Prática de métodos quantitativos e renda fixa do CFA Level I: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 20 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Valor temporal do dinheiro

Valor futuro: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Valor atual: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Vários períodos por ano: i = r/m, N = m·n
Anuidade, valor atual: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Anuidade, valor futuro: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Método

Desenhe uma linha do tempo com cada fluxo de caixa e o momento em que ocorre.
Ajuste a taxa ao período: uma taxa mensal para pagamentos mensais.
Use FV = PV·(1 + i)ⁿ para valores únicos e as fórmulas de anuidade para pagamentos iguais.
Verifique o sinal e a ordem de grandeza da resposta.

VAL e TIR

Valor atual líquido: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Fluxos iguais: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Taxa interna de retorno: o r em que NPV = 0
Decisão: aceitar se NPV > 0 (ou IRR > retorno exigido)

Método

Liste todos os fluxos de caixa com o seu ano; o investimento no ano 0 é negativo.
Desconte cada fluxo de caixa: CF_t/(1 + r)^t.
Some-os para obter o VPL. Positivo significa que o projeto rende mais que r.
Para a TIR, encontre a taxa que zera o VPL por tentativa ou interpolação.

Preço e rendimento de títulos

Preço do título: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Semestral: C/2, y/2 e 2n períodos
Rendimento corrente: C/P
Preço e rendimento: rendimento sobe → preço cai

Método

Encontre o cupom por período e o rendimento por período.
Preço = valor presente dos cupons (uma anuidade) + valor presente do valor de face.
Para cupons semestrais use metade do cupom, metade do rendimento e o dobro de períodos.
Verificação: se o rendimento está acima da taxa de cupom, o preço fica abaixo do valor de face.

CAPM e WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Valor da empresa: V = E + D

Estatística descritiva

Média: x̄ = Σx/n
Desvio-padrão amostral: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: valor do meio dos dados ordenados
Pontuação z: z = (x − μ)/σ
Distribuição normal: 68% dentro de ±1σ, 95% dentro de ±2σ

Probabilidades

Complementar: P(not A) = 1 − P(A)
Regra da adição: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Eventos independentes: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Probabilidade condicional: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Distribuição normal

Pontuação z: z = (x − μ)/σ
Abaixo de x: P(X < x) = Φ(z)
Acima de x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Entre: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentil: x = μ + z·σ

Método

Converta o valor em um escore z: z = (x − μ)/σ.
Procure Φ(z), a área à esquerda de z.
Para a área à direita use 1 − Φ(z); para um intervalo subtraia as duas áreas à esquerda.
Para um percentil, faça o caminho inverso: encontre z para a área e depois x = μ + z·σ.

Intervalos de confiança

σ conhecido: x̄ ± z·σ/√n
σ desconhecido: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z crítico: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Tamanho da amostra: n = (z·σ/E)², rounded up

Método

Escolha entre z (σ populacional conhecido) e t (só o s amostral, com n − 1 graus de liberdade).
Encontre o valor crítico para o nível de confiança.
Margem de erro: E = valor crítico × desvio-padrão/√n.
Intervalo: x̄ ± E.

Testes de hipóteses e intervalos de confiança

Teste z para uma média: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Teste t para uma média: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Bilateral a 5%: rejeite H₀ se |z| > 1,96
Intervalo de confiança: x̄ ± z·σ/√n

Método

Enuncie H₀ e H₁ e decida se o teste é unilateral ou bilateral.
Calcule a estatística de teste: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), ou com s e t.
Compare com o valor crítico, ou encontre o valor-p.
Rejeite H₀ se a estatística estiver além do valor crítico (p abaixo de α) e enuncie a conclusão em palavras.

Regressão linear e correlação

Somas de quadrados: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Inclinação: b = S_xy/S_xx
Intercepto: a = ȳ − b·x̄
Correlação: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Resíduo: e = y − ŷ

2Exercícios

1.Valor temporal do dinheiroMédia

Um cartão de crédito cobra uma taxa de juros nominal de 20% ao ano, capitalizada diária. Encontre a taxa efetiva anual EAR em porcentagem.

r = 20%m = 365

EAR = %

2.Valor temporal do dinheiroDifícil

Um empréstimo de €30 000 é pago em prestações mensais iguais ao longo de 5 anos a 6% ao ano, capitalizados mensalmente. Quanto de juros I é pago no total durante a vida do empréstimo?

