Investe €8 000 a uma taxa nominal de 3 % ao ano, capitalizada mensalmente. Calcule o valor FV do investimento ao fim de 3 anos.
PV = €8 0003% / 12n = 3
FV = €
2.Valor temporal do dinheiroDifícil
Um empréstimo de €10 000 é pago em prestações mensais iguais ao longo de 6 anos a 7,2% ao ano, capitalizados mensalmente. Quanto de juros I é pago no total durante a vida do empréstimo?
P = €10 0007,2% / 12N = 72
I = €
3.VAL e TIRMédia
Um projeto custa €500 000 hoje. Ele gera €40 000 no final do primeiro ano, e o fluxo de caixa depois cresce 1% ao ano para sempre. O custo de capital é 11%. Encontre o valor presente líquido NPV.
C0 = €500 000CF1 = €40 000g = 1%r = 11%
NPV = €
4.VAL e TIRDifícil
Um projeto custa €50 000 e devolve €22 500, €36 500, €19 500 no fim dos anos 1 a 3. Calcule a sua taxa interna de rendibilidade IRR em percentagem.
CF0 = −50 000CF1 = 22 500CF2 = 36 500CF3 = 19 500
IRR = %
5.Preço e rendimento de títulosMédia
Um título com valor de face de €1 000 paga um cupom anual de 4% em dois pagamentos semestrais e vence em 10 anos. O rendimento até o vencimento é de 7% ao ano. Calcule o preço P do título.
F = €1 000cupom = 4%YTM = 7%n = 10
P = €
6.Preço e rendimento de títulosDifícil
Um título com valor de face de €1 000 e cupom anual de 4% vence em 9 anos e é vendido por €1 080. Calcule seu rendimento até o vencimento YTM em porcentagem.
F = €1 000cupom = 4%n = 9P = €1 080
YTM = %
7.CAPM e WACCMédia
Uma empresa tem uma relação dívida/capital próprio (a valores de mercado) de 1,5. Seu custo do capital próprio é 13%, seu custo da dívida antes dos impostos é 6% e a alíquota de imposto é 25,8%. Encontre o WACC.
D/E = 1,5re = 13%rd = 6%T = 25,8%
WACC = %
8.CAPM e WACCDifícil
As ações de uma empresa têm beta de 1,3 na sua relação dívida/capital próprio atual de 0,2. Ela planeja elevar a relação dívida/capital próprio para 1,5. A alíquota de imposto é 30%, a taxa livre de risco 4% e o prêmio de risco de mercado 7%. Encontre o custo do capital próprio re após a mudança.
Calcule o desvio-padrão amostral s dos dados: 52, 19, 28, 57, 16.
n = 5
s =
10.Estatística descritivaDifícil
As notas de um exame seguem uma distribuição normal com média 500 e desvio-padrão 60. Calcule a pontuação z z de uma nota de 560.
μ = 500σ = 60x = 560
z =
11.ProbabilidadesMédia
Para a distribuição mostrada, encontre a variância Var(X) de X.
x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0,15, 0,25, 0,25, 0,15, 0,2
Var(X) =
12.ProbabilidadesDifícil
Um jogo custa €3 para jogar. Você ganha €6 com probabilidade 0,2 e €150 com probabilidade 0,02; caso contrário, não ganha nada. A aposta não é devolvida. Encontre o ganho líquido esperado E(G) por jogo.
aposta = €3€6: p = 0,2€150: p = 0,02
E(G) = €
13.Distribuição normalMédia
Arraste z para que a área sombreada sob a curva normal padrão, à direita de z, seja 0,9251. Encontre z com duas casas decimais.
A = 0,9251
z =
14.Distribuição normalDifícil
As alturas X dos homens e Y das mulheres de um grupo são independentes e normais: X tem média 180 cm e desvio padrão 10 cm, Y tem média 170 cm e desvio padrão 12 cm. Encontre a probabilidade P de X ser maior que Y. Arredonde z para duas casas decimais.
μX = 180 cm, σX = 10 cmμY = 170 cm, σY = 12 cm
P =
15.Intervalos de confiançaMédia
Uma amostra de 12 itens tem média 82,5 e desvio-padrão s = 1,5. A população é aproximadamente normal. Calcule o limite superior do intervalo de confiança de 99% para a média.
n = 12x̄ = 82,5s = 1,599%t(11) = 3,106
limite superior =
16.Intervalos de confiançaDifícil
O desvio-padrão da população é 15. Qual o tamanho de amostra n necessário para que um intervalo de confiança de 99% para a média tenha margem de erro de no máximo 5?
