Investe €1 000 a uma taxa nominal de 2 % ao ano, capitalizada mensalmente. Calcule o valor FV do investimento ao fim de 10 anos.
PV = €1 0002% / 12n = 10
FV = €
2.Valor temporal do dinheiroDifícil
Um financiamento imobiliário de €300 000 é pago em prestações mensais iguais ao longo de 20 anos a 4,8% ao ano, capitalizados mensalmente. Quanto ainda se deve logo após o pagamento do final do ano 13? Encontre o saldo devedor B.
P = €300 0004,8% / 12N = 240k = 156
B = €
3.VAL e TIRMédia
Um investimento de €75 000 gera estes fluxos no fim dos anos 1 a 3: €34 000, €31 000, €29 000. O custo do capital é de 7,000000000000001 %. Calcule o valor atual líquido NPV.
Um projeto custa €40 000 e devolve €27 500, €21 500, €29 000 no fim dos anos 1 a 3. Calcule a sua taxa interna de rendibilidade IRR em percentagem.
CF0 = −40 000CF1 = 27 500CF2 = 21 500CF3 = 29 000
IRR = %
5.Preço e rendimento de títulosMédia
Um título com valor de face de €1 000 vence em 6 anos e paga cupons anuais. Ele é vendido a €1 098 quando o rendimento até o vencimento é 6%. Encontre a taxa de cupom c em porcentagem.
F = €1 000n = 6P = €1 098YTM = 6%
c = %
6.Preço e rendimento de títulosDifícil
Um título com valor de face de €1 000 e cupom anual de 6% vence em 4 anos e é vendido por €935. Calcule seu rendimento até o vencimento YTM em porcentagem.
F = €1 000cupom = 6%n = 4P = €935
YTM = %
7.CAPM e WACCMédia
Uma empresa tem uma relação dívida/capital próprio (a valores de mercado) de 0,5. Seu custo do capital próprio é 10%, seu custo da dívida antes dos impostos é 6% e a alíquota de imposto é 25%. Encontre o WACC.
D/E = 0,5re = 10%rd = 6%T = 25%
WACC = %
8.CAPM e WACCDifícil
Uma empresa tem 5 000 000 ações a €36,00 cada e 5 000 títulos negociados a €1 050 cada. O custo da dívida antes dos impostos é 7% e a alíquota de imposto é 21%. O beta da ação é 1,2, a taxa livre de risco é 2% e o retorno do mercado é 6,5%. Calcule o WACC.
β = 1,2rf = 2%rm = 6,5%rd = 7%T = 21%
WACC = %
9.Estatística descritivaMédia
Calcule o desvio-padrão amostral s dos dados: 56, 35, 31, 32, 56, 36.
n = 6
s =
10.Estatística descritivaDifícil
As notas de um exame seguem uma distribuição normal com média 70 e desvio-padrão 12. Calcule a pontuação z z de uma nota de 85.
μ = 70σ = 12x = 85
z =
11.ProbabilidadesMédia
Lança-se um dado equilibrado 2 vezes. Qual é a probabilidade P de sair pelo menos um seis?
n = 2
P =
12.ProbabilidadesDifícil
Um jogo custa €1 para jogar. Você ganha €3 com probabilidade 0,2 e €10 com probabilidade 0,01; caso contrário, não ganha nada. A aposta não é devolvida. Encontre o ganho líquido esperado E(G) por jogo.
aposta = €1€3: p = 0,2€10: p = 0,01
E(G) = €
13.Distribuição normalMédia
As massas de sacos de cimento são independentes e normais com média 25 kg e desvio padrão 0,5 kg. Encontre a probabilidade P de a massa total de 5 deles exceder 126,7 kg. Arredonde z para duas casas decimais.
μ = 25 kgσ = 0,5 kgn = 5> 126,7 kg
P =
14.Distribuição normalDifícil
Os diâmetros D dos furos são normais com média 25,05 mm e desvio padrão 0,015 mm. Os diâmetros d dos eixos são independentes e normais com média 25 mm e desvio padrão 0,02 mm. Um eixo escolhido ao acaso encaixa quando D − d > 0. Encontre a probabilidade P de ele encaixar. Arredonde z para duas casas decimais.
furo: μ = 25,05 mm, σ = 0,015 mmeixo: μ = 25 mm, σ = 0,02 mm
P =
15.Intervalos de confiançaMédia
A duração da bateria de dois modelos de celular é comparada. Modelo 1: 30 celulares, média 75 h, desvio-padrão conhecido 4 h. Modelo 2: 60 celulares, média 84 h, desvio-padrão conhecido 5 h. Encontre o limite inferior do intervalo de confiança de 99% para μ₁ − μ₂.
Não se sabe nada de antemão sobre a proporção de produtos defeituosos. Quantos produtos n devem ser inspecionados para que um intervalo de confiança de 99% para a proporção tenha margem de erro de no máximo 0,05?
p = 0,5E = 0,0599%
n =
17.Testes de hipóteses e intervalos de confiançaMédia
Afirma-se que a média de uma população é 500; o desvio-padrão da população é conhecido e vale 18. Uma amostra aleatória de 36 observações tem média 496,58. Teste H₀: μ = 500 contra H₁: μ < 500. Encontre o valor p p.
μ₀ = 500σ = 18n = 36x̄ = 496,58H₁: μ < μ₀
p =
18.Testes de hipóteses e intervalos de confiançaDifícil
Em um ensaio, 54 de 120 pacientes com o tratamento A se recuperam, e 82 de 200 pacientes com o tratamento B. Usando a proporção combinada, encontre a estatística de teste z para H₀: p₁ = p₂.
x₁ = 54n₁ = 120x₂ = 82n₂ = 200
z =
19.Regressão linear e correlaçãoMédia
A tabela dá 5 observações pareadas de x = idade do carro em anos e y = preço em k€. As suas somas são dadas. Encontre o coeficiente de correlação de Pearson r a partir dessas somas.
n = 5Σx = 15Σy = 80Σx² = 55Σy² = 1368Σxy = 211
r =
20.Regressão linear e correlaçãoDifícil
A tabela dá 5 observações pareadas de x = idade do carro em anos e y = preço em k€. Use a reta de mínimos quadrados ŷ = a + b·x. É feita uma nova observação (3,5, 16). Encontre o seu resíduo e = y − ŷ.
n = 5(3,5, 16)
e =
3Soluções
1.Valor temporal do dinheiro
Resposta: FV = 1221 €
Valor temporal do dinheiro: o dinheiro hoje vale mais do que a mesma quantia no futuro, porque pode render juros. Com uma taxa i por período, um montante cresce para FV = PV·(1 + i)n. Uma série de pagamentos iguais (uma renda) avalia-se somando cada pagamento, o que dá as fórmulas das rendas.
Valor temporal do dinheiro: o dinheiro hoje vale mais do que a mesma quantia no futuro, porque pode render juros. Com uma taxa i por período, um montante cresce para FV = PV·(1 + i)n. Uma série de pagamentos iguais (uma renda) avalia-se somando cada pagamento, o que dá as fórmulas das rendas.
O que ainda se deve precisa ser quitado exatamente pelas prestações restantes.
N − k = 240 − 156 = 84
B = 1947·(1 − (1 + 0,004)−84)/0,004 = €138 664,91
Resposta
B = €138 664,91
3.VAL e TIR
Resposta: NPV = 7525 €
Valor atual líquido: desconte cada fluxo de caixa até hoje com a rendibilidade exigida r e some-os: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Um projeto com NPV > 0 rende mais do que r e cria valor. A taxa interna de rendibilidade (TIR) é a taxa para a qual NPV = 0.
Valor atual de cada fluxo
CF0 = −75 000
CF1/(1 + 0,07)1 = 34 000/1,07 = 31 775,70
CF2/(1 + 0,07)2 = 31 000/1,145 = 27 076,60
CF3/(1 + 0,07)3 = 29 000/1,225 = 23 672,64
Somar
NPV = €7 524,94
Resposta
NPV = €7 524,94
O VAL é positivo, logo o projeto rende mais do que a rendibilidade exigida.
4.VAL e TIR
Resposta: IRR = 42,31 %
Valor atual líquido: desconte cada fluxo de caixa até hoje com a rendibilidade exigida r e some-os: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Um projeto com NPV > 0 rende mais do que r e cria valor. A taxa interna de rendibilidade (TIR) é a taxa para a qual NPV = 0.
Enquadrar a TIR
O VAL desce quando a taxa sobe, por isso a TIR está entre uma taxa com VAL positivo e outra com VAL negativo.
NPV(40%) = 1 180,76
NPV(45%) = −1 296,08
Aproximar
A interpolação linear dá uma primeira estimativa; repeti-la (ou usar a função TIR de uma calculadora) dá a taxa exata.