P = €30 0006% / 12N = 60

I = €

3.VAL e TIRMédia

Um investimento de €20 000 gera estes fluxos no fim dos anos 1 a 4: €8 000, €7 000, €8 000, €5 000. O custo do capital é de 9 %. Calcule o valor atual líquido NPV.

r = 9%CF₀ = −20 000CF₁ = 8 000CF₂ = 7 000CF₃ = 8 000CF₄ = 5 000

NPV = €

4.VAL e TIRDifícil

Um projeto custa €10 000 e devolve €5 000, €6 000 no fim dos anos 1 a 2. Calcule a sua taxa interna de rendibilidade IRR em percentagem.

CF₀ = −10 000CF₁ = 5 000CF₂ = 6 000

IRR = %

5.Preço e rendimento de títulosMédia

Um título com valor de face de €1 000 paga um cupom anual de 4,5% em dois pagamentos semestrais e vence em 9 anos. O rendimento até o vencimento é de 5% ao ano. Calcule o preço P do título.

F = €1 000cupom = 4,5%YTM = 5%n = 9

P = €

6.Preço e rendimento de títulosDifícil

Um título com valor de face de €1 000 e cupom anual de 5% vence em 8 anos e é vendido por €1 065. Calcule seu rendimento até o vencimento YTM em porcentagem.

F = €1 000cupom = 5%n = 8P = €1 065

YTM = %

7.CAPM e WACCMédia

Uma empresa tem capital próprio de €10 000 000 e dívida de €6 000 000. Seu custo do capital próprio é 8%, seu custo da dívida antes dos impostos é 6% e a alíquota de imposto é 20%. Calcule o WACC.

E = €10 000 000D = €6 000 000r_e = 8%r_d = 6%T = 20%

WACC = %

8.CAPM e WACCDifícil

Uma empresa tem 1 000 000 ações a €13,50 cada e 20 000 títulos negociados a €1 050 cada. O custo da dívida antes dos impostos é 3% e a alíquota de imposto é 20%. O beta da ação é 1,1, a taxa livre de risco é 1,5% e o retorno do mercado é 6%. Calcule o WACC.

β = 1,1r_f = 1,5%r_m = 6%r_d = 3%T = 20%

WACC = %

9.Estatística descritivaMédia

Calcule o desvio-padrão amostral s dos dados: 35, 46, 49, 24, 18, 22.

n = 6

s =

10.Estatística descritivaDifícil

As notas de um exame seguem uma distribuição normal com média 70 e desvio-padrão 8. Calcule a pontuação z z de uma nota de 78.

μ = 70σ = 8x = 78

z =

11.ProbabilidadesMédia

Para a distribuição mostrada, encontre a variância Var(X) de X.

x: 0, 2, 4, 6p(x): 0,15, 0,35, 0,2, 0,3

Var(X) =

12.ProbabilidadesDifícil

X tem a distribuição mostrada e Y = 0,5X + 1. Encontre o desvio padrão σ_Y de Y.

x: 0, 2, 4, 6p(x): 0,1, 0,35, 0,25, 0,3Y = 0,5X + 1

σ_Y =

13.Distribuição normalMédia

As massas de caixas são independentes e normais com média 12 kg e desvio padrão 0,8 kg. Encontre a probabilidade P de a massa total de 9 deles exceder 105,6 kg. Arredonde z para duas casas decimais.

μ = 12 kgσ = 0,8 kgn = 9> 105,6 kg

P =

14.Distribuição normalDifícil

A massa X de um produto da linha 1 e Y da linha 2 são independentes e normais: X tem média 500 g e desvio padrão 8 g, Y tem média 490 g e desvio padrão 6 g. Encontre a probabilidade P de X ser maior que Y. Arredonde z para duas casas decimais.

