Uma anuidade paga €1 500 no final de cada ano durante 9 anos. A taxa de juros é 6% ao ano. Encontre o valor presente PV da anuidade.
A = €1 500i = 6%n = 9
PV = €
2.Valor temporal do dinheiroDifícil
Um empréstimo de €12 000 é pago em prestações mensais iguais durante 4 anos. A taxa de juro é de 2,4 % ao ano, capitalizada mensalmente. Calcule a prestação mensal A.
P = €12 0002,4% / 12N = 48
A = €
3.VAL e TIRMédia
Um projeto custa €100 000 hoje. Ele gera €6 000 no final do primeiro ano, e o fluxo de caixa depois cresce 1% ao ano para sempre. O custo de capital é 9%. Encontre o valor presente líquido NPV.
C0 = €100 000CF1 = €6 000g = 1%r = 9%
NPV = €
4.VAL e TIRDifícil
Um projeto custa €80 000 hoje. Seu fluxo de caixa é €11 500 no final do ano 1 e cresce 4% ao ano até o último fluxo de caixa, no final do ano 7. O custo de capital é 12%. Encontre o valor presente líquido NPV.
C0 = €80 000CF1 = €11 500g = 4%n = 7r = 12%
NPV = €
5.Preço e rendimento de títulosMédia
Um título com valor de face de €1 000 paga um cupom anual de 7% em dois pagamentos semestrais e vence em 6 anos. O rendimento até o vencimento é de 2,5% ao ano. Calcule o preço P do título.
F = €1 000cupom = 7%YTM = 2,5%n = 6
P = €
6.Preço e rendimento de títulosDifícil
Um título com valor de face de €1 000 e cupom anual de 6% vence em 4 anos e é vendido por €950. Calcule seu rendimento até o vencimento YTM em porcentagem.
F = €1 000cupom = 6%n = 4P = €950
YTM = %
7.CAPM e WACCMédia
Uma empresa é financiada com ações ordinárias no valor de €5 000 000, ações preferenciais no valor de €1 500 000 e dívida no valor de €6 000 000. O custo do capital próprio é 12%, o custo das ações preferenciais 7% e o custo da dívida antes dos impostos 6%. A alíquota de imposto é 30%. Encontre o WACC.
Uma empresa tem 2 500 000 ações a €32,00 cada e 5 000 títulos negociados a €960 cada. O custo da dívida antes dos impostos é 3,5% e a alíquota de imposto é 25%. O beta da ação é 0,6, a taxa livre de risco é 1% e o retorno do mercado é 7%. Calcule o WACC.
β = 0,6rf = 1%rm = 7%rd = 3,5%T = 25%
WACC = %
9.Estatística descritivaMédia
Calcule o desvio-padrão amostral s dos dados: 16, 59, 47, 38, 11.
n = 5
s =
10.Estatística descritivaDifícil
Uma grandeza segue uma distribuição normal com média 50 e desvio-padrão 8. Que proporção P dos valores está abaixo de 46?
μ = 50σ = 8x = 46
P =
11.ProbabilidadesMédia
Lança-se um dado equilibrado 6 vezes. Qual é a probabilidade P de sair pelo menos um seis?
n = 6
P =
12.ProbabilidadesDifícil
Testam-se 7 componentes e cada um avaria com probabilidade 0,5, de forma independente. Qual é a probabilidade P de avariar no máximo um?
n = 7p = 0,5
P =
13.Distribuição normalMédia
Arraste z para que a área sombreada sob a curva normal padrão, à direita de z, seja 0,7291. Encontre z com duas casas decimais.
A = 0,7291
z =
14.Distribuição normalDifícil
Os alturas de homens adultos têm distribuição normal com média 178 cm e desvio padrão 7 cm. Arraste o ponto de corte para que os 70% inferiores sombreados fiquem à esquerda dele. Encontre o ponto de corte x.
μ = 178 cmσ = 7 cm70%
x = cm
15.Intervalos de confiançaMédia
A pressão arterial de 10 pacientes é medida antes e depois de um tratamento. As diferenças d = antes − depois (mmHg) têm média 4,1 e desvio-padrão 6,4. Encontre o limite superior do intervalo de confiança de 95% para a diferença média.
n = 10d̄ = 4,1sd = 6,495%t(9) = 2,262
limite superior = mmHg
16.Intervalos de confiançaDifícil
O desvio-padrão da população é 13. Qual o tamanho de amostra n necessário para que um intervalo de confiança de 95% para a média tenha margem de erro de no máximo 1,5?
σ = 13E = 1,595%
n =
17.Testes de hipóteses e intervalos de confiançaMédia
Uma amostra de 64 estudantes tem nota média 98,25 e desvio-padrão amostral 10. Calcule a estatística de teste t para H₀: μ = 100.
μ₀ = 100x̄ = 98,25s = 10n = 64
t =
18.Testes de hipóteses e intervalos de confiançaDifícil
Uma amostra de 49 medições tem média 203,9. O desvio-padrão da população é 15. Calcule o limite superior U do intervalo de confiança a 99 % para a média.
x̄ = 203,9σ = 15n = 4999%
U =
19.Regressão linear e correlaçãoMédia
A tabela dá 6 observações pareadas de x = horas de estudo e y = nota na prova. Encontre o coeficiente de correlação de Pearson r.
n = 6
r =
20.Regressão linear e correlaçãoDifícil
A tabela dá 5 observações pareadas de x = gasto com publicidade em k€ e y = vendas em k€. Use a reta de mínimos quadrados ŷ = a + b·x. É feita uma nova observação (7, 45). Encontre o seu resíduo e = y − ŷ.
n = 5(7, 45)
e =
3Soluções
1.Valor temporal do dinheiro
Resposta: PV = 10203 €
Valor temporal do dinheiro: o dinheiro hoje vale mais do que a mesma quantia no futuro, porque pode render juros. Com uma taxa i por período, um montante cresce para FV = PV·(1 + i)n. Uma série de pagamentos iguais (uma renda) avalia-se somando cada pagamento, o que dá as fórmulas das rendas.
Fator de anuidade
(1 − (1 + i)−n)/i = (1 − 0,5919)/0,06 = 6,802
Valor atual
PV = 1 500·6,802 = €10 202,54
Resposta
PV = €10 202,54
2.Valor temporal do dinheiro
Resposta: A = 262,4 €
Valor temporal do dinheiro: o dinheiro hoje vale mais do que a mesma quantia no futuro, porque pode render juros. Com uma taxa i por período, um montante cresce para FV = PV·(1 + i)n. Uma série de pagamentos iguais (uma renda) avalia-se somando cada pagamento, o que dá as fórmulas das rendas.
Taxa mensal e número de prestações
i = 0,024/12 = 0,002
N = 12·4 = 48
Prestação
O valor atual de N pagamentos iguais A é A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Iguale-o ao empréstimo e resolva em ordem a A.
(1 + i)−N = 0,9086
A = 12 000·0,002/(1 − 0,9086) = €262,44
Resposta
A = €262,44
3.VAL e TIR
Resposta: NPV = −25000 €
Valor atual líquido: desconte cada fluxo de caixa até hoje com a rendibilidade exigida r e some-os: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Um projeto com NPV > 0 rende mais do que r e cria valor. A taxa interna de rendibilidade (TIR) é a taxa para a qual NPV = 0.
Valor dos fluxos de caixa
PV = 6 000/(0,09 − 0,01) = 75 000,00
NPV
NPV = 75 000,00 − 100 000 = −€25 000,00
Resposta
NPV = −€25 000,00
O VAL é negativo, logo o projeto rende menos do que a rendibilidade exigida.
4.VAL e TIR
Resposta: NPV = −21819 €
Valor atual líquido: desconte cada fluxo de caixa até hoje com a rendibilidade exigida r e some-os: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Um projeto com NPV > 0 rende mais do que r e cria valor. A taxa interna de rendibilidade (TIR) é a taxa para a qual NPV = 0.
O VAL é negativo, logo o projeto rende menos do que a rendibilidade exigida.
5.Preço e rendimento de títulos
Resposta: P = 1249 €
Precificação de títulos: o preço de um título é o valor presente dos seus fluxos de caixa, descontados ao rendimento até o vencimento (YTM): os cupons formam uma anuidade e o valor de face é devolvido no vencimento. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando o rendimento está acima da taxa de cupom, o título é negociado abaixo do valor de face, e vice-versa.