Precificação de títulos: o preço de um título é o valor presente dos seus fluxos de caixa, descontados ao rendimento até o vencimento (YTM): os cupons formam uma anuidade e o valor de face é devolvido no vencimento. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando o rendimento está acima da taxa de cupom, o título é negociado abaixo do valor de face, e vice-versa.
Valor presente do valor de face
1000·(1 + 0,06)−6 = €704,96
Cupom
C = (1098 − 704,96)/4,917 = €79,93
Taxa de cupom
c = 79,93/1000 = 7,993%
Resposta
c = 7,993%
6.Preço e rendimento de títulos
Resposta: YTM = 7,961 %
Precificação de títulos: o preço de um título é o valor presente dos seus fluxos de caixa, descontados ao rendimento até o vencimento (YTM): os cupons formam uma anuidade e o valor de face é devolvido no vencimento. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando o rendimento está acima da taxa de cupom, o título é negociado abaixo do valor de face, e vice-versa.
Equação do rendimento
€935 = €60·(1 − (1 + y)⁻⁴)/y + €1 000/(1 + y)⁴
Resolva numericamente
P(7%) = €966,13, P(8%) = €933,76
YTM = 7,961%
Resposta
YTM = 7,961%
7.CAPM e WACC
Resposta: WACC = 8,167 %
Custo de capital: o CAPM dá o retorno exigido pelos acionistas: re = rf + β·(rm − rf). O custo médio ponderado de capital combina capital próprio e dívida pelos seus valores de mercado: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), com V = E + D. Os juros são dedutíveis do imposto, daí o (1 − T).
Pesos a partir de D/E
E/V = 1/(1 + 0,5) = 0,6667
D/V = 0,5/(1 + 0,5) = 0,3333
WACC
WACC = 0,6667·10% + 0,3333·6%·(1 − 0,25) = 8,167%
Resposta
WACC = 8,167%
8.CAPM e WACC
Resposta: WACC = 7,347 %
Custo de capital: o CAPM dá o retorno exigido pelos acionistas: re = rf + β·(rm − rf). O custo médio ponderado de capital combina capital próprio e dívida pelos seus valores de mercado: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), com V = E + D. Os juros são dedutíveis do imposto, daí o (1 − T).
Estatística descritiva: a média é a soma a dividir por n; a mediana é o valor central dos dados ordenados (a média dos dois centrais se n for par). O desvio-padrão amostral é s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Uma pontuação z = (x − μ)/σ diz a quantos desvios-padrão da média está um valor.
Estatística descritiva: a média é a soma a dividir por n; a mediana é o valor central dos dados ordenados (a média dos dois centrais se n for par). O desvio-padrão amostral é s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Uma pontuação z = (x − μ)/σ diz a quantos desvios-padrão da média está um valor.
Padronizar
z = (85 − 70)/12 = 1,25
Resposta
z = 1,25
11.Probabilidades
Resposta: P = 0,3056
Probabilidades: com resultados equiprováveis, P(A) = favoráveis/possíveis. Para acontecimentos independentes multiplica-se: P(A e B) = P(A)·P(B). O complementar ajuda muitas vezes: P(pelo menos um) = 1 − P(nenhum). Binomial: em n provas independentes com probabilidade de sucesso p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Complementar
P(nenhum seis) = (5/6)2 = 0,6944
P = 1 − 0,6944 = 0,3056
Resposta
P = 0,3056
12.Probabilidades
Resposta: E(G) = −0,3 €
Variáveis aleatórias discretas: uma distribuição de probabilidade lista cada valor x que uma variável pode assumir com sua probabilidade p(x); as probabilidades ficam entre 0 e 1 e somam 1. O valor esperado (média) é E(X) = Σx·p(x), a média de longo prazo. A variância é Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², e o desvio padrão é σ = √Var(X). Para uma mudança linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) e σY = |a|·σX; somar uma constante não muda a dispersão.
Resultados líquidos
G: 2 (p = 0,2), 9 (p = 0,01), −1 (p = 0,79)
Valor esperado
E(G) = 2·0,2 + 9·0,01 − 1·0,79 = −0,3 €
Resposta
E(G) = −0,3 €
Um valor negativo significa que você perde dinheiro em média.
