Você investe €20 000 a 3% ao ano com capitalização contínua. Encontre o valor FV após 18 anos.
PV = €20 000r = 3%t = 18
FV = €
2.Valor temporal do dinheiroDifícil
Você toma emprestado €8 000 a 4,2% ao ano, capitalizados mensalmente, e paga €125 no final de cada mês. Quantos meses leva até o empréstimo ser quitado (o último pagamento pode ser menor)? Dê o número de pagamentos N.
P = €8 000A = €1254,2% / 12
N = pagamentos
3.VAL e TIRMédia
Um investimento de €45 000 gera estes fluxos no fim dos anos 1 a 4: €17 000, €21 000, €13 000, €21 000. O custo do capital é de 5 %. Calcule o valor atual líquido NPV.
Um projeto custa €25 000 e devolve €17 000, €17 000 no fim dos anos 1 a 2. Calcule a sua taxa interna de rendibilidade IRR em percentagem.
CF0 = −25 000CF1 = 17 000CF2 = 17 000
IRR = %
5.Preço e rendimento de títulosMédia
Você compra um título com 7 anos até o vencimento (valor de face €1 000, cupom anual 4%) quando seu rendimento até o vencimento é 7%. Um ano depois, logo após receber o primeiro cupom, você o vende quando o rendimento até o vencimento é 8,5%. Encontre seu retorno no período de posse HPR em porcentagem.
F = €1 000cupom = 4%n = 7y0 = 7%y1 = 8,5%
HPR = %
6.Preço e rendimento de títulosDifícil
Um título com valor de face de €1 000 e cupom anual de 5% vence em 8 anos e é vendido por €1 140. Calcule seu rendimento até o vencimento YTM em porcentagem.
F = €1 000cupom = 5%n = 8P = €1 140
YTM = %
7.CAPM e WACCMédia
Uma empresa tem uma relação dívida/capital próprio (a valores de mercado) de 1. Seu custo do capital próprio é 13%, seu custo da dívida antes dos impostos é 3,5% e a alíquota de imposto é 28%. Encontre o WACC.
D/E = 1re = 13%rd = 3,5%T = 28%
WACC = %
8.CAPM e WACCDifícil
Uma empresa tem 2 000 000 ações a €37,00 cada e 10 000 títulos negociados a €1 000 cada. O custo da dívida antes dos impostos é 5% e a alíquota de imposto é 30%. O beta da ação é 1,1, a taxa livre de risco é 1,5% e o retorno do mercado é 8%. Calcule o WACC.
β = 1,1rf = 1,5%rm = 8%rd = 5%T = 30%
WACC = %
9.Estatística descritivaMédia
Calcule o desvio-padrão amostral s dos dados: 50, 46, 51, 22, 58.
n = 5
s =
10.Estatística descritivaDifícil
As notas de um exame seguem uma distribuição normal com média 500 e desvio-padrão 75. Calcule a pontuação z z de uma nota de 350.
μ = 500σ = 75x = 350
z =
11.ProbabilidadesMédia
Para a distribuição mostrada, encontre a variância Var(X) de X.
x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0,35, 0,15, 0,05, 0,25, 0,2
Var(X) =
12.ProbabilidadesDifícil
Testam-se 9 componentes e cada um avaria com probabilidade 0,7, de forma independente. Qual é a probabilidade P de avariar no máximo um?
n = 9p = 0,7
P =
13.Distribuição normalMédia
X é normal com média 12 min e desvio padrão 1,5 min; Y é independente e normal com média 20 min e desvio padrão 2 min. Encontre a probabilidade P de X + Y ser maior que 34 min. Arredonde z para duas casas decimais.
μX = 12, σX = 1,5μY = 20, σY = 2X + Y > 34 min
P =
14.Distribuição normalDifícil
Os notas de prova têm distribuição normal com média 65 pontos e desvio padrão 10 pontos. Arraste o ponto de corte para que os 70% superiores sombreados fiquem à direita dele. Encontre o ponto de corte x.
μ = 65 pontosσ = 10 pontos70%
x = pontos
15.Intervalos de confiançaMédia
Uma amostra de 10 itens tem média 43 e desvio-padrão s = 14,5. A população é aproximadamente normal. Calcule a margem de erro E de um intervalo de confiança de 90% para a média.
n = 10x̄ = 43s = 14,590%t(9) = 1,833
E =
16.Intervalos de confiançaDifícil
O desvio-padrão da população é 19. Qual o tamanho de amostra n necessário para que um intervalo de confiança de 95% para a média tenha margem de erro de no máximo 5?