μ_X = 500 g, σ_X = 8 gμ_Y = 490 g, σ_Y = 6 g

P =

15.Intervalos de confiançaMédia

A duração da bateria de dois modelos de celular é comparada. Modelo 1: 30 celulares, média 124,5 h, desvio-padrão conhecido 9 h. Modelo 2: 50 celulares, média 138,5 h, desvio-padrão conhecido 19 h. Encontre a margem de erro E do intervalo de confiança de 90% para μ₁ − μ₂.

n₁ = 30x̄₁ = 124,5 hσ₁ = 9 hn₂ = 50x̄₂ = 138,5 hσ₂ = 19 h90%

E = h

16.Intervalos de confiançaDifícil

Dois fertilizantes são testados. Grupo de parcelas 1: 6 parcelas, produção média 48 kg, desvio-padrão 4,5 kg. Grupo de parcelas 2: 11 parcelas, média 53 kg, desvio-padrão 8,5 kg. Suponha variâncias iguais (t combinado, gl = n₁ + n₂ − 2). Encontre o limite superior do intervalo de confiança de 95% para μ₁ − μ₂.

n₁ = 6x̄₁ = 48s₁ = 4,5n₂ = 11x̄₂ = 53s₂ = 8,595%t(15) = 2,131

limite superior = kg

17.Testes de hipóteses e intervalos de confiançaMédia

Duas linhas de produção fabricam a mesma peça. Linha 1: uma amostra de 50 peças tem comprimento médio de 92 mm, e o desvio-padrão conhecido da linha é 3 mm. Linha 2: uma amostra de 80 peças tem média de 90 mm, desvio-padrão conhecido de 4 mm. Encontre a estatística de teste z para H₀: μ₁ = μ₂, tomando a diferença como x̄₁ − x̄₂ (linha 1 menos linha 2).

n₁ = 50x̄₁ = 92 mmσ₁ = 3 mmn₂ = 80x̄₂ = 90 mmσ₂ = 4 mm

z =

18.Testes de hipóteses e intervalos de confiançaDifícil

Em um ensaio, 163 de 250 pacientes com o tratamento A se recuperam, e 185 de 250 pacientes com o tratamento B. Usando a proporção combinada, encontre a estatística de teste z para H₀: p₁ = p₂.

x₁ = 163n₁ = 250x₂ = 185n₂ = 250

z =

19.Regressão linear e correlaçãoMédia

A tabela dá 5 observações pareadas de x = carga em kN e y = alongamento em mm. As suas somas são dadas. Encontre o coeficiente de correlação de Pearson r a partir dessas somas.

n = 5Σx = 30Σy = 122Σx² = 220Σy² = 3602Σxy = 890

r =

20.Regressão linear e correlaçãoDifícil

A tabela dá 6 observações pareadas de x = temperatura em °C e y = sorvetes vendidos. Use a reta de mínimos quadrados ŷ = a + b·x. Para que valor x a reta prevê ŷ = 70?

n = 6ŷ = 70

x =

3Soluções

1.Valor temporal do dinheiro

Resposta: EAR = 22,13 %

Valor temporal do dinheiro: o dinheiro hoje vale mais do que a mesma quantia no futuro, porque pode render juros. Com uma taxa i por período, um montante cresce para FV = PV·(1 + i)ⁿ. Uma série de pagamentos iguais (uma renda) avalia-se somando cada pagamento, o que dá as fórmulas das rendas.

Taxa por período

r/m = 0,2/365 = 0,0005479

Capitalize ao longo de um ano

EAR = (1 + 0,0005479)³⁶⁵ − 1 = 1,221 − 1 = 22,13%

Resposta

EAR = 22,13%

A taxa efetiva anual é sempre maior que a taxa nominal quando os juros são capitalizados mais de uma vez por ano.

2.Valor temporal do dinheiro

Resposta: I = 4799 €

Prestação mensal

i = 0,005, N = 60

A = 30 000·0,005/(1 − (1 + 0,005)⁻⁶⁰) = €579,98

Juros totais

I = N·A − P = 60·580 − 30 000 = €4 799,04

Resposta

I = €4 799,04

3.VAL e TIR

Resposta: NPV = 2951 €

Valor atual líquido: desconte cada fluxo de caixa até hoje com a rendibilidade exigida r e some-os: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Um projeto com NPV > 0 rende mais do que r e cria valor. A taxa interna de rendibilidade (TIR) é a taxa para a qual NPV = 0.

Valor atual de cada fluxo

CF₀ = −20 000

CF₁/(1 + 0,09)¹ = 8 000/1,09 = 7 339,45

CF₂/(1 + 0,09)² = 7 000/1,188 = 5 891,76

CF₃/(1 + 0,09)³ = 8 000/1,295 = 6 177,47

CF₄/(1 + 0,09)⁴ = 5 000/1,412 = 3 542,13

Somar

NPV = €2 950,80

Resposta

NPV = €2 950,80

O VAL é positivo, logo o projeto rende mais do que a rendibilidade exigida.