13.Distribuição normal
Resposta: P = 0,06426
Somas e diferenças de variáveis normais: se X e Y são independentes e normais, X + Y e X − Y também são normais. As médias se somam ou se subtraem: E(X ± Y) = μX ± μY. As variâncias sempre se somam, também em uma diferença: Var(X ± Y) = σX² + σY², portanto σ = √(σX² + σY²). Os desvios padrão nunca se somam diretamente. O total de n itens independentes com a mesma distribuição tem média n·μ e desvio padrão σ·√n. Depois padronize como de costume: z = (x − média)/σ e leia Φ(z).
Distribuição do total
μT = 125 kg, σT = 0,5·√5 = 1,118 kg
Padronizar
z = (126,7 − 125)/1,118 = 1,52
Probabilidades
P = 1 − Φ(1,52) = 0,06426
Resposta
P = 0,06426
14.Distribuição normal
Resposta: P = 0,9772
Somas e diferenças de variáveis normais: se X e Y são independentes e normais, X + Y e X − Y também são normais. As médias se somam ou se subtraem: E(X ± Y) = μX ± μY. As variâncias sempre se somam, também em uma diferença: Var(X ± Y) = σX² + σY², portanto σ = √(σX² + σY²). Os desvios padrão nunca se somam diretamente. O total de n itens independentes com a mesma distribuição tem média n·μ e desvio padrão σ·√n. Depois padronize como de costume: z = (x − média)/σ e leia Φ(z).
Distribuição da diferença
μ = 25,05 − 25 = 0,05 mm, σ = 0,025 mm
Padronizar
z = (0 − 0,05)/0,025 = −2
Probabilidades
P = 1 − Φ(−2) = 0,9772
Resposta
P = 0,9772
15.Intervalos de confiança
Resposta: limite inferior = −11,51 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Estimativa pontual
x̄₁ − x̄₂ = 75 − 84 = −9
Erro-padrão
SE = √(4²/30 + 5²/60) = 0,9747
Margem de erro
E = 2,576·0,9747 = 2,511
Intervalo
−9 ± 2,511 → [−11,51, −6,489]
Resposta
limite inferior = −11,51 h
O intervalo não contém 0, então as médias diferem significativamente.
16.Intervalos de confiança
Resposta: n = 664
Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.
Resolver em ordem a n
n = 2,576²·0,5·0,5/0,05² = 663,6
Arredondar para cima
n = 664
Resposta
n = 664
17.Testes de hipóteses e intervalos de confiança
Resposta: p = 0,1271
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Estatística de teste
SE = σ/√n = 18/√36 = 3
z = (496,58 − 500)/3 = −1,14
Área da cauda
Φ(1,14) = 0,8729
1 − Φ(1,14) = 0,1271
Valor p
p = 0,1271
Resposta
p = 0,1271
p > 0,05, então H₀ não é rejeitada ao nível de 5%.
18.Testes de hipóteses e intervalos de confiança
Resposta: z = 0,7007
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Proporções amostrais
p̂₁ = 54/120 = 0,45
p̂₂ = 82/200 = 0,41
p̂ = 136/320 = 0,425
Erro-padrão sob H₀
SE = √(0,425·0,575·(1/120 + 1/200)) = 0,05708
Estatística de teste
z = (0,45 − 0,41)/0,05708 = 0,7007
Resposta
z = 0,7007
|z| < 1,96, então H₀ não é rejeitada ao nível de 5% (bilateral).
19.Regressão linear e correlação
Resposta: r = −0,9776
Regressão por mínimos quadrados: com x̄ e ȳ as médias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), a reta ŷ = a + b·x tem inclinação b = Sxy/Sxx e intercepto a = ȳ − b·x̄, então ela sempre passa por (x̄, ȳ). O coeficiente de correlação de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) fica entre −1 e 1; r² é a fração da variação de y explicada pela reta.
Somas centradas
Sxy = 211 − 15·80/5 = −29
Sxx = 55 − 15²/5 = 10
Syy = 1368 − 80²/5 = 88
Coeficiente de correlação
r = −29/√(10·88) = −0,9776
Resposta
r = −0,9776
20.Regressão linear e correlação
Resposta: e = −3,15
Regressão por mínimos quadrados: com x̄ e ȳ as médias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), a reta ŷ = a + b·x tem inclinação b = Sxy/Sxx e intercepto a = ȳ − b·x̄, então ela sempre passa por (x̄, ȳ). O coeficiente de correlação de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) fica entre −1 e 1; r² é a fração da variação de y explicada pela reta.