σ = 19E = 595%
n =
17.Testes de hipóteses e intervalos de confiançaMédia
Dois métodos de ensino são comparados. Grupo 1: 6 alunos, nota média 70,5, desvio-padrão 7,5. Grupo 2: 16 alunos, nota média 83,1, desvio-padrão 7,5. Suponha variâncias populacionais iguais e use o teste t de duas amostras com variância combinada. Encontre a estatística de teste t para H₀: μ₁ = μ₂, tomando a diferença como x̄₁ − x̄₂ (grupo 1 menos grupo 2).
n₁ = 6x̄₁ = 70,5s₁ = 7,5n₂ = 16x̄₂ = 83,1s₂ = 7,5
t =
18.Testes de hipóteses e intervalos de confiançaDifícil
Em um ensaio, 45 de 100 pacientes com o tratamento A se recuperam, e 147 de 300 pacientes com o tratamento B. Usando a proporção combinada, encontre a estatística de teste z para H₀: p₁ = p₂.
x₁ = 45n₁ = 100x₂ = 147n₂ = 300
z =
19.Regressão linear e correlaçãoMédia
A tabela dá 6 observações pareadas de x = idade do carro em anos e y = preço em k€. Encontre o coeficiente de determinação r² da reta de mínimos quadrados.
n = 6
r² =
20.Regressão linear e correlaçãoDifícil
A tabela dá 5 observações pareadas de x = gasto com publicidade em k€ e y = vendas em k€. Use a reta de mínimos quadrados ŷ = a + b·x. É feita uma nova observação (2, 38). Encontre o seu resíduo e = y − ŷ.
n = 5(2, 38)
e =
3Soluções
1.Valor temporal do dinheiro
Resposta: FV = 34320 €
Valor temporal do dinheiro: o dinheiro hoje vale mais do que a mesma quantia no futuro, porque pode render juros. Com uma taxa i por período, um montante cresce para FV = PV·(1 + i)n. Uma série de pagamentos iguais (uma renda) avalia-se somando cada pagamento, o que dá as fórmulas das rendas.
Expoente
r·t = 0,03·18 = 0,54
e0,54 = 1,716
Valor futuro
FV = 20 000·1,716 = €34 320,14
Resposta
FV = €34 320,14
2.Valor temporal do dinheiro
Resposta: N = 73 pagamentos
Valor temporal do dinheiro: o dinheiro hoje vale mais do que a mesma quantia no futuro, porque pode render juros. Com uma taxa i por período, um montante cresce para FV = PV·(1 + i)n. Uma série de pagamentos iguais (uma renda) avalia-se somando cada pagamento, o que dá as fórmulas das rendas.
Reorganize a fórmula da anuidade
i = 0,0035
(1 + i)−N = 1 − 8 000·0,0035/125 = 0,776
Resolver com logaritmos
N = −ln(0,776)/ln(1,004) = 72,58
Arredonde para cima até pagamentos inteiros
72 pagamentos completos deixam um pequeno saldo, que o último pagamento, menor, quita.
N = 73
Resposta
N = 73 pagamentos
3.VAL e TIR
Resposta: NPV = 18745 €
Valor atual líquido: desconte cada fluxo de caixa até hoje com a rendibilidade exigida r e some-os: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Um projeto com NPV > 0 rende mais do que r e cria valor. A taxa interna de rendibilidade (TIR) é a taxa para a qual NPV = 0.
Valor atual de cada fluxo
CF0 = −45 000
CF1/(1 + 0,05)1 = 17 000/1,05 = 16 190,48
CF2/(1 + 0,05)2 = 21 000/1,103 = 19 047,62
CF3/(1 + 0,05)3 = 13 000/1,158 = 11 229,89
CF4/(1 + 0,05)4 = 21 000/1,216 = 17 276,75
Somar
NPV = €18 744,74
Resposta
NPV = €18 744,74
O VAL é positivo, logo o projeto rende mais do que a rendibilidade exigida.
4.VAL e TIR
Resposta: IRR = 23,2 %
Valor atual líquido: desconte cada fluxo de caixa até hoje com a rendibilidade exigida r e some-os: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Um projeto com NPV > 0 rende mais do que r e cria valor. A taxa interna de rendibilidade (TIR) é a taxa para a qual NPV = 0.
Enquadrar a TIR
O VAL desce quando a taxa sobe, por isso a TIR está entre uma taxa com VAL positivo e outra com VAL negativo.
NPV(20%) = 972,22
NPV(25%) = −520,00
Aproximar
A interpolação linear dá uma primeira estimativa; repeti-la (ou usar a função TIR de uma calculadora) dá a taxa exata.
IRR ≈ 20 + 5·972,22/(972,22 − (−520,00)) = 23,26%
exato: NPV(23,2%) = 0 → IRR = 23,2%
Resposta
IRR = 23,2%
5.Preço e rendimento de títulos
Resposta: HPR = −0,3856 %
Precificação de títulos: o preço de um título é o valor presente dos seus fluxos de caixa, descontados ao rendimento até o vencimento (YTM): os cupons formam uma anuidade e o valor de face é devolvido no vencimento. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando o rendimento está acima da taxa de cupom, o título é negociado abaixo do valor de face, e vice-versa.
