Prática de métodos quantitativos e renda fixa do CFA Level I: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 20 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Valor temporal do dinheiro

Valor futuro: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Valor atual: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Vários períodos por ano: i = r/m, N = m·n
Anuidade, valor atual: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Anuidade, valor futuro: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Método

Desenhe uma linha do tempo com cada fluxo de caixa e o momento em que ocorre.
Ajuste a taxa ao período: uma taxa mensal para pagamentos mensais.
Use FV = PV·(1 + i)ⁿ para valores únicos e as fórmulas de anuidade para pagamentos iguais.
Verifique o sinal e a ordem de grandeza da resposta.

VAL e TIR

Valor atual líquido: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Fluxos iguais: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Taxa interna de retorno: o r em que NPV = 0
Decisão: aceitar se NPV > 0 (ou IRR > retorno exigido)

Método

Liste todos os fluxos de caixa com o seu ano; o investimento no ano 0 é negativo.
Desconte cada fluxo de caixa: CF_t/(1 + r)^t.
Some-os para obter o VPL. Positivo significa que o projeto rende mais que r.
Para a TIR, encontre a taxa que zera o VPL por tentativa ou interpolação.

Preço e rendimento de títulos

Preço do título: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Semestral: C/2, y/2 e 2n períodos
Rendimento corrente: C/P
Preço e rendimento: rendimento sobe → preço cai

Método

Encontre o cupom por período e o rendimento por período.
Preço = valor presente dos cupons (uma anuidade) + valor presente do valor de face.
Para cupons semestrais use metade do cupom, metade do rendimento e o dobro de períodos.
Verificação: se o rendimento está acima da taxa de cupom, o preço fica abaixo do valor de face.

CAPM e WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Valor da empresa: V = E + D

Estatística descritiva

Média: x̄ = Σx/n
Desvio-padrão amostral: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: valor do meio dos dados ordenados
Pontuação z: z = (x − μ)/σ
Distribuição normal: 68% dentro de ±1σ, 95% dentro de ±2σ

Probabilidades

Complementar: P(not A) = 1 − P(A)
Regra da adição: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Eventos independentes: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Probabilidade condicional: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Distribuição normal

Pontuação z: z = (x − μ)/σ
Abaixo de x: P(X < x) = Φ(z)
Acima de x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Entre: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentil: x = μ + z·σ

Método

Converta o valor em um escore z: z = (x − μ)/σ.
Procure Φ(z), a área à esquerda de z.
Para a área à direita use 1 − Φ(z); para um intervalo subtraia as duas áreas à esquerda.
Para um percentil, faça o caminho inverso: encontre z para a área e depois x = μ + z·σ.

Intervalos de confiança

σ conhecido: x̄ ± z·σ/√n
σ desconhecido: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z crítico: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Tamanho da amostra: n = (z·σ/E)², rounded up

Método

Escolha entre z (σ populacional conhecido) e t (só o s amostral, com n − 1 graus de liberdade).
Encontre o valor crítico para o nível de confiança.
Margem de erro: E = valor crítico × desvio-padrão/√n.
Intervalo: x̄ ± E.

Testes de hipóteses e intervalos de confiança

Teste z para uma média: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Teste t para uma média: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Bilateral a 5%: rejeite H₀ se |z| > 1,96
Intervalo de confiança: x̄ ± z·σ/√n

Método

Enuncie H₀ e H₁ e decida se o teste é unilateral ou bilateral.
Calcule a estatística de teste: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), ou com s e t.
Compare com o valor crítico, ou encontre o valor-p.
Rejeite H₀ se a estatística estiver além do valor crítico (p abaixo de α) e enuncie a conclusão em palavras.

Regressão linear e correlação

Somas de quadrados: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Inclinação: b = S_xy/S_xx
Intercepto: a = ȳ − b·x̄
Correlação: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Resíduo: e = y − ŷ

2Exercícios

1.Valor temporal do dinheiroMédia

Precisa de €5 000 daqui a 8 anos. Uma conta rende 3,6 % ao ano, capitalizada mensalmente. Quanto tem de depositar hoje? Calcule o valor atual PV.

FV = €5 0003,6% / 12n = 8

PV = €

2.Valor temporal do dinheiroDifícil

Um financiamento imobiliário de €150 000 é pago em prestações mensais iguais ao longo de 25 anos a 3,6% ao ano, capitalizados mensalmente. Quanto ainda se deve logo após o pagamento do final do ano 15? Encontre o saldo devedor B.

P = €150 0003,6% / 12N = 300k = 180

B = €

3.VAL e TIRMédia

Um investimento de €60 000 gera estes fluxos no fim dos anos 1 a 4: €17 000, €17 000, €21 000, €19 000. O custo do capital é de 5 %. Calcule o valor atual líquido NPV.

r = 5%CF₀ = −60 000CF₁ = 17 000CF₂ = 17 000CF₃ = 21 000CF₄ = 19 000

NPV = €

4.VAL e TIRDifícil

Um projeto custa €20 000 e devolve €7 500, €10 500, €13 500 no fim dos anos 1 a 3. Calcule a sua taxa interna de rendibilidade IRR em percentagem.

CF₀ = −20 000CF₁ = 7 500CF₂ = 10 500CF₃ = 13 500

IRR = %

5.Preço e rendimento de títulosMédia

Um título com valor de face de €1 000 vence em 14 anos e paga cupons anuais. Ele é vendido a €1 317 quando o rendimento até o vencimento é 4%. Encontre a taxa de cupom c em porcentagem.

F = €1 000n = 14P = €1 317YTM = 4%

c = %

6.Preço e rendimento de títulosDifícil

Um título com 12 anos até o vencimento (valor de face €1 000, cupom anual 9%) é vendido a €1 116. O emissor pode resgatá-lo antecipadamente daqui a 3 anos a um preço de resgate de €1 090. Encontre o rendimento até o resgate antecipado YTC em porcentagem.

F = €1 000cupom = 9%P = €1 116preço de resgate = €1 090resgate em 3 anos

YTC = %

7.CAPM e WACCMédia

Uma empresa tem capital próprio de €5 000 000 e dívida de €2 000 000. Seu custo do capital próprio é 14%, seu custo da dívida antes dos impostos é 4% e a alíquota de imposto é 30%. Calcule o WACC.

E = €5 000 000D = €2 000 000r_e = 14%r_d = 4%T = 30%

WACC = %

8.CAPM e WACCDifícil

Uma empresa tem capital próprio com valor de mercado de €15 000 000 e custo do capital próprio de 10%. Sua dívida consiste em 5 000 títulos (valor de face €1 000, cupom anual 5%, 8 anos até o vencimento) negociados a €909 cada. A alíquota de imposto é 25,8%. Encontre o WACC, usando o rendimento até o vencimento dos títulos como custo da dívida antes dos impostos.

E = €15 000 000r_e = 10%títulos: 5 000 × €909cupom = 5%n = 8T = 25,8%

WACC = %

9.Estatística descritivaMédia

Calcule o desvio-padrão amostral s dos dados: 29, 28, 27, 28, 47.

n = 5

s =

10.Estatística descritivaDifícil

Uma grandeza segue uma distribuição normal com média 50 e desvio-padrão 15. Que proporção P dos valores está acima de 59?

μ = 50σ = 15x = 59

P =

11.ProbabilidadesMédia

Para a distribuição mostrada, encontre a variância Var(X) de X.

x: 0, 1, 2, 3p(x): 0,35, 0,2, 0,3, 0,15

Var(X) =

12.ProbabilidadesDifícil

Um jogo custa €10 para jogar. Você ganha €50 com probabilidade 0,15 e €500 com probabilidade 0,02; caso contrário, não ganha nada. A aposta não é devolvida. Encontre o ganho líquido esperado E(G) por jogo.

aposta = €10€50: p = 0,15€500: p = 0,02

E(G) = €

13.Distribuição normalMédia

As alturas de homens adultos seguem uma distribuição normal com média 178 cm e desvio-padrão 7 cm. Que fração está entre 166,8 e 188,5 cm? Dê P em forma decimal.

μ = 178σ = 7x₁ = 166,8x₂ = 188,5

P =

14.Distribuição normalDifícil

Os alturas de homens adultos têm distribuição normal com média 178 cm e desvio padrão 7 cm. Arraste o ponto de corte para que os 30% superiores sombreados fiquem à direita dele. Encontre o ponto de corte x.

μ = 178 cmσ = 7 cm30%

x = cm

15.Intervalos de confiançaMédia

Uma amostra de 16 itens tem média 12 e desvio-padrão s = 19. A população é aproximadamente normal. Calcule o limite inferior do intervalo de confiança de 95% para a média.

n = 16x̄ = 12s = 1995%t(15) = 2,131

limite inferior =

16.Intervalos de confiançaDifícil

O desvio-padrão da população é 25. Qual o tamanho de amostra n necessário para que um intervalo de confiança de 95% para a média tenha margem de erro de no máximo 2?

σ = 25E = 295%

n =

17.Testes de hipóteses e intervalos de confiançaMédia

Uma amostra de 36 estudantes tem nota média 499,3 e desvio-padrão amostral 5. Calcule a estatística de teste t para H₀: μ = 500.

μ₀ = 500x̄ = 499,3s = 5n = 36

t =

18.Testes de hipóteses e intervalos de confiançaDifícil

Uma amostra de 64 medições tem média 72,9. O desvio-padrão da população é 12. Calcule o limite superior U do intervalo de confiança a 95 % para a média.

x̄ = 72,9σ = 12n = 6495%

U =

19.Regressão linear e correlaçãoMédia

A tabela dá 5 observações pareadas de x = horas de estudo e y = nota na prova. Encontre o coeficiente de determinação r² da reta de mínimos quadrados.

n = 5

r² =

20.Regressão linear e correlaçãoDifícil

A tabela dá 6 observações pareadas de x = carga em kN e y = alongamento em mm. Use a reta de mínimos quadrados ŷ = a + b·x. Para que valor x a reta prevê ŷ = 17?

n = 6ŷ = 17

x =

3Soluções

1.Valor temporal do dinheiro

Resposta: PV = 3750 €

Valor temporal do dinheiro: o dinheiro hoje vale mais do que a mesma quantia no futuro, porque pode render juros. Com uma taxa i por período, um montante cresce para FV = PV·(1 + i)ⁿ. Uma série de pagamentos iguais (uma renda) avalia-se somando cada pagamento, o que dá as fórmulas das rendas.

Taxa e número de períodos

i = 0,036000000000000004/12 = 0,003

N = 12·8 = 96

Valor atual

PV = FV/(1 + i)^N = 5 000/1,333 = €3 750,42

Resposta

PV = €3 750,42

2.Valor temporal do dinheiro

Resposta: B = 76393 €

Prestação mensal

i = 0,003, N = 300

A = 150 000·0,003/(1 − (1 + 0,003)⁻³⁰⁰) = €759,00

Valor presente das prestações restantes

O que ainda se deve precisa ser quitado exatamente pelas prestações restantes.

N − k = 300 − 180 = 120

B = 759·(1 − (1 + 0,003)⁻¹²⁰)/0,003 = €76 393,15

Resposta

B = €76 393,15

3.VAL e TIR

Resposta: NPV = 5382 €

Valor atual líquido: desconte cada fluxo de caixa até hoje com a rendibilidade exigida r e some-os: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Um projeto com NPV > 0 rende mais do que r e cria valor. A taxa interna de rendibilidade (TIR) é a taxa para a qual NPV = 0.

Valor atual de cada fluxo

CF₀ = −60 000

CF₁/(1 + 0,05)¹ = 17 000/1,05 = 16 190,48

CF₂/(1 + 0,05)² = 17 000/1,103 = 15 419,50

CF₃/(1 + 0,05)³ = 21 000/1,158 = 18 140,59

CF₄/(1 + 0,05)⁴ = 19 000/1,216 = 15 631,35

Somar

NPV = €5 381,91

Resposta

NPV = €5 381,91

O VAL é positivo, logo o projeto rende mais do que a rendibilidade exigida.

4.VAL e TIR

Resposta: IRR = 23,87 %

Enquadrar a TIR

O VAL desce quando a taxa sobe, por isso a TIR está entre uma taxa com VAL positivo e outra com VAL negativo.

NPV(20%) = 1 354,17

NPV(25%) = −368,00

Aproximar

A interpolação linear dá uma primeira estimativa; repeti-la (ou usar a função TIR de uma calculadora) dá a taxa exata.

