Investe €2 000 a uma taxa nominal de 4,8 % ao ano, capitalizada mensalmente. Calcule o valor FV do investimento ao fim de 6 anos.
PV = €2 0004,8% / 12n = 6
FV = €
2.Valor temporal do dinheiroDifícil
Um empréstimo de €15 000 é pago em prestações mensais iguais durante 5 anos. A taxa de juro é de 4,2 % ao ano, capitalizada mensalmente. Calcule a prestação mensal A.
P = €15 0004,2% / 12N = 60
A = €
3.VAL e TIRMédia
Um investimento de €60 000 gera estes fluxos no fim dos anos 1 a 3: €18 000, €29 000, €16 000. O custo do capital é de 8 %. Calcule o valor atual líquido NPV.
Um projeto custa €40 000 e devolve €19 000, €14 000, €29 000 no fim dos anos 1 a 3. Calcule a sua taxa interna de rendibilidade IRR em percentagem.
CF0 = −40 000CF1 = 19 000CF2 = 14 000CF3 = 29 000
IRR = %
5.Preço e rendimento de títulosMédia
Um título com valor de face de €1 000 paga um cupom anual de 7% e vence em 14 anos. Seu rendimento até o vencimento muda de 9% para 11%. Quanto ΔP varia o preço do título?
F = €1 000cupom = 7%n = 14y1 = 9%y2 = 11%
ΔP = €
6.Preço e rendimento de títulosDifícil
Um título é negociado a €1 090 com rendimento até o vencimento de 3% (capitalização anual) e duration de Macaulay de 4 anos. Use a duration modificada para estimar o novo preço P se o rendimento subir 50 pontos-base.
P0 = €1 090y = 3%D = 4Δy = +50 bp
P = €
7.CAPM e WACCMédia
Uma empresa é financiada com ações ordinárias no valor de €12 000 000, ações preferenciais no valor de €1 500 000 e dívida no valor de €4 000 000. O custo do capital próprio é 12%, o custo das ações preferenciais 8% e o custo da dívida antes dos impostos 4%. A alíquota de imposto é 21%. Encontre o WACC.
As ações de uma empresa têm beta de 1,3 na sua relação dívida/capital próprio atual de 0,2. Ela planeja elevar a relação dívida/capital próprio para 0,6. A alíquota de imposto é 30%, a taxa livre de risco 3% e o prêmio de risco de mercado 5%. Encontre o custo do capital próprio re após a mudança.
Calcule o desvio-padrão amostral s dos dados: 25, 29, 25, 60, 22, 45, 43.
n = 7
s =
10.Estatística descritivaDifícil
Uma grandeza segue uma distribuição normal com média 50 e desvio-padrão 20. Que proporção P dos valores está abaixo de 30?
μ = 50σ = 20x = 30
P =
11.ProbabilidadesMédia
De quantas maneiras N se pode escolher uma comissão de 5 pessoas num grupo de 9? A ordem não interessa.
n = 9k = 5
N =
12.ProbabilidadesDifícil
Um jogo custa €2 para jogar. Você ganha €6 com probabilidade 0,2 e €40 com probabilidade 0,01; caso contrário, não ganha nada. A aposta não é devolvida. Encontre o ganho líquido esperado E(G) por jogo.
aposta = €2€6: p = 0,2€40: p = 0,01
E(G) = €
13.Distribuição normalMédia
Arraste z para que a área sombreada entre −z e z sob a curva normal padrão seja 0,9774. Encontre z com duas casas decimais.
A = 0,9774
z =
14.Distribuição normalDifícil
Os diâmetros D dos furos são normais com média 25,05 mm e desvio padrão 0,015 mm. Os diâmetros d dos eixos são independentes e normais com média 25 mm e desvio padrão 0,02 mm. Um eixo escolhido ao acaso encaixa quando D − d > 0. Encontre a probabilidade P de ele encaixar. Arredonde z para duas casas decimais.
furo: μ = 25,05 mm, σ = 0,015 mmeixo: μ = 25 mm, σ = 0,02 mm
P =
15.Intervalos de confiançaMédia
A pressão arterial de 8 pacientes é medida antes e depois de um tratamento. As diferenças d = antes − depois (mmHg) têm média −8,7 e desvio-padrão 2,9. Encontre a margem de erro E do intervalo de confiança de 99% para a diferença média.
n = 8d̄ = −8,7sd = 2,999%t(7) = 3,499
E = mmHg
16.Intervalos de confiançaDifícil
Um estudo piloto sugere que cerca de 0,15 dos produtos são defeituosos. Quantos produtos n devem ser inspecionados para que um intervalo de confiança de 90% para a proporção tenha margem de erro de no máximo 0,03?
p ≈ 0,15E = 0,0390%
n =
17.Testes de hipóteses e intervalos de confiançaMédia
Afirma-se que a média de uma população é 250; o desvio-padrão da população é conhecido e vale 8. Uma amostra aleatória de 64 observações tem média 251,28. Teste H₀: μ = 250 contra H₁: μ ≠ 250. Encontre o valor p p.
μ₀ = 250σ = 8n = 64x̄ = 251,28H₁: μ ≠ μ₀
p =
18.Testes de hipóteses e intervalos de confiançaDifícil
Em um ensaio, 30 de 150 pacientes com o tratamento A se recuperam, e 9 de 100 pacientes com o tratamento B. Usando a proporção combinada, encontre a estatística de teste z para H₀: p₁ = p₂.
x₁ = 30n₁ = 150x₂ = 9n₂ = 100
z =
19.Regressão linear e correlaçãoMédia
A tabela dá 5 observações pareadas de x = temperatura em °C e y = sorvetes vendidos. Encontre o coeficiente de correlação de Pearson r.
n = 5
r =
20.Regressão linear e correlaçãoDifícil
A tabela dá 6 observações pareadas de x = temperatura em °C e y = sorvetes vendidos. Use a reta de mínimos quadrados ŷ = a + b·x. É feita uma nova observação (17,5, 46). Encontre o seu resíduo e = y − ŷ.
n = 6(17,5, 46)
e =
3Soluções
1.Valor temporal do dinheiro
Resposta: FV = 2666 €
Valor temporal do dinheiro: o dinheiro hoje vale mais do que a mesma quantia no futuro, porque pode render juros. Com uma taxa i por período, um montante cresce para FV = PV·(1 + i)n. Uma série de pagamentos iguais (uma renda) avalia-se somando cada pagamento, o que dá as fórmulas das rendas.
Valor temporal do dinheiro: o dinheiro hoje vale mais do que a mesma quantia no futuro, porque pode render juros. Com uma taxa i por período, um montante cresce para FV = PV·(1 + i)n. Uma série de pagamentos iguais (uma renda) avalia-se somando cada pagamento, o que dá as fórmulas das rendas.
Taxa mensal e número de prestações
i = 0,042/12 = 0,0035
N = 12·5 = 60
Prestação
O valor atual de N pagamentos iguais A é A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Iguale-o ao empréstimo e resolva em ordem a A.
(1 + i)−N = 0,8109
A = 15 000·0,0035/(1 − 0,8109) = €277,60
Resposta
A = €277,60
3.VAL e TIR
Resