Espera-se que um imóvel renda um aluguel líquido de €20 000 no próximo ano. Espera-se que o aluguel cresça 1,5% ao ano para sempre. O retorno exigido é 7,5% ao ano. Encontre o valor PV do imóvel hoje.
C1 = €20 000g = 1,5%r = 7,5%
PV = €
2.Valor temporal do dinheiroDifícil
Um empréstimo de €20 000 é pago em prestações mensais iguais durante 5 anos. A taxa de juro é de 7,2 % ao ano, capitalizada mensalmente. Calcule a prestação mensal A.
P = €20 0007,2% / 12N = 60
A = €
3.VAL e TIRMédia
Um projeto custa €200 000 hoje. Ele gera €23 000 no final do primeiro ano, e o fluxo de caixa depois cresce 3% ao ano para sempre. O custo de capital é 12%. Encontre o valor presente líquido NPV.
C0 = €200 000CF1 = €23 000g = 3%r = 12%
NPV = €
4.VAL e TIRDifícil
Um projeto custa €50 000 e devolve €19 500, €36 000 no fim dos anos 1 a 2. Calcule a sua taxa interna de rendibilidade IRR em percentagem.
CF0 = −50 000CF1 = 19 500CF2 = 36 000
IRR = %
5.Preço e rendimento de títulosMédia
Um título com valor de face de €1 000 vence em 14 anos e paga cupons anuais. Ele é vendido a €1 186 quando o rendimento até o vencimento é 6%. Encontre a taxa de cupom c em porcentagem.
F = €1 000n = 14P = €1 186YTM = 6%
c = %
6.Preço e rendimento de títulosDifícil
Um título com valor de face de €1 000 e cupom anual de 7% vence em 6 anos e é vendido por €930. Calcule seu rendimento até o vencimento YTM em porcentagem.
F = €1 000cupom = 7%n = 6P = €930
YTM = %
7.CAPM e WACCMédia
Uma empresa tem capital próprio de €2 000 000 e dívida de €1 000 000. Seu custo do capital próprio é 8%, seu custo da dívida antes dos impostos é 3,5% e a alíquota de imposto é 28%. Calcule o WACC.
Uma empresa tem 2 500 000 ações a €28,00 cada e 40 000 títulos negociados a €1 000 cada. O custo da dívida antes dos impostos é 7% e a alíquota de imposto é 25,8%. O beta da ação é 1,1, a taxa livre de risco é 3,5% e o retorno do mercado é 8%. Calcule o WACC.
β = 1,1rf = 3,5%rm = 8%rd = 7%T = 25,8%
WACC = %
9.Estatística descritivaMédia
Calcule o desvio-padrão amostral s dos dados: 32, 54, 54, 40, 50, 24.
n = 6
s =
10.Estatística descritivaDifícil
As notas de um exame seguem uma distribuição normal com média 50 e desvio-padrão 10. Calcule a pontuação z z de uma nota de 38.
μ = 50σ = 10x = 38
z =
11.ProbabilidadesMédia
De quantas maneiras N se pode escolher uma comissão de 4 pessoas num grupo de 11? A ordem não interessa.
n = 11k = 4
N =
12.ProbabilidadesDifícil
Um jogo custa €3 para jogar. Você ganha €6 com probabilidade 0,2 e €150 com probabilidade 0,01; caso contrário, não ganha nada. A aposta não é devolvida. Encontre o ganho líquido esperado E(G) por jogo.
aposta = €3€6: p = 0,2€150: p = 0,01
E(G) = €
13.Distribuição normalMédia
Arraste z para que a área sombreada entre −z e z sob a curva normal padrão seja 0,8557. Encontre z com duas casas decimais.
A = 0,8557
z =
14.Distribuição normalDifícil
As alturas X dos homens e Y das mulheres de um grupo são independentes e normais: X tem média 180 cm e desvio padrão 10 cm, Y tem média 170 cm e desvio padrão 12 cm. Encontre a probabilidade P de X ser maior que Y. Arredonde z para duas casas decimais.
μX = 180 cm, σX = 10 cmμY = 170 cm, σY = 12 cm
P =
15.Intervalos de confiançaMédia
Uma amostra de 16 itens tem média 104,5 e desvio-padrão s = 7,5. A população é aproximadamente normal. Calcule a margem de erro E de um intervalo de confiança de 95% para a média.
n = 16x̄ = 104,5s = 7,595%t(15) = 2,131
E =
16.Intervalos de confiançaDifícil
O desvio-padrão da população é 25. Qual o tamanho de amostra n necessário para que um intervalo de confiança de 95% para a média tenha margem de erro de no máximo 5?
σ = 25E = 595%
n =
17.Testes de hipóteses e intervalos de confiançaMédia
Dois métodos de ensino são comparados. Grupo 1: 16 alunos, nota média 99,5, desvio-padrão 9. Grupo 2: 6 alunos, nota média 103,4, desvio-padrão 5. Suponha variâncias populacionais iguais e use o teste t de duas amostras com variância combinada. Encontre a estatística de teste t para H₀: μ₁ = μ₂, tomando a diferença como x̄₁ − x̄₂ (grupo 1 menos grupo 2).
n₁ = 16x̄₁ = 99,5s₁ = 9n₂ = 6x̄₂ = 103,4s₂ = 5
t =
18.Testes de hipóteses e intervalos de confiançaDifícil
Em um ensaio, 25 de 100 pacientes com o tratamento A se recuperam, e 32 de 150 pacientes com o tratamento B. Usando a proporção combinada, encontre a estatística de teste z para H₀: p₁ = p₂.
x₁ = 25n₁ = 100x₂ = 32n₂ = 150
z =
19.Regressão linear e correlaçãoMédia
A tabela dá 5 observações pareadas de x = idade do carro em anos e y = preço em k€. As suas somas são dadas. Encontre o coeficiente de correlação de Pearson r a partir dessas somas.
n = 5Σx = 15Σy = 111Σx² = 55Σy² = 2511Σxy = 313
r =
20.Regressão linear e correlaçãoDifícil
A tabela dá 6 observações pareadas de x = horas de estudo e y = nota na prova. Use a reta de mínimos quadrados ŷ = a + b·x. Preveja ŷ para x = 6,5.
n = 6x = 6,5
ŷ =
3Soluções
1.Valor temporal do dinheiro
Resposta: PV = 333333 €
Valor temporal do dinheiro: o dinheiro hoje vale mais do que a mesma quantia no futuro, porque pode render juros. Com uma taxa i por período, um montante cresce para FV = PV·(1 + i)n. Uma série de pagamentos iguais (uma renda) avalia-se somando cada pagamento, o que dá as fórmulas das rendas.
Valor temporal do dinheiro: o dinheiro hoje vale mais do que a mesma quantia no futuro, porque pode render juros. Com uma taxa i por período, um montante cresce para FV = PV·(1 + i)n. Uma série de pagamentos iguais (uma renda) avalia-se somando cada pagamento, o que dá as fórmulas das rendas.
Taxa mensal e número de prestações
i = 0,07200000000000001/12 = 0,006
N = 12·5 = 60
Prestação
O valor atual de N pagamentos iguais A é A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Iguale-o ao empréstimo e resolva em ordem a A.
(1 + i)−N = 0,6984
A = 20 000·0,006/(1 − 0,6984) = €397,91
Resposta
A = €397,91
3.VAL e TIR
Resposta: NPV = 55556 €
Valor atual líquido: desconte cada fluxo de caixa até hoje com a rendibilidade exigida r e some-os: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Um projeto com NPV > 0 rende mais do que r e cria valor. A taxa interna de rendibilidade (TIR) é a taxa para a qual NPV = 0.
Valor dos fluxos de caixa
PV = 23 000/(0,12 − 0,03) = 255 555,56
NPV
NPV = 255 555,56 − 200 000 = €55 555,56
Resposta
NPV = €55 555,56
O VAL é positivo, logo o projeto rende mais do que a rendibilidade exigida.
4.VAL e TIR
Resposta: IRR = 6,565 %
Valor atual líquido: desconte cada fluxo de caixa até hoje com a rendibilidade exigida r e some-os: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Um projeto com NPV > 0 rende mais do que r e cria valor. A taxa interna de rendibilidade (TIR) é a taxa para a qual NPV = 0.
Enquadrar a TIR
O VAL desce quando a taxa sobe, por isso a TIR está entre uma taxa com VAL positivo e outra com VAL negativo.
NPV(5%) = 1 224,49
NPV(10%) = −2 520,66
Aproximar
A interpolação linear dá uma primeira estimativa; repeti-la (ou usar a função TIR de uma calculadora) dá a taxa exata.