Precificação de títulos: o preço de um título é o valor presente dos seus fluxos de caixa, descontados ao rendimento até o vencimento (YTM): os cupons formam uma anuidade e o valor de face é devolvido no vencimento. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando o rendimento está acima da taxa de cupom, o título é negociado abaixo do valor de face, e vice-versa.
Equação do rendimento
€1 140 = €50·(1 − (1 + y)⁻⁸)/y + €1 000/(1 + y)⁸
Resolva numericamente
P(3%) = €1 140,39, P(4%) = €1 067,33
YTM = 3,005%
Resposta
YTM = 3,005%
7.CAPM e WACC
Resposta: WACC = 7,76 %
Custo de capital: o CAPM dá o retorno exigido pelos acionistas: re = rf + β·(rm − rf). O custo médio ponderado de capital combina capital próprio e dívida pelos seus valores de mercado: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), com V = E + D. Os juros são dedutíveis do imposto, daí o (1 − T).
Pesos a partir de D/E
E/V = 1/(1 + 1) = 0,5
D/V = 1/(1 + 1) = 0,5
WACC
WACC = 0,5·13% + 0,5·3,5%·(1 − 0,28) = 7,76%
Resposta
WACC = 7,76%
8.CAPM e WACC
Resposta: WACC = 8,037 %
Custo de capital: o CAPM dá o retorno exigido pelos acionistas: re = rf + β·(rm − rf). O custo médio ponderado de capital combina capital próprio e dívida pelos seus valores de mercado: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), com V = E + D. Os juros são dedutíveis do imposto, daí o (1 − T).
Valores de mercado
E = 2 000 000·€37,00 = €74 000 000
D = 10 000·€1 000 = €10 000 000
Custo do capital próprio (CAPM)
re = 1,5% + 1,1·6,5% = 8,65%
Pesos
V = €84 000 000, E/V = 0,881, D/V = 0,119
WACC
WACC = 0,881·8,65% + 0,119·5%·(1 − 0,3) = 8,037%
Resposta
WACC = 8,037%
9.Estatística descritiva
Resposta: s = 13,78
Estatística descritiva: a média é a soma a dividir por n; a mediana é o valor central dos dados ordenados (a média dos dois centrais se n for par). O desvio-padrão amostral é s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Uma pontuação z = (x − μ)/σ diz a quantos desvios-padrão da média está um valor.
Estatística descritiva: a média é a soma a dividir por n; a mediana é o valor central dos dados ordenados (a média dos dois centrais se n for par). O desvio-padrão amostral é s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Uma pontuação z = (x − μ)/σ diz a quantos desvios-padrão da média está um valor.
Padronizar
z = (350 − 500)/75 = −2
Resposta
z = −2
11.Probabilidades
Resposta: Var(X) = 2,56
Variáveis aleatórias discretas: uma distribuição de probabilidade lista cada valor x que uma variável pode assumir com sua probabilidade p(x); as probabilidades ficam entre 0 e 1 e somam 1. O valor esperado (média) é E(X) = Σx·p(x), a média de longo prazo. A variância é Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², e o desvio padrão é σ = √Var(X). Para uma mudança linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) e σY = |a|·σX; somar uma constante não muda a dispersão.
Probabilidades: com resultados equiprováveis, P(A) = favoráveis/possíveis. Para acontecimentos independentes multiplica-se: P(A e B) = P(A)·P(B). O complementar ajuda muitas vezes: P(pelo menos um) = 1 − P(nenhum). Binomial: em n provas independentes com probabilidade de sucesso p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Zero e uma avaria
P(X = 0) = 0,39 = 1,968 × 10⁻⁵
P(X = 1) = 9·0,7·0,38 = 0,0004133
Some
P = 1,968 × 10⁻⁵ + 0,0004133 = 0,000433
Resposta
P = 0,000433
13.Distribuição normal
Resposta: P = 0,2119
Somas e diferenças de variáveis normais: se X e Y são independentes e normais, X + Y e X − Y também são normais. As médias se somam ou se subtraem: E(X ± Y) = μX ± μY. As variâncias sempre se somam, também em uma diferença: Var(X ± Y) = σX² + σY², portanto σ = √(σX² + σY²). Os desvios padrão nunca se somam diretamente. O total de n itens independentes com a mesma distribuição tem média n·μ e desvio padrão σ·√n. Depois padronize como de costume: z = (x − média)/σ e leia Φ(z).