4.VAL e TIR

Resposta: IRR = 6,394 %

Enquadrar a TIR

O VAL desce quando a taxa sobe, por isso a TIR está entre uma taxa com VAL positivo e outra com VAL negativo.

NPV(5%) = 204,08

NPV(10%) = −495,87

Aproximar

A interpolação linear dá uma primeira estimativa; repeti-la (ou usar a função TIR de uma calculadora) dá a taxa exata.

IRR ≈ 5 + 5·204,08/(204,08 − (−495,87)) = 6,458%

exato: NPV(6,394%) = 0 → IRR = 6,394%

Resposta

IRR = 6,394%

5.Preço e rendimento de títulos

Resposta: P = 964,1 €

Precificação de títulos: o preço de um título é o valor presente dos seus fluxos de caixa, descontados ao rendimento até o vencimento (YTM): os cupons formam uma anuidade e o valor de face é devolvido no vencimento. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando o rendimento está acima da taxa de cupom, o título é negociado abaixo do valor de face, e vice-versa.

Por período

C = €22,50, i = 0,025, N = 18

Valor presente dos cupons

€22,50·(1 − 0,6412)/0,025 = €322,95

Valor presente do valor de face

€1 000·0,6412 = €641,17

Preço

P = €964,12

Resposta

P = €964,12

O rendimento está acima da taxa de cupom, então o título é vendido com deságio.

6.Preço e rendimento de títulos

Resposta: YTM = 4,033 %

Equação do rendimento

€1 065 = €50·(1 − (1 + y)⁻⁸)/y + €1 000/(1 + y)⁸

Resolva numericamente

P(4%) = €1 067,33, P(5%) = €1 000,00

YTM = 4,033%

Resposta

YTM = 4,033%

7.CAPM e WACC

Resposta: WACC = 6,8 %

Custo de capital: o CAPM dá o retorno exigido pelos acionistas: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). O custo médio ponderado de capital combina capital próprio e dívida pelos seus valores de mercado: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), com V = E + D. Os juros são dedutíveis do imposto, daí o (1 − T).

Pesos

V = €16 000 000, E/V = 0,625, D/V = 0,375

WACC

WACC = 0,625·8% + 0,375·6%·(1 − 0,2) = 6,8%

Resposta

WACC = 6,8%

8.CAPM e WACC

Resposta: WACC = 3,985 %

Valores de mercado

E = 1 000 000·€13,50 = €13 500 000

D = 20 000·€1 050 = €21 000 000

Custo do capital próprio (CAPM)

r_e = 1,5% + 1,1·4,5% = 6,45%

Pesos

V = €34 500 000, E/V = 0,3913, D/V = 0,6087

WACC

WACC = 0,3913·6,45% + 0,6087·3%·(1 − 0,2) = 3,985%

Resposta

WACC = 3,985%

9.Estatística descritiva

Resposta: s = 13,06

Estatística descritiva: a média é a soma a dividir por n; a mediana é o valor central dos dados ordenados (a média dos dois centrais se n for par). O desvio-padrão amostral é s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Uma pontuação z = (x − μ)/σ diz a quantos desvios-padrão da média está um valor.

Média

x̄ = 194/6 = 32,33

Desvios ao quadrado

Σ(x − x̄)² = 2,667² + 13,67² + 16,67² + (−8,333)² + (−14,33)² + (−10,33)² = 853,3

Desvio-padrão

s = √(853,3/5) = 13,06

Resposta

s = 13,06

10.Estatística descritiva

Resposta: z = 1

Padronizar

z = (78 − 70)/8 = 1

Resposta

z = 1

11.Probabilidades

Resposta: Var(X) = 4,51

Variáveis aleatórias discretas: uma distribuição de probabilidade lista cada valor x que uma variável pode assumir com sua probabilidade p(x); as probabilidades ficam entre 0 e 1 e somam 1. O valor esperado (média) é E(X) = Σx·p(x), a média de longo prazo. A variância é Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², e o desvio padrão é σ = √Var(X). Para uma mudança linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) e σ_Y = |a|·σ_X; somar uma constante não muda a dispersão.

