Prática de métodos quantitativos e renda fixa do CFA Level I: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 20 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Valor temporal do dinheiro

Valor futuro: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Valor atual: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Vários períodos por ano: i = r/m, N = m·n
Anuidade, valor atual: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Anuidade, valor futuro: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Método

Desenhe uma linha do tempo com cada fluxo de caixa e o momento em que ocorre.
Ajuste a taxa ao período: uma taxa mensal para pagamentos mensais.
Use FV = PV·(1 + i)ⁿ para valores únicos e as fórmulas de anuidade para pagamentos iguais.
Verifique o sinal e a ordem de grandeza da resposta.

VAL e TIR

Valor atual líquido: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Fluxos iguais: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Taxa interna de retorno: o r em que NPV = 0
Decisão: aceitar se NPV > 0 (ou IRR > retorno exigido)

Método

Liste todos os fluxos de caixa com o seu ano; o investimento no ano 0 é negativo.
Desconte cada fluxo de caixa: CF_t/(1 + r)^t.
Some-os para obter o VPL. Positivo significa que o projeto rende mais que r.
Para a TIR, encontre a taxa que zera o VPL por tentativa ou interpolação.

Preço e rendimento de títulos

Preço do título: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Semestral: C/2, y/2 e 2n períodos
Rendimento corrente: C/P
Preço e rendimento: rendimento sobe → preço cai

Método

Encontre o cupom por período e o rendimento por período.
Preço = valor presente dos cupons (uma anuidade) + valor presente do valor de face.
Para cupons semestrais use metade do cupom, metade do rendimento e o dobro de períodos.
Verificação: se o rendimento está acima da taxa de cupom, o preço fica abaixo do valor de face.

CAPM e WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Valor da empresa: V = E + D

Estatística descritiva

Média: x̄ = Σx/n
Desvio-padrão amostral: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: valor do meio dos dados ordenados
Pontuação z: z = (x − μ)/σ
Distribuição normal: 68% dentro de ±1σ, 95% dentro de ±2σ

Probabilidades

Complementar: P(not A) = 1 − P(A)
Regra da adição: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Eventos independentes: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Probabilidade condicional: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Distribuição normal

Pontuação z: z = (x − μ)/σ
Abaixo de x: P(X < x) = Φ(z)
Acima de x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Entre: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentil: x = μ + z·σ

Método

Converta o valor em um escore z: z = (x − μ)/σ.
Procure Φ(z), a área à esquerda de z.
Para a área à direita use 1 − Φ(z); para um intervalo subtraia as duas áreas à esquerda.
Para um percentil, faça o caminho inverso: encontre z para a área e depois x = μ + z·σ.

Intervalos de confiança

σ conhecido: x̄ ± z·σ/√n
σ desconhecido: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z crítico: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Tamanho da amostra: n = (z·σ/E)², rounded up

Método

Escolha entre z (σ populacional conhecido) e t (só o s amostral, com n − 1 graus de liberdade).
Encontre o valor crítico para o nível de confiança.
Margem de erro: E = valor crítico × desvio-padrão/√n.
Intervalo: x̄ ± E.

Testes de hipóteses e intervalos de confiança

Teste z para uma média: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Teste t para uma média: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Bilateral a 5%: rejeite H₀ se |z| > 1,96
Intervalo de confiança: x̄ ± z·σ/√n

Método

Enuncie H₀ e H₁ e decida se o teste é unilateral ou bilateral.
Calcule a estatística de teste: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), ou com s e t.
Compare com o valor crítico, ou encontre o valor-p.
Rejeite H₀ se a estatística estiver além do valor crítico (p abaixo de α) e enuncie a conclusão em palavras.

Regressão linear e correlação

Somas de quadrados: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Inclinação: b = S_xy/S_xx
Intercepto: a = ȳ − b·x̄
Correlação: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Resíduo: e = y − ŷ

2Exercícios

1.Valor temporal do dinheiroMédia

Você investe €20 000 a 7% ao ano com capitalização contínua. Encontre o valor FV após 12 anos.