Precificação de títulos: o preço de um título é o valor presente dos seus fluxos de caixa, descontados ao rendimento até o vencimento (YTM): os cupons formam uma anuidade e o valor de face é devolvido no vencimento. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando o rendimento está acima da taxa de cupom, o título é negociado abaixo do valor de face, e vice-versa.
Valor presente do valor de face
1000·(1 + 0,06)−14 = €442,30
Cupom
C = (1186 − 442,30)/9,295 = €80,01
Taxa de cupom
c = 80,01/1000 = 8,001%
Resposta
c = 8,001%
6.Preço e rendimento de títulos
Resposta: YTM = 8,539 %
Precificação de títulos: o preço de um título é o valor presente dos seus fluxos de caixa, descontados ao rendimento até o vencimento (YTM): os cupons formam uma anuidade e o valor de face é devolvido no vencimento. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando o rendimento está acima da taxa de cupom, o título é negociado abaixo do valor de face, e vice-versa.
Equação do rendimento
€930 = €70·(1 − (1 + y)⁻⁶)/y + €1 000/(1 + y)⁶
Resolva numericamente
P(8%) = €953,77, P(9%) = €910,28
YTM = 8,539%
Resposta
YTM = 8,539%
7.CAPM e WACC
Resposta: WACC = 6,173 %
Custo de capital: o CAPM dá o retorno exigido pelos acionistas: re = rf + β·(rm − rf). O custo médio ponderado de capital combina capital próprio e dívida pelos seus valores de mercado: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), com V = E + D. Os juros são dedutíveis do imposto, daí o (1 − T).
Custo de capital: o CAPM dá o retorno exigido pelos acionistas: re = rf + β·(rm − rf). O custo médio ponderado de capital combina capital próprio e dívida pelos seus valores de mercado: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), com V = E + D. Os juros são dedutíveis do imposto, daí o (1 − T).
Estatística descritiva: a média é a soma a dividir por n; a mediana é o valor central dos dados ordenados (a média dos dois centrais se n for par). O desvio-padrão amostral é s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Uma pontuação z = (x − μ)/σ diz a quantos desvios-padrão da média está um valor.
Estatística descritiva: a média é a soma a dividir por n; a mediana é o valor central dos dados ordenados (a média dos dois centrais se n for par). O desvio-padrão amostral é s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Uma pontuação z = (x − μ)/σ diz a quantos desvios-padrão da média está um valor.
Padronizar
z = (38 − 50)/10 = −1,2
Resposta
z = −1,2
11.Probabilidades
Resposta: N = 330
Probabilidades: com resultados equiprováveis, P(A) = favoráveis/possíveis. Para acontecimentos independentes multiplica-se: P(A e B) = P(A)·P(B). O complementar ajuda muitas vezes: P(pelo menos um) = 1 − P(nenhum). Binomial: em n provas independentes com probabilidade de sucesso p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Combinações
C(11, 4) = (11·10·9·8)/(4·3·2·1) = 330
Resposta
N = 330
12.Probabilidades
Resposta: E(G) = −0,3 €
Variáveis aleatórias discretas: uma distribuição de probabilidade lista cada valor x que uma variável pode assumir com sua probabilidade p(x); as probabilidades ficam entre 0 e 1 e somam 1. O valor esperado (média) é E(X) = Σx·p(x), a média de longo prazo. A variância é Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², e o desvio padrão é σ = √Var(X). Para uma mudança linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) e σY = |a|·σX; somar uma constante não muda a dispersão.
Resultados líquidos
G: 3 (p = 0,2), 147 (p = 0,01), −3 (p = 0,79)
Valor esperado
E(G) = 3·0,2 + 147·0,01 − 3·0,79 = −0,3 €
Resposta
E(G) = −0,3 €
Um valor negativo significa que você perde dinheiro em média.
13.Distribuição normal
Resposta: z = 1,46
De uma área de volta a z: Φ(z) é a área à esquerda de z. Para uma área de cauda esquerda A, encontre na tabela o z com Φ(z) = A. Uma área de cauda direita A significa Φ(z) = 1 − A. Uma área central A entre −z e z deixa (1 − A)/2 em cada cauda, então Φ(z) = (1 + A)/2. Para um valor x, use x = μ + zσ.