σ = 15E = 599%
n =
17.Testes de hipóteses e intervalos de confiançaMédia
Uma amostra de 49 estudantes tem nota média 101 e desvio-padrão amostral 4. Calcule a estatística de teste t para H₀: μ = 100.
μ₀ = 100x̄ = 101s = 4n = 49
t =
18.Testes de hipóteses e intervalos de confiançaDifícil
Um teste z unilateral de H₀: μ = 100 contra H₁: μ < 100 é feito com α = 0.05 e uma amostra de 36; o desvio-padrão é conhecido e vale 12. Na realidade a média é 94. Encontre o poder 1 − β do teste em porcentagem.
μ₀ = 100μ = 94σ = 12n = 36α = 0,05
1 − β = %
19.Regressão linear e correlaçãoMédia
A tabela dá 6 observações pareadas de x = gasto com publicidade em k€ e y = vendas em k€. Encontre o coeficiente de determinação r² da reta de mínimos quadrados.
n = 6
r² =
20.Regressão linear e correlaçãoDifícil
A tabela dá 6 observações pareadas de x = idade do carro em anos e y = preço em k€. Use a reta de mínimos quadrados ŷ = a + b·x. Para que valor x a reta prevê ŷ = 18?
n = 6ŷ = 18
x =
3Soluções
1.Valor temporal do dinheiro
Resposta: FV = 8752 €
Valor temporal do dinheiro: o dinheiro hoje vale mais do que a mesma quantia no futuro, porque pode render juros. Com uma taxa i por período, um montante cresce para FV = PV·(1 + i)n. Uma série de pagamentos iguais (uma renda) avalia-se somando cada pagamento, o que dá as fórmulas das rendas.
Valor temporal do dinheiro: o dinheiro hoje vale mais do que a mesma quantia no futuro, porque pode render juros. Com uma taxa i por período, um montante cresce para FV = PV·(1 + i)n. Uma série de pagamentos iguais (uma renda) avalia-se somando cada pagamento, o que dá as fórmulas das rendas.
Prestação mensal
i = 0,006, N = 72
A = 10 000·0,006/(1 − (1 + 0,006)−72) = €171,45
Juros totais
I = N·A − P = 72·171,5 − 10 000 = €2 344,55
Resposta
I = €2 344,55
3.VAL e TIR
Resposta: NPV = −100000 €
Valor atual líquido: desconte cada fluxo de caixa até hoje com a rendibilidade exigida r e some-os: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Um projeto com NPV > 0 rende mais do que r e cria valor. A taxa interna de rendibilidade (TIR) é a taxa para a qual NPV = 0.
Valor dos fluxos de caixa
PV = 40 000/(0,11 − 0,01) = 400 000,00
NPV
NPV = 400 000,00 − 500 000 = −€100 000,00
Resposta
NPV = −€100 000,00
O VAL é negativo, logo o projeto rende menos do que a rendibilidade exigida.
4.VAL e TIR
Resposta: IRR = 26,81 %
Valor atual líquido: desconte cada fluxo de caixa até hoje com a rendibilidade exigida r e some-os: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Um projeto com NPV > 0 rende mais do que r e cria valor. A taxa interna de rendibilidade (TIR) é a taxa para a qual NPV = 0.
Enquadrar a TIR
O VAL desce quando a taxa sobe, por isso a TIR está entre uma taxa com VAL positivo e outra com VAL negativo.
NPV(25%) = 1 344,00
NPV(30%) = −2 218,93
Aproximar
A interpolação linear dá uma primeira estimativa; repeti-la (ou usar a função TIR de uma calculadora) dá a taxa exata.
Precificação de títulos: o preço de um título é o valor presente dos seus fluxos de caixa, descontados ao rendimento até o vencimento (YTM): os cupons formam uma anuidade e o valor de face é devolvido no vencimento. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando o rendimento está acima da taxa de cupom, o título é negociado abaixo do valor de face, e vice-versa.
Por período
C = €20,00, i = 0,035, N = 20
Valor presente dos cupons
€20,00·(1 − 0,5026)/0,035 = €284,25
Valor presente do valor de face
€1 000·0,5026 = €502,57
Preço
P = €786,81
Resposta
P = €786,81
O rendimento está acima da taxa de cupom, então o título é vendido com deságio.
6.Preço e rendimento de títulos
Resposta: YTM = 2,974 %
Precificação de títulos: o preço de um título é o valor presente dos seus fluxos de caixa, descontados ao rendimento até o vencimento (YTM): os cupons formam uma anuidade e o valor de face é devolvido no vencimento. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando o rendimento está acima da taxa de cupom, o título é negociado abaixo do valor de face, e vice-versa.
Equação do rendimento
€1 080 = €40·(1 − (1 + y)⁻⁹)/y + €1 000/(1 + y)⁹
Resolva numericamente
P(2%) = €1 163,24, P(3%) = €1 077,86
YTM = 2,974%
Resposta
YTM = 2,974%
7.CAPM e WACC
Resposta: WACC = 7,871 %
Custo de capital: o CAPM dá o retorno exigido pelos acionistas: re = rf + β·(rm − rf). O custo médio ponderado de capital combina capital próprio e dívida pelos seus valores de mercado: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), com V = E + D. Os juros são dedutíveis do imposto, daí o (1 − T).
Pesos a partir de D/E
E/V = 1/(1 + 1,5) = 0,4
D/V = 1,5/(1 + 1,5) = 0,6
WACC
WACC = 0,4·13% + 0,6·6%·(1 − 0,258) = 7,871%
Resposta
WACC = 7,871%
8.CAPM e WACC
Resposta: re = 20,36 %
Beta alavancado (Hamada): a dívida torna o capital próprio mais arriscado. βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E), onde βU é o beta do negócio sem dívida. Para levar um beta a outra estrutura de capital, primeiro desalavanque-o e depois realavanque-o com o novo D/E.
Desalavanque o beta
βU = 1,3/(1 + 0,7·0,2) = 1,14
Realavanque com o novo D/E
βL = 1,14·(1 + 0,7·1,5) = 2,338
Custo do capital próprio (CAPM)
re = 4% + 2,338·7% = 20,36%
Resposta
re = 20,36%
9.Estatística descritiva
Resposta: s = 18,96
Estatística descritiva: a média é a soma a dividir por n; a mediana é o valor central dos dados ordenados (a média dos dois centrais se n for par). O desvio-padrão amostral é s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Uma pontuação z = (x − μ)/σ diz a quantos desvios-padrão da média está um valor.
Estatística descritiva: a média é a soma a dividir por n; a mediana é o valor central dos dados ordenados (a média dos dois centrais se n for par). O desvio-padrão amostral é s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Uma pontuação z = (x − μ)/σ diz a quantos desvios-padrão da média está um valor.
Padronizar
z = (560 − 500)/60 = 1
Resposta
z = 1
11.Probabilidades
Resposta: Var(X) = 1,8
Variáveis aleatórias discretas: uma distribuição de probabilidade lista cada valor x que uma variável pode assumir com sua probabilidade p(x); as probabilidades ficam entre 0 e 1 e somam 1. O valor esperado (média) é E(X) = Σx·p(x), a média de longo prazo. A variância é Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², e o desvio padrão é σ = √Var(X). Para uma mudança linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) e σY = |a|·σX; somar uma constante não muda a dispersão.
Variáveis aleatórias discretas: uma distribuição de probabilidade lista cada valor x que uma variável pode assumir com sua probabilidade p(x); as probabilidades ficam entre 0 e 1 e somam 1. O valor esperado (média) é E(X) = Σx·p(x), a média de longo prazo. A variância é Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², e o desvio padrão é σ = √Var(X). Para uma mudança linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) e σY = |a|·σX; somar uma constante não muda a dispersão.
Resultados líquidos
G: 3 (p = 0,2), 147 (p = 0,02), −3 (p = 0,78)
Valor esperado
E(G) = 3·0,2 + 147·0,02 − 3·0,78 = 1,2 €
Resposta
E(G) = 1,2 €
Um valor positivo significa que você ganha dinheiro em média.
13.Distribuição normal
Resposta: z = −1,44
De uma área de volta a z: Φ(z) é a área à esquerda de z. Para uma área de cauda esquerda A, encontre na tabela o z com Φ(z) = A. Uma área de cauda direita A significa Φ(z) = 1 − A. Uma área central A entre −z e z deixa (1 − A)/2 em cada cauda, então Φ(z) = (1 + A)/2. Para um valor x, use x = μ + zσ.
Área à esquerda de z
Φ(z) = 1 − 0,9251 = 0,0749
Leia a tabela de z ao contrário
Encontre 0,0749 dentro da tabela e leia z.
z = −1,44
Resposta
z = −1,44
14.Distribuição normal
Resposta: P = 0,7389
Somas e diferenças de variáveis normais: se X e Y são independentes e normais, X + Y e X − Y também são normais. As médias se somam ou se subtraem: E(X ± Y) = μX ± μY. As variâncias sempre se somam, também em uma diferença: Var(X ± Y) = σX² + σY², portanto σ = √(σX² + σY²). Os desvios padrão nunca se somam diretamente. O total de n itens independentes com a mesma distribuição tem média n·μ e desvio padrão σ·√n. Depois padronize como de costume: z = (x − média)/σ e leia Φ(z).