PV = €20 000r = 7%t = 12

FV = €

2.Valor temporal do dinheiroDifícil

Você quer €30 000 daqui a 5 anos. Você poupa o mesmo valor no final de cada mês em uma conta que rende 2,4% ao ano, capitalizados mensalmente. Encontre o depósito mensal A.

FV = €30 0002,4% / 12N = 60

A = €

3.VAL e TIRMédia

Um investimento de €20 000 gera estes fluxos no fim dos anos 1 a 3: €10 000, €9 000, €8 000. O custo do capital é de 10 %. Calcule o valor atual líquido NPV.

r = 10%CF₀ = −20 000CF₁ = 10 000CF₂ = 9 000CF₃ = 8 000

NPV = €

4.VAL e TIRDifícil

Um projeto custa €50 000 e devolve €24 500, €36 500, €25 500 no fim dos anos 1 a 3. Calcule a sua taxa interna de rendibilidade IRR em percentagem.

CF₀ = −50 000CF₁ = 24 500CF₂ = 36 500CF₃ = 25 500

IRR = %

5.Preço e rendimento de títulosMédia

Um título com valor de face de €1 000 vence em 10 anos e paga cupons anuais. Ele é vendido a €936 quando o rendimento até o vencimento é 9%. Encontre a taxa de cupom c em porcentagem.

F = €1 000n = 10P = €936YTM = 9%

c = %

6.Preço e rendimento de títulosDifícil

Um título com valor de face de €1 000 e cupom anual de 5% vence em 10 anos e é vendido por €860. Calcule seu rendimento até o vencimento YTM em porcentagem.

F = €1 000cupom = 5%n = 10P = €860

YTM = %

7.CAPM e WACCMédia

Uma empresa tem capital próprio de €2 000 000 e dívida de €5 000 000. Seu custo do capital próprio é 9%, seu custo da dívida antes dos impostos é 6% e a alíquota de imposto é 28%. Calcule o WACC.

E = €2 000 000D = €5 000 000r_e = 9%r_d = 6%T = 28%

WACC = %

8.CAPM e WACCDifícil

Uma empresa tem 2 500 000 ações a €21,00 cada e 40 000 títulos negociados a €1 020 cada. O custo da dívida antes dos impostos é 4,5% e a alíquota de imposto é 25%. O beta da ação é 0,6, a taxa livre de risco é 4% e o retorno do mercado é 8%. Calcule o WACC.

β = 0,6r_f = 4%r_m = 8%r_d = 4,5%T = 25%

WACC = %

9.Estatística descritivaMédia

Calcule o desvio-padrão amostral s dos dados: 60, 24, 22, 20, 28, 44, 42.

n = 7

s =

10.Estatística descritivaDifícil

As notas de um exame seguem uma distribuição normal com média 170 e desvio-padrão 5. Calcule a pontuação z z de uma nota de 177,5.

μ = 170σ = 5x = 177,5

z =

11.ProbabilidadesMédia

Lança-se um dado equilibrado 2 vezes. Qual é a probabilidade P de sair pelo menos um seis?

n = 2

P =

12.ProbabilidadesDifícil

Um teste tem 5 perguntas de escolha múltipla. Uma estudante que responde ao acaso acerta cada uma com probabilidade 0,3, de forma independente. Qual é a probabilidade P de acertar exatamente 3?

n = 5p = 0,3k = 3

P =

13.Distribuição normalMédia

As durações de baterias seguem uma distribuição normal com média 500 h e desvio-padrão 40 h. Que fração está entre 462 e 508 h? Dê P em forma decimal.

μ = 500σ = 40x₁ = 462x₂ = 508

P =

14.Distribuição normalDifícil

As pontuações de QI seguem uma distribuição normal com média 100 pontos e desvio-padrão 15 pontos. Calcule o valor x abaixo do qual estão 99% delas (o percentil 99).