Por período
C = €35,00, i = 0,0125, N = 12
Valor presente dos cupons
€35,00·(1 − 0,8615)/0,0125 = €387,78
Valor presente do valor de face
€1 000·0,8615 = €861,51
Preço
P = €1 249,28
Resposta
P = €1 249,28
O rendimento está abaixo da taxa de cupom, então o título é vendido com ágio.
6.Preço e rendimento de títulos
Resposta: YTM = 7,493 %
Precificação de títulos: o preço de um título é o valor presente dos seus fluxos de caixa, descontados ao rendimento até o vencimento (YTM): os cupons formam uma anuidade e o valor de face é devolvido no vencimento. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando o rendimento está acima da taxa de cupom, o título é negociado abaixo do valor de face, e vice-versa.
Equação do rendimento
€950 = €60·(1 − (1 + y)⁻⁴)/y + €1 000/(1 + y)⁴
Resolva numericamente
P(7%) = €966,13, P(8%) = €933,76
YTM = 7,493%
Resposta
YTM = 7,493%
7.CAPM e WACC
Resposta: WACC = 7,656 %
Custo de capital: o CAPM dá o retorno exigido pelos acionistas: re = rf + β·(rm − rf). O custo médio ponderado de capital combina capital próprio e dívida pelos seus valores de mercado: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), com V = E + D. Os juros são dedutíveis do imposto, daí o (1 − T).
Custo de capital: o CAPM dá o retorno exigido pelos acionistas: re = rf + β·(rm − rf). O custo médio ponderado de capital combina capital próprio e dívida pelos seus valores de mercado: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), com V = E + D. Os juros são dedutíveis do imposto, daí o (1 − T).
Estatística descritiva: a média é a soma a dividir por n; a mediana é o valor central dos dados ordenados (a média dos dois centrais se n for par). O desvio-padrão amostral é s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Uma pontuação z = (x − μ)/σ diz a quantos desvios-padrão da média está um valor.
Estatística descritiva: a média é a soma a dividir por n; a mediana é o valor central dos dados ordenados (a média dos dois centrais se n for par). O desvio-padrão amostral é s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Uma pontuação z = (x − μ)/σ diz a quantos desvios-padrão da média está um valor.
Padronizar
z = −0,5
Tabela da normal padrão
Φ(−0,5) = 0,3085
P = 0,3085
Resposta
P = 0,3085
11.Probabilidades
Resposta: P = 0,6651
Probabilidades: com resultados equiprováveis, P(A) = favoráveis/possíveis. Para acontecimentos independentes multiplica-se: P(A e B) = P(A)·P(B). O complementar ajuda muitas vezes: P(pelo menos um) = 1 − P(nenhum). Binomial: em n provas independentes com probabilidade de sucesso p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Complementar
P(nenhum seis) = (5/6)6 = 0,3349
P = 1 − 0,3349 = 0,6651
Resposta
P = 0,6651
12.Probabilidades
Resposta: P = 0,0625
Probabilidades: com resultados equiprováveis, P(A) = favoráveis/possíveis. Para acontecimentos independentes multiplica-se: P(A e B) = P(A)·P(B). O complementar ajuda muitas vezes: P(pelo menos um) = 1 − P(nenhum). Binomial: em n provas independentes com probabilidade de sucesso p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Zero e uma avaria
P(X = 0) = 0,57 = 0,007813
P(X = 1) = 7·0,5·0,56 = 0,05469
Some
P = 0,007813 + 0,05469 = 0,0625
Resposta
P = 0,0625
13.Distribuição normal
Resposta: z = −0,61
De uma área de volta a z: Φ(z) é a área à esquerda de z. Para uma área de cauda esquerda A, encontre na tabela o z com Φ(z) = A. Uma área de cauda direita A significa Φ(z) = 1 − A. Uma área central A entre −z e z deixa (1 − A)/2 em cada cauda, então Φ(z) = (1 + A)/2. Para um valor x, use x = μ + zσ.
Área à esquerda de z
Φ(z) = 1 − 0,7291 = 0,2709
Leia a tabela de z ao contrário
Encontre 0,2709 dentro da tabela e leia z.
z = −0,61
Resposta
z = −0,61
14.Distribuição normal
Resposta: x = 181,6 cm
De uma área de volta a z: Φ(z) é a área à esquerda de z. Para uma área de cauda esquerda A, encontre na tabela o z com Φ(z) = A. Uma área de cauda direita A significa Φ(z) = 1 − A. Uma área central A entre −z e z deixa (1 − A)/2 em cada cauda, então Φ(z) = (1 + A)/2. Para um valor x, use x = μ + zσ.
Área à esquerda
Φ(z) = 0,7
z da tabela
z ≈ 0,52
De volta às unidades originais
x = 178 + 0,52·7 = 181,6 cm
Resposta
x = 181,6 cm
15.Intervalos de confiança
Resposta: limite superior = 8,678 mmHg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Valor crítico
df = 9, t = 2,262
Margem de erro
E = 2,262·6,4/√10 = 4,578
Intervalo
4,1 ± 4,578 → [−0,478, 8,678]
Resposta
limite superior = 8,678 mmHg
16.Intervalos de confiança
Resposta: n = 289
Intervalo de confiança para uma média: x̄ ± margem de erro. Com σ populacional conhecido, a margem é z·σ/√n; tendo apenas o desvio-padrão amostral s, use t com n − 1 graus de liberdade: t·s/√n. Valores críticos: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Para obter uma margem E ou menor, você precisa de n ≥ (z·σ/E)², arredondado para cima.
Resolver em ordem a n
n = (1,96·13/1,5)² = 288,5
Arredondar para cima
O tamanho da amostra é um número inteiro, e arredondar para baixo deixaria a margem grande demais.
n = 289
Resposta
n = 289
17.Testes de hipóteses e intervalos de confiança
Resposta: t = −1,4
Teste a uma média: a estatística de teste mede a quantos erros-padrão a média amostral está do valor afirmado em H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) quando σ é conhecido, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) quando é estimado pela amostra. Um intervalo de confiança é x̄ ± (valor crítico)·(erro-padrão).
Erro-padrão
SE = 10/√64 = 10/8 = 1,25
Estatística de teste
t = (98,25 − 100)/1,25 = −1,4
Resposta
t = −1,4
t0,025; df = 63 = 1,998
|t| < 1.998, então H₀ não é rejeitada ao nível de 5% (bilateral).
18.Testes de hipóteses e intervalos de confiança
Resposta: U = 209,4
Teste a uma média: a estatística de teste mede a quantos erros-padrão a média amostral está do valor afirmado em H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) quando σ é conhecido, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) quando é estimado pela amostra. Um intervalo de confiança é x̄ ± (valor crítico)·(erro-padrão).
Margem de erro
E = 2,576·15/√49 = 5,52
Limite do intervalo
U = 203,9 + 5,52 = 209,4
Resposta
U = 209,4
19.Regressão linear e correlação
Resposta: r = 0,9868
Regressão por mínimos quadrados: com x̄ e ȳ as médias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), a reta ŷ = a + b·x tem inclinação b = Sxy/Sxx e intercepto a = ȳ − b·x̄, então ela sempre passa por (x̄, ȳ). O coeficiente de correlação de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) fica entre −1 e 1; r² é a fração da variação de y explicada pela reta.
Médias
x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 408/6 = 68
Somas de quadrados e de produtos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 230
Syy = Σ(y − ȳ)² = 776
Coeficiente de correlação
r = 230/√(70·776) = 0,9868
Resposta
r = 0,9868
20.Regressão linear e correlação
Resposta: e = −2,6
Regressão por mínimos quadrados: com x̄ e ȳ as médias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), a reta ŷ = a + b·x tem inclinação b = Sxy/Sxx e intercepto a = ȳ − b·x̄, então ela sempre passa por (x̄, ȳ). O coeficiente de correlação de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) fica entre −1 e 1; r² é a fração da variação de y explicada pela reta.
Médias
x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 230/5 = 46
Somas de quadrados e de produtos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 64
Reta de regressão
b = 64/40 = 1,6
a = 46 − 1,6·6 = 36,4
ŷ = 36,4 + 1,6·x
Valor previsto
ŷ = 36,4 + 1,6·7 = 47,6
Resíduo
e = 45 − 47,6 = −2,6
Resposta
e = −2,6
O ponto está abaixo da reta.
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