Área à esquerda de z
Φ(z) = (1 + 0,8557)/2 = 0,9279
Leia a tabela de z ao contrário
Encontre 0,9279 dentro da tabela e leia z.
z = 1,46
Resposta
z = 1,46
14.Distribuição normal
Resposta: P = 0,7389
Somas e diferenças de variáveis normais: se X e Y são independentes e normais, X + Y e X − Y também são normais. As médias se somam ou se subtraem: E(X ± Y) = μX ± μY. As variâncias sempre se somam, também em uma diferença: Var(X ± Y) = σX² + σY², portanto σ = √(σX² + σY²). Os desvios padrão nunca se somam diretamente. O total de n itens independentes com a mesma distribuição tem média n·μ e desvio padrão σ·√n. Depois padronize como de costume: z = (x − média)/σ e leia Φ(z).
Distribuição da diferença
μ = 180 − 170 = 10 cm, σ = 15,62 cm
Padronizar
z = (0 − 10)/15,62 = −0,64
Probabilidades
P = 1 − Φ(−0,64) = 0,7389
Resposta
P = 0,7389
15.Intervalos de confiança
Resposta: E = 3,996
Intervalo de confiança para uma média: x̄ ± margem de erro. Com σ populacional conhecido, a margem é z·σ/√n; tendo apenas o desvio-padrão amostral s, use t com n − 1 graus de liberdade: t·s/√n. Valores críticos: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Para obter uma margem E ou menor, você precisa de n ≥ (z·σ/E)², arredondado para cima.
Valor crítico
df = n − 1 = 15, t = 2,131
Margem de erro
E = 2,131·7,5/√16 = 3,996
Resposta
E = 3,996
16.Intervalos de confiança
Resposta: n = 97
Intervalo de confiança para uma média: x̄ ± margem de erro. Com σ populacional conhecido, a margem é z·σ/√n; tendo apenas o desvio-padrão amostral s, use t com n − 1 graus de liberdade: t·s/√n. Valores críticos: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Para obter uma margem E ou menor, você precisa de n ≥ (z·σ/E)², arredondado para cima.
Resolver em ordem a n
n = (1,96·25/5)² = 96,04
Arredondar para cima
O tamanho da amostra é um número inteiro, e arredondar para baixo deixaria a margem grande demais.
n = 97
Resposta
n = 97
17.Testes de hipóteses e intervalos de confiança
Resposta: t = −0,9953
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Variância combinada
sp² = (15·9² + 5·5²)/20 = 67
sp = 8,185
Erro-padrão
SE = 8,185·√(1/16 + 1/6) = 3,918
Estatística de teste
t = (99,5 − 103,4)/3,918 = −0,9953
Resposta
t = −0,9953
Com gl = 20, o valor crítico bilateral a 5% é 2,086; |t| é menor, então H₀ não é rejeitada.
18.Testes de hipóteses e intervalos de confiança
Resposta: z = 0,677
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Proporções amostrais
p̂₁ = 25/100 = 0,25
p̂₂ = 32/150 = 0,2133
p̂ = 57/250 = 0,228
Erro-padrão sob H₀
SE = √(0,228·0,772·(1/100 + 1/150)) = 0,05416
Estatística de teste
z = (0,25 − 0,2133)/0,05416 = 0,677
Resposta
z = 0,677
|z| < 1,96, então H₀ não é rejeitada ao nível de 5% (bilateral).
19.Regressão linear e correlação
Resposta: r = −0,9245
Regressão por mínimos quadrados: com x̄ e ȳ as médias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), a reta ŷ = a + b·x tem inclinação b = Sxy/Sxx e intercepto a = ȳ − b·x̄, então ela sempre passa por (x̄, ȳ). O coeficiente de correlação de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) fica entre −1 e 1; r² é a fração da variação de y explicada pela reta.
Somas centradas
Sxy = 313 − 15·111/5 = −20
Sxx = 55 − 15²/5 = 10
Syy = 2511 − 111²/5 = 46,8
Coeficiente de correlação
r = −20/√(10·46,8) = −0,9245
Resposta
r = −0,9245
20.Regressão linear e correlação
Resposta: ŷ = 78,16
Regressão por mínimos quadrados: com x̄ e ȳ as médias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), a reta ŷ = a + b·x tem inclinação b = Sxy/Sxx e intercepto a = ȳ − b·x̄, então ela sempre passa por (x̄, ȳ). O coeficiente de correlação de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) fica entre −1 e 1; r² é a fração da variação de y explicada pela reta.