IRR ≈ 20 + 5·1 354,17/(1 354,17 − (−368,00)) = 23,93%

exato: NPV(23,87%) = 0 → IRR = 23,87%

Resposta

IRR = 23,87%

5.Preço e rendimento de títulos

Resposta: c = 7,001 %

Precificação de títulos: o preço de um título é o valor presente dos seus fluxos de caixa, descontados ao rendimento até o vencimento (YTM): os cupons formam uma anuidade e o valor de face é devolvido no vencimento. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando o rendimento está acima da taxa de cupom, o título é negociado abaixo do valor de face, e vice-versa.

Valor presente do valor de face

1000·(1 + 0,04)⁻¹⁴ = €577,48

Cupom

C = (1317 − 577,48)/10,56 = €70,01

Taxa de cupom

c = 70,01/1000 = 7,001%

Resposta

c = 7,001%

6.Preço e rendimento de títulos

Resposta: YTC = 7,342 %

Equação do rendimento

1116 = 90·(1 − (1 + y)⁻³)/y + 1090/(1 + y)³

Resolva numericamente

y = 7%: €1 125,95

y = 8%: €1 097,22

YTC = 7,342%

Resposta

YTC = 7,342%

O rendimento até o vencimento é 7,5%. Investidores em um título com ágio esperam que ele seja resgatado antecipadamente, então o rendimento até o resgate, menor, é o mais realista.

7.CAPM e WACC

Resposta: WACC = 10,8 %

Custo de capital: o CAPM dá o retorno exigido pelos acionistas: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). O custo médio ponderado de capital combina capital próprio e dívida pelos seus valores de mercado: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), com V = E + D. Os juros são dedutíveis do imposto, daí o (1 − T).

Pesos

V = €7 000 000, E/V = 0,7143, D/V = 0,2857

WACC

WACC = 0,7143·14% + 0,2857·4%·(1 − 0,3) = 10,8%

Resposta

WACC = 10,8%

8.CAPM e WACC

Resposta: WACC = 8,795 %

Custo da dívida (YTM)

909 = 50·(1 − (1 + y)⁻⁸)/y + 1000/(1 + y)⁸

y = 6,494%

Valores de mercado

D = 5 000·€909 = €4 545 000

V = €19 545 000, E/V = 0,7675, D/V = 0,2325

WACC

WACC = 0,7675·10% + 0,2325·6,494%·(1 − 0,258) = 8,795%

Resposta

WACC = 8,795%

9.Estatística descritiva

Resposta: s = 8,526

Estatística descritiva: a média é a soma a dividir por n; a mediana é o valor central dos dados ordenados (a média dos dois centrais se n for par). O desvio-padrão amostral é s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Uma pontuação z = (x − μ)/σ diz a quantos desvios-padrão da média está um valor.

Média

x̄ = 159/5 = 31,8

Desvios ao quadrado

Σ(x − x̄)² = (−2,8)² + (−3,8)² + (−4,8)² + (−3,8)² + 15,2² = 290,8

Desvio-padrão

s = √(290,8/4) = 8,526

Resposta

s = 8,526

10.Estatística descritiva

Resposta: P = 0,2743

Padronizar

z = 0,6

Tabela da normal padrão

Φ(0,6) = 0,7257

P = 1 − 0,7257 = 0,2743

Resposta

P = 0,2743

11.Probabilidades

Resposta: Var(X) = 1,188

Variáveis aleatórias discretas: uma distribuição de probabilidade lista cada valor x que uma variável pode assumir com sua probabilidade p(x); as probabilidades ficam entre 0 e 1 e somam 1. O valor esperado (média) é E(X) = Σx·p(x), a média de longo prazo. A variância é Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², e o desvio padrão é σ = √Var(X). Para uma mudança linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) e σ_Y = |a|·σ_X; somar uma constante não muda a dispersão.

Média

μ = 0·0,35 + 1·0,2 + 2·0,3 + 3·0,15 = 1,25

Média dos quadrados

E(X²) = 0·0,35 + 1·0,2 + 4·0,3 + 9·0,15 = 2,75

Variância

Var(X) = 2,75 − 1,25² = 1,188

Resposta

Var(X) = 1,188

12.Probabilidades

Resposta: E(G) = 7,5 €

Resultados líquidos

G: 40 (p = 0,15), 490 (p = 0,02), −10 (p = 0,83)

Valor esperado

E(G) = 40·0,15 + 490·0,02 − 10·0,83 = 7,5 €

Resposta

E(G) = 7,5 €

Um valor positivo significa que você ganha dinheiro em média.