Média

μ = 0·0,15 + 2·0,35 + 4·0,2 + 6·0,3 = 3,3

Média dos quadrados

E(X²) = 0·0,15 + 4·0,35 + 16·0,2 + 36·0,3 = 15,4

Variância

Var(X) = 15,4 − 3,3² = 4,51

Resposta

Var(X) = 4,51

12.Probabilidades

Resposta: σ_Y = 0,9937

Dispersão de X

μ = 3,5, Var(X) = 3,95, σ_X = 1,987

Mudança linear

σ_Y = |0,5|·1,987 = 0,9937

Resposta

σ_Y = 0,9937

A média de fato se desloca: E(Y) = 0,5·3,5 + 1 = 2,75.

13.Distribuição normal

Resposta: P = 0,8413

Somas e diferenças de variáveis normais: se X e Y são independentes e normais, X + Y e X − Y também são normais. As médias se somam ou se subtraem: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. As variâncias sempre se somam, também em uma diferença: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², portanto σ = √(σ_X² + σ_Y²). Os desvios padrão nunca se somam diretamente. O total de n itens independentes com a mesma distribuição tem média n·μ e desvio padrão σ·√n. Depois padronize como de costume: z = (x − média)/σ e leia Φ(z).

Distribuição do total

μ_T = 108 kg, σ_T = 0,8·√9 = 2,4 kg

Padronizar

z = (105,6 − 108)/2,4 = −1

Probabilidades

P = 1 − Φ(−1) = 0,8413

Resposta

P = 0,8413

14.Distribuição normal

Resposta: P = 0,8413

Distribuição da diferença

μ = 500 − 490 = 10 g, σ = 10 g

Padronizar

z = (0 − 10)/10 = −1

Probabilidades

P = 1 − Φ(−1) = 0,8413

Resposta

P = 0,8413

15.Intervalos de confiança

Resposta: E = 5,181 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Estimativa pontual

x̄₁ − x̄₂ = 124,5 − 138,5 = −14

Erro-padrão

SE = √(9²/30 + 19²/50) = 3,15

Margem de erro

E = 1,645·3,15 = 5,181

Resposta

E = 5,181 h

O intervalo não contém 0, então as médias diferem significativamente.

16.Intervalos de confiança

Resposta: limite superior = 3,015 kg

Desvio-padrão combinado

s_p² = (5·4,5² + 10·8,5²)/15 = 54,92

s_p = 7,411

Margem de erro

E = 2,131·7,411·√(1/6 + 1/11) = 8,015

Intervalo

−5 ± 8,015 → [−13,01, 3,015]

Resposta

limite superior = 3,015 kg

17.Testes de hipóteses e intervalos de confiança

Resposta: z = 3,244

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Erro-padrão da diferença

SE = √(3²/50 + 4²/80) = √0,38 = 0,6164

Estatística de teste

z = (92 − 90)/0,6164 = 3,244

Resposta

z = 3,244

|z| > 1,96, então H₀ é rejeitada ao nível de 5% (bilateral).

18.Testes de hipóteses e intervalos de confiança

Resposta: z = −2,139

Proporções amostrais

p̂₁ = 163/250 = 0,652

p̂₂ = 185/250 = 0,74

p̂ = 348/500 = 0,696

Erro-padrão sob H₀

SE = √(0,696·0,304·(1/250 + 1/250)) = 0,04114

Estatística de teste

z = (0,652 − 0,74)/0,04114 = −2,139

Resposta

z = −2,139

|z| > 1,96, então H₀ é rejeitada ao nível de 5% (bilateral).

19.Regressão linear e correlação

Resposta: r = 0,9991

Regressão por mínimos quadrados: com x̄ e ȳ as médias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), a reta ŷ = a + b·x tem inclinação b = Sxy/Sxx e intercepto a = ȳ − b·x̄, então ela sempre passa por (x̄, ȳ). O coeficiente de correlação de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) fica entre −1 e 1; r² é a fração da variação de y explicada pela reta.

Somas centradas

S_xy = 890 − 30·122/5 = 158

S_xx = 220 − 30²/5 = 40

S_yy = 3602 − 122²/5 = 625,2

Coeficiente de correlação

r = 158/√(40·625,2) = 0,9991

Resposta

r = 0,9991

20.Regressão linear e correlação

Resposta: x = 15,06

Médias

x̄ = 114/6 = 19

ȳ = 525/6 = 87,5

Somas de quadrados e de produtos

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 311

Reta de regressão

b = 311/70 = 4,443

a = 87,5 − 4,443·19 = 3,086

ŷ = 3,086 + 4,443·x

Resolver para x

x = (70 − 3,086)/4,443 = 15,06

Resposta

x = 15,06

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