μ = 100σ = 15P = 99%

x = pontos

15.Intervalos de confiançaMédia

Uma amostra de 25 itens tem média 76 e desvio-padrão s = 4,5. A população é aproximadamente normal. Calcule o limite inferior do intervalo de confiança de 95% para a média.

n = 25x̄ = 76s = 4,595%t(24) = 2,064

limite inferior =

16.Intervalos de confiançaDifícil

O desvio-padrão da população é 34. Qual o tamanho de amostra n necessário para que um intervalo de confiança de 99% para a média tenha margem de erro de no máximo 3?

σ = 34E = 399%

n =

17.Testes de hipóteses e intervalos de confiançaMédia

Duas linhas de produção fabricam a mesma peça. Linha 1: uma amostra de 30 peças tem comprimento médio de 112 mm, e o desvio-padrão conhecido da linha é 13 mm. Linha 2: uma amostra de 60 peças tem média de 105,1 mm, desvio-padrão conhecido de 11 mm. Encontre a estatística de teste z para H₀: μ₁ = μ₂, tomando a diferença como x̄₁ − x̄₂ (linha 1 menos linha 2).

n₁ = 30x̄₁ = 112 mmσ₁ = 13 mmn₂ = 60x̄₂ = 105,1 mmσ₂ = 11 mm

z =

18.Testes de hipóteses e intervalos de confiançaDifícil

Uma amostra de 36 medições tem média 203,8. O desvio-padrão da população é 15. Calcule o limite superior U do intervalo de confiança a 90 % para a média.

x̄ = 203,8σ = 15n = 3690%

U =

19.Regressão linear e correlaçãoMédia

A tabela dá 5 observações pareadas de x = idade do carro em anos e y = preço em k€. As suas somas são dadas. Encontre o coeficiente de correlação de Pearson r a partir dessas somas.

n = 5Σx = 15Σy = 95Σx² = 55Σy² = 1849Σxy = 265

r =

20.Regressão linear e correlaçãoDifícil

A tabela dá 5 observações pareadas de x = gasto com publicidade em k€ e y = vendas em k€. Use a reta de mínimos quadrados ŷ = a + b·x. Preveja ŷ para x = 4,5.

n = 5x = 4,5

ŷ =

3Soluções

1.Valor temporal do dinheiro

Resposta: FV = 46327 €

Valor temporal do dinheiro: o dinheiro hoje vale mais do que a mesma quantia no futuro, porque pode render juros. Com uma taxa i por período, um montante cresce para FV = PV·(1 + i)ⁿ. Uma série de pagamentos iguais (uma renda) avalia-se somando cada pagamento, o que dá as fórmulas das rendas.

Expoente

r·t = 0,07·12 = 0,84

e^0,84 = 2,316

Valor futuro

FV = 20 000·2,316 = €46 327,34

Resposta

FV = €46 327,34

2.Valor temporal do dinheiro

Resposta: A = 471,1 €

Taxa mensal e número de depósitos

i = 0,024/12 = 0,002

N = 12·5 = 60

Depósito

A = FV·i/((1 + i)^N − 1) = 30 000·0,002/(1,127 − 1) = €471,10

Resposta

A = €471,10

3.VAL e TIR

Resposta: NPV = 2539 €

Valor atual líquido: desconte cada fluxo de caixa até hoje com a rendibilidade exigida r e some-os: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Um projeto com NPV > 0 rende mais do que r e cria valor. A taxa interna de rendibilidade (TIR) é a taxa para a qual NPV = 0.

Valor atual de cada fluxo

CF₀ = −20 000

CF₁/(1 + 0,1)¹ = 10 000/1,1 = 9 090,91

CF₂/(1 + 0,1)² = 9 000/1,21 = 7 438,02

CF₃/(1 + 0,1)³ = 8 000/1,331 = 6 010,52

Somar

NPV = €2 539,44

Resposta

NPV = €2 539,44

O VAL é positivo, logo o projeto rende mais do que a rendibilidade exigida.

4.VAL e TIR

Resposta: IRR = 32,85 %

Enquadrar a TIR

O VAL desce quando a taxa sobe, por isso a TIR está entre uma taxa com VAL positivo e outra com VAL negativo.