13.Distribuição normal

Resposta: P = 0,8784

Distribuição normal: converta um valor x em uma pontuação z, z = (x − μ)/σ, que conta quantos desvios-padrão ele está da média. Uma tabela z (ou Φ(z)) dá a área à esquerda de z, que é P(X < x). A área à direita é 1 − Φ(z), e a área entre dois valores é a diferença entre as duas áreas.

Pontuações z

z₁ = (166,8 − 178)/7 = −1,6

z₂ = (188,5 − 178)/7 = 1,5

Área entre os valores

P = Φ(1,5) − Φ(−1,6) = 0,9332 − 0,0548 = 0,8784

Resposta

P = 0,8784

14.Distribuição normal

Resposta: x = 181,6 cm

De uma área de volta a z: Φ(z) é a área à esquerda de z. Para uma área de cauda esquerda A, encontre na tabela o z com Φ(z) = A. Uma área de cauda direita A significa Φ(z) = 1 − A. Uma área central A entre −z e z deixa (1 − A)/2 em cada cauda, então Φ(z) = (1 + A)/2. Para um valor x, use x = μ + zσ.

Área à esquerda

Φ(z) = 0,7

z da tabela

z ≈ 0,52

De volta às unidades originais

x = 178 + 0,52·7 = 181,6 cm

Resposta

x = 181,6 cm

15.Intervalos de confiança

Resposta: limite inferior = 1,878

Intervalo de confiança para uma média: x̄ ± margem de erro. Com σ populacional conhecido, a margem é z·σ/√n; tendo apenas o desvio-padrão amostral s, use t com n − 1 graus de liberdade: t·s/√n. Valores críticos: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Para obter uma margem E ou menor, você precisa de n ≥ (z·σ/E)², arredondado para cima.

Valor crítico

df = n − 1 = 15, t = 2,131

Margem de erro

E = 2,131·19/√16 = 10,12

Intervalo

12 ± 10,12 → [1,878, 22,12]

Resposta

limite inferior = 1,878

16.Intervalos de confiança

Resposta: n = 601

Resolver em ordem a n

n = (1,96·25/2)² = 600,3

Arredondar para cima

O tamanho da amostra é um número inteiro, e arredondar para baixo deixaria a margem grande demais.

n = 601

Resposta

n = 601

17.Testes de hipóteses e intervalos de confiança

Resposta: t = −0,84

Teste a uma média: a estatística de teste mede a quantos erros-padrão a média amostral está do valor afirmado em H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) quando σ é conhecido, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) quando é estimado pela amostra. Um intervalo de confiança é x̄ ± (valor crítico)·(erro-padrão).

Erro-padrão

SE = 5/√36 = 5/6 = 0,8333

Estatística de teste

t = (499,3 − 500)/0,8333 = −0,84

Resposta

t = −0,84

t_{0,025; df = 35} = 2,03

|t| < 2.03, então H₀ não é rejeitada ao nível de 5% (bilateral).

18.Testes de hipóteses e intervalos de confiança

Resposta: U = 75,84

Margem de erro

E = 1,96·12/√64 = 2,94

Limite do intervalo

U = 72,9 + 2,94 = 75,84

Resposta

U = 75,84

19.Regressão linear e correlação

Resposta: r² = 0,9617

Regressão por mínimos quadrados: com x̄ e ȳ as médias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), a reta ŷ = a + b·x tem inclinação b = Sxy/Sxx e intercepto a = ȳ − b·x̄, então ela sempre passa por (x̄, ȳ). O coeficiente de correlação de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) fica entre −1 e 1; r² é a fração da variação de y explicada pela reta.

Médias

x̄ = 35/5 = 7

ȳ = 401/5 = 80,2

Somas de quadrados e de produtos

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 216

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 1213

Coeficiente de determinação

r² = 216²/(40·1213) = 0,9617

Resposta

r² = 0,9617

Cerca de 96,17% da variação de y é explicada pela reta.

20.Regressão linear e correlação

Resposta: x = 9,13

Médias

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 81/6 = 13,5

Somas de quadrados e de produtos

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 115

Reta de regressão

b = 115/70 = 1,643

a = 13,5 − 1,643·7 = 2

ŷ = 2 + 1,643·x

Resolver para x

x = (17 − 2)/1,643 = 9,13

Resposta

x = 9,13

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