda direita A significa Φ(z) = 1 − A. Uma área central A entre −z e z deixa (1 − A)/2 em cada cauda, então Φ(z) = (1 + A)/2. Para um valor x, use x = μ + zσ.
Área à esquerda
Φ(z) = 0,95
z da tabela
z ≈ 1,64
De volta às unidades originais
x = 65 + 1,64·10 = 81,4 pontos
Resposta
x = 81,4 pontos
15.Intervalos de confiança
Resposta: limite superior = 126,2
Intervalo de confiança para uma média: x̄ ± margem de erro. Com σ populacional conhecido, a margem é z·σ/√n; tendo apenas o desvio-padrão amostral s, use t com n − 1 graus de liberdade: t·s/√n. Valores críticos: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Para obter uma margem E ou menor, você precisa de n ≥ (z·σ/E)², arredondado para cima.
Valor crítico
df = n − 1 = 7, t = 1,895
Margem de erro
E = 1,895·17,5/√8 = 11,72
Intervalo
114,5 ± 11,72 → [102,8, 126,2]
Resposta
limite superior = 126,2
16.Intervalos de confiança
Resposta: n = 2092
Intervalo de confiança para uma média: x̄ ± margem de erro. Com σ populacional conhecido, a margem é z·σ/√n; tendo apenas o desvio-padrão amostral s, use t com n − 1 graus de liberdade: t·s/√n. Valores críticos: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Para obter uma margem E ou menor, você precisa de n ≥ (z·σ/E)², arredondado para cima.
Resolver em ordem a n
n = (1,96·35/1,5)² = 2092
Arredondar para cima
O tamanho da amostra é um número inteiro, e arredondar para baixo deixaria a margem grande demais.
n = 2092
Resposta
n = 2092
17.Testes de hipóteses e intervalos de confiança
Resposta: t = −0,8932
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Variância combinada
sp² = (8·6,5² + 12·11,5²)/20 = 96,25
sp = 9,811
Erro-padrão
SE = 9,811·√(1/9 + 1/13) = 4,254
Estatística de teste
t = (77 − 80,8)/4,254 = −0,8932
Resposta
t = −0,8932
Com gl = 20, o valor crítico bilateral a 5% é 2,086; |t| é menor, então H₀ não é rejeitada.
18.Testes de hipóteses e intervalos de confiança
Resposta: L = 97,41
Teste a uma média: a estatística de teste mede a quantos erros-padrão a média amostral está do valor afirmado em H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) quando σ é conhecido, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) quando é estimado pela amostra. Um intervalo de confiança é x̄ ± (valor crítico)·(erro-padrão).
Margem de erro
E = 1,645·12/√81 = 2,193
Limite do intervalo
L = 99,6 − 2,193 = 97,41
Resposta
L = 97,41
19.Regressão linear e correlação
Resposta: r = 0,9935
Regressão por mínimos quadrados: com x̄ e ȳ as médias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), a reta ŷ = a + b·x tem inclinação b = Sxy/Sxx e intercepto a = ȳ − b·x̄, então ela sempre passa por (x̄, ȳ). O coeficiente de correlação de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) fica entre −1 e 1; r² é a fração da variação de y explicada pela reta.
Médias
x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 99/5 = 19,8
Somas de quadrados e de produtos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 116
Syy = Σ(y − ȳ)² = 340,8
Coeficiente de correlação
r = 116/√(40·340,8) = 0,9935
Resposta
r = 0,9935
20.Regressão linear e correlação
Resposta: ŷ = 58,9
Regressão por mínimos quadrados: com x̄ e ȳ as médias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), a reta ŷ = a + b·x tem inclinação b = Sxy/Sxx e intercepto a = ȳ − b·x̄, então ela sempre passa por (x̄, ȳ). O coeficiente de correlação de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) fica entre −1 e 1; r² é a fração da variação de y explicada pela reta.
Médias
x̄ = 33/6 = 5,5
ȳ = 381/6 = 63,5
Somas de quadrados e de produtos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 80,5
Reta de regressão
b = 80,5/17,5 = 4,6
a = 63,5 − 4,6·5,5 = 38,2
ŷ = 38,2 + 4,6·x
Previsão
ŷ = 38,2 + 4,6·4,5 = 58,9
Resposta
ŷ = 58,9
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