Distribuição da diferença
μ = 180 − 170 = 10 cm, σ = 15,62 cm
Padronizar
z = (0 − 10)/15,62 = −0,64
Probabilidades
P = 1 − Φ(−0,64) = 0,7389
Resposta
P = 0,7389
15.Intervalos de confiança
Resposta: limite superior = 83,84
Intervalo de confiança para uma média: x̄ ± margem de erro. Com σ populacional conhecido, a margem é z·σ/√n; tendo apenas o desvio-padrão amostral s, use t com n − 1 graus de liberdade: t·s/√n. Valores críticos: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Para obter uma margem E ou menor, você precisa de n ≥ (z·σ/E)², arredondado para cima.
Valor crítico
df = n − 1 = 11, t = 3,106
Margem de erro
E = 3,106·1,5/√12 = 1,345
Intervalo
82,5 ± 1,345 → [81,16, 83,84]
Resposta
limite superior = 83,84
16.Intervalos de confiança
Resposta: n = 60
Intervalo de confiança para uma média: x̄ ± margem de erro. Com σ populacional conhecido, a margem é z·σ/√n; tendo apenas o desvio-padrão amostral s, use t com n − 1 graus de liberdade: t·s/√n. Valores críticos: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Para obter uma margem E ou menor, você precisa de n ≥ (z·σ/E)², arredondado para cima.
Resolver em ordem a n
n = (2,576·15/5)² = 59,72
Arredondar para cima
O tamanho da amostra é um número inteiro, e arredondar para baixo deixaria a margem grande demais.
n = 60
Resposta
n = 60
17.Testes de hipóteses e intervalos de confiança
Resposta: t = 1,75
Teste a uma média: a estatística de teste mede a quantos erros-padrão a média amostral está do valor afirmado em H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) quando σ é conhecido, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) quando é estimado pela amostra. Um intervalo de confiança é x̄ ± (valor crítico)·(erro-padrão).
Erro-padrão
SE = 4/√49 = 4/7 = 0,5714
Estatística de teste
t = (101 − 100)/0,5714 = 1,75
Resposta
t = 1,75
t0,025; df = 48 = 2,011
|t| < 2.011, então H₀ não é rejeitada ao nível de 5% (bilateral).
18.Testes de hipóteses e intervalos de confiança
Resposta: 1 − β = 91,23 %
Poder de um teste: poder = 1 − β é a probabilidade de rejeitar H₀ quando ela é falsa. Encontre o limite x̄c a partir de μ₀ e z_α, depois calcule a probabilidade de cair além de x̄c usando a média verdadeira: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).
Média amostral crítica
SE = 12/√36 = 2
x̄c = 100 − 1,645·2 = 96,71
z sob a média verdadeira
z = (96,71 − 94)/2 = 1,355
Potência
poder = P(Z < 1.355) = 91.23%
1 − β = 91,23%
Resposta
1 − β = 91,23%
19.Regressão linear e correlação
Resposta: r² = 0,9506
Regressão por mínimos quadrados: com x̄ e ȳ as médias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), a reta ŷ = a + b·x tem inclinação b = Sxy/Sxx e intercepto a = ȳ − b·x̄, então ela sempre passa por (x̄, ȳ). O coeficiente de correlação de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) fica entre −1 e 1; r² é a fração da variação de y explicada pela reta.
Médias
x̄ = 21/6 = 3,5
ȳ = 290/6 = 48,33
Somas de quadrados e de produtos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 98
Syy = Σ(y − ȳ)² = 577,3
Coeficiente de determinação
r² = 98²/(17,5·577,3) = 0,9506
Resposta
r² = 0,9506
Cerca de 95,06% da variação de y é explicada pela reta.
20.Regressão linear e correlação
Resposta: x = 3,688
Regressão por mínimos quadrados: com x̄ e ȳ as médias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), a reta ŷ = a + b·x tem inclinação b = Sxy/Sxx e intercepto a = ȳ − b·x̄, então ela sempre passa por (x̄, ȳ). O coeficiente de correlação de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) fica entre −1 e 1; r² é a fração da variação de y explicada pela reta.
Médias
x̄ = 21/6 = 3,5
ȳ = 111/6 = 18,5
Somas de quadrados e de produtos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −46,5
Reta de regressão
b = −46,5/17,5 = −2,657
a = 18,5 − (−2,657)·3,5 = 27,8
ŷ = 27,8 − 2,657·x
Resolver para x
x = (18 − 27,8)/(−2,657) = 3,688
Resposta
x = 3,688
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