NPV(30%) = 2 050,52

NPV(35%) = −1 460,14

Aproximar

A interpolação linear dá uma primeira estimativa; repeti-la (ou usar a função TIR de uma calculadora) dá a taxa exata.

IRR ≈ 30 + 5·2 050,52/(2 050,52 − (−1 460,14)) = 32,92%

exato: NPV(32,85%) = 0 → IRR = 32,85%

Resposta

IRR = 32,85%

5.Preço e rendimento de títulos

Resposta: c = 8,003 %

Precificação de títulos: o preço de um título é o valor presente dos seus fluxos de caixa, descontados ao rendimento até o vencimento (YTM): os cupons formam uma anuidade e o valor de face é devolvido no vencimento. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando o rendimento está acima da taxa de cupom, o título é negociado abaixo do valor de face, e vice-versa.

Valor presente do valor de face

1000·(1 + 0,09)⁻¹⁰ = €422,41

Cupom

C = (936 − 422,41)/6,418 = €80,03

Taxa de cupom

c = 80,03/1000 = 8,003%

Resposta

c = 8,003%

6.Preço e rendimento de títulos

Resposta: YTM = 6,993 %

Equação do rendimento

€860 = €50·(1 − (1 + y)⁻¹⁰)/y + €1 000/(1 + y)¹⁰

Resolva numericamente

P(6%) = €926,40, P(7%) = €859,53

YTM = 6,993%

Resposta

YTM = 6,993%

7.CAPM e WACC

Resposta: WACC = 5,657 %

Custo de capital: o CAPM dá o retorno exigido pelos acionistas: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). O custo médio ponderado de capital combina capital próprio e dívida pelos seus valores de mercado: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), com V = E + D. Os juros são dedutíveis do imposto, daí o (1 − T).

Pesos

V = €7 000 000, E/V = 0,2857, D/V = 0,7143

WACC

WACC = 0,2857·9% + 0,7143·6%·(1 − 0,28) = 5,657%

Resposta

WACC = 5,657%

8.CAPM e WACC

Resposta: WACC = 5,077 %

Valores de mercado

E = 2 500 000·€21,00 = €52 500 000

D = 40 000·€1 020 = €40 800 000

Custo do capital próprio (CAPM)

r_e = 4% + 0,6·4% = 6,4%

Pesos

V = €93 300 000, E/V = 0,5627, D/V = 0,4373

WACC

WACC = 0,5627·6,4% + 0,4373·4,5%·(1 − 0,25) = 5,077%

Resposta

WACC = 5,077%

9.Estatística descritiva

Resposta: s = 14,81

Estatística descritiva: a média é a soma a dividir por n; a mediana é o valor central dos dados ordenados (a média dos dois centrais se n for par). O desvio-padrão amostral é s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Uma pontuação z = (x − μ)/σ diz a quantos desvios-padrão da média está um valor.

Média

x̄ = 240/7 = 34,29

Desvios ao quadrado

Σ(x − x̄)² = 25,71² + (−10,29)² + (−12,29)² + (−14,29)² + (−6,286)² + 9,714² + 7,714² = 1315

Desvio-padrão

s = √(1315/6) = 14,81

Resposta

s = 14,81

10.Estatística descritiva

Resposta: z = 1,5

Padronizar

z = (177,5 − 170)/5 = 1,5

Resposta

z = 1,5

11.Probabilidades

Resposta: P = 0,3056

Probabilidades: com resultados equiprováveis, P(A) = favoráveis/possíveis. Para acontecimentos independentes multiplica-se: P(A e B) = P(A)·P(B). O complementar ajuda muitas vezes: P(pelo menos um) = 1 − P(nenhum). Binomial: em n provas independentes com probabilidade de sucesso p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Complementar

P(nenhum seis) = (5/6)² = 0,6944

P = 1 − 0,6944 = 0,3056

Resposta

P = 0,3056

12.Probabilidades

Resposta: P = 0,1323

Fórmula binomial

P(X = 3) = 10·0,3³·0,7² = 10·0,027·0,49 = 0,1323

Resposta

P = 0,1323

13.Distribuição normal

Resposta: P = 0,4082

Distribuição normal: converta um valor x em uma pontuação z, z = (x − μ)/σ, que conta quantos desvios-padrão ele está da média. Uma tabela z (ou Φ(z)) dá a área à esquerda de z, que é P(X < x). A área à direita é 1 − Φ(z), e a área entre dois valores é a diferença entre as duas áreas.