Distribuição da soma
μ = 32 min, σ = √(1,5² + 2²) = 2,5 min
Padronizar
z = (34 − 32)/2,5 = 0,8
Cauda superior
P = 1 − Φ(0,8) = 1 − 0,7881 = 0,2119
Resposta
P = 0,2119
14.Distribuição normal
Resposta: x = 59,8 pontos
De uma área de volta a z: Φ(z) é a área à esquerda de z. Para uma área de cauda esquerda A, encontre na tabela o z com Φ(z) = A. Uma área de cauda direita A significa Φ(z) = 1 − A. Uma área central A entre −z e z deixa (1 − A)/2 em cada cauda, então Φ(z) = (1 + A)/2. Para um valor x, use x = μ + zσ.
Área à esquerda
Φ(z) = 0,3
z da tabela
z ≈ −0,52
De volta às unidades originais
x = 65 − 0,52·10 = 59,8 pontos
Resposta
x = 59,8 pontos
15.Intervalos de confiança
Resposta: E = 8,405
Intervalo de confiança para uma média: x̄ ± margem de erro. Com σ populacional conhecido, a margem é z·σ/√n; tendo apenas o desvio-padrão amostral s, use t com n − 1 graus de liberdade: t·s/√n. Valores críticos: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Para obter uma margem E ou menor, você precisa de n ≥ (z·σ/E)², arredondado para cima.
Valor crítico
df = n − 1 = 9, t = 1,833
Margem de erro
E = 1,833·14,5/√10 = 8,405
Resposta
E = 8,405
16.Intervalos de confiança
Resposta: n = 56
Intervalo de confiança para uma média: x̄ ± margem de erro. Com σ populacional conhecido, a margem é z·σ/√n; tendo apenas o desvio-padrão amostral s, use t com n − 1 graus de liberdade: t·s/√n. Valores críticos: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Para obter uma margem E ou menor, você precisa de n ≥ (z·σ/E)², arredondado para cima.
Resolver em ordem a n
n = (1,96·19/5)² = 55,47
Arredondar para cima
O tamanho da amostra é um número inteiro, e arredondar para baixo deixaria a margem grande demais.
n = 56
Resposta
n = 56
17.Testes de hipóteses e intervalos de confiança
Resposta: t = −3,509
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Variância combinada
sp² = (5·7,5² + 15·7,5²)/20 = 56,25
sp = 7,5
Erro-padrão
SE = 7,5·√(1/6 + 1/16) = 3,59
Estatística de teste
t = (70,5 − 83,1)/3,59 = −3,509
Resposta
t = −3,509
Com gl = 20, o valor crítico bilateral a 5% é 2,086; |t| é maior, então H₀ é rejeitada.
18.Testes de hipóteses e intervalos de confiança
Resposta: z = −0,6934
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Proporções amostrais
p̂₁ = 45/100 = 0,45
p̂₂ = 147/300 = 0,49
p̂ = 192/400 = 0,48
Erro-padrão sob H₀
SE = √(0,48·0,52·(1/100 + 1/300)) = 0,05769
Estatística de teste
z = (0,45 − 0,49)/0,05769 = −0,6934
Resposta
z = −0,6934
|z| < 1,96, então H₀ não é rejeitada ao nível de 5% (bilateral).
19.Regressão linear e correlação
Resposta: r² = 0,7934
Regressão por mínimos quadrados: com x̄ e ȳ as médias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), a reta ŷ = a + b·x tem inclinação b = Sxy/Sxx e intercepto a = ȳ − b·x̄, então ela sempre passa por (x̄, ȳ). O coeficiente de correlação de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) fica entre −1 e 1; r² é a fração da variação de y explicada pela reta.
Médias
x̄ = 21/6 = 3,5
ȳ = 133/6 = 22,17
Somas de quadrados e de produtos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −25,5
Syy = Σ(y − ȳ)² = 46,83
Coeficiente de determinação
r² = −25,5²/(17,5·46,83) = 0,7934
Resposta
r² = 0,7934
Cerca de 79,34% da variação de y é explicada pela reta.
20.Regressão linear e correlação
Resposta: e = −3,85
Regressão por mínimos quadrados: com x̄ e ȳ as médias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), a reta ŷ = a + b·x tem inclinação b = Sxy/Sxx e intercepto a = ȳ − b·x̄, então ela sempre passa por (x̄, ȳ). O coeficiente de correlação de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) fica entre −1 e 1; r² é a fração da variação de y explicada pela reta.
Médias
x̄ = 25/5 = 5
ȳ = 255/5 = 51
Somas de quadrados e de produtos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 122
Reta de regressão
b = 122/40 = 3,05
a = 51 − 3,05·5 = 35,75
ŷ = 35,75 + 3,05·x
Valor previsto
ŷ = 35,75 + 3,05·2 = 41,85
Resíduo
e = 38 − 41,85 = −3,85
Resposta
e = −3,85
O ponto está abaixo da reta.
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