Pontuações z

z₁ = (462 − 500)/40 = −0,95

z₂ = (508 − 500)/40 = 0,2

Área entre os valores

P = Φ(0,2) − Φ(−0,95) = 0,5793 − 0,1711 = 0,4082

Resposta

P = 0,4082

14.Distribuição normal

Resposta: x = 134,9 pontos

z do percentil

Φ(z) = 0,99 → z = 2,326

De volta a x

x = 100 + 2,326·15 = 134,89 pontos

Resposta

x = 134,89 pontos

15.Intervalos de confiança

Resposta: limite inferior = 74,14

Intervalo de confiança para uma média: x̄ ± margem de erro. Com σ populacional conhecido, a margem é z·σ/√n; tendo apenas o desvio-padrão amostral s, use t com n − 1 graus de liberdade: t·s/√n. Valores críticos: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Para obter uma margem E ou menor, você precisa de n ≥ (z·σ/E)², arredondado para cima.

Valor crítico

df = n − 1 = 24, t = 2,064

Margem de erro

E = 2,064·4,5/√25 = 1,858

Intervalo

76 ± 1,858 → [74,14, 77,86]

Resposta

limite inferior = 74,14

16.Intervalos de confiança

Resposta: n = 853

Resolver em ordem a n

n = (2,576·34/3)² = 852,3

Arredondar para cima

O tamanho da amostra é um número inteiro, e arredondar para baixo deixaria a margem grande demais.

n = 853

Resposta

n = 853

17.Testes de hipóteses e intervalos de confiança

Resposta: z = 2,495

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Erro-padrão da diferença

SE = √(13²/30 + 11²/60) = √7,65 = 2,766

Estatística de teste

z = (112 − 105,1)/2,766 = 2,495

Resposta

z = 2,495

|z| > 1,96, então H₀ é rejeitada ao nível de 5% (bilateral).

18.Testes de hipóteses e intervalos de confiança

Resposta: U = 207,9

Teste a uma média: a estatística de teste mede a quantos erros-padrão a média amostral está do valor afirmado em H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) quando σ é conhecido, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) quando é estimado pela amostra. Um intervalo de confiança é x̄ ± (valor crítico)·(erro-padrão).

Margem de erro

E = 1,645·15/√36 = 4,112

Limite do intervalo

U = 203,8 + 4,112 = 207,9

Resposta

U = 207,9

19.Regressão linear e correlação

Resposta: r = −0,9535

Regressão por mínimos quadrados: com x̄ e ȳ as médias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), a reta ŷ = a + b·x tem inclinação b = Sxy/Sxx e intercepto a = ȳ − b·x̄, então ela sempre passa por (x̄, ȳ). O coeficiente de correlação de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) fica entre −1 e 1; r² é a fração da variação de y explicada pela reta.

Somas centradas

S_xy = 265 − 15·95/5 = −20

S_xx = 55 − 15²/5 = 10

S_yy = 1849 − 95²/5 = 44

Coeficiente de correlação

r = −20/√(10·44) = −0,9535

Resposta

r = −0,9535

20.Regressão linear e correlação

Resposta: ŷ = 50,3

Médias

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 232/5 = 46,4

Somas de quadrados e de produtos

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 26

Reta de regressão

b = 26/10 = 2,6

a = 46,4 − 2,6·3 = 38,6

ŷ = 38,6 + 2,6·x

Previsão

ŷ = 38,6 + 2,6·4,5 = 50,3

Resposta

ŷ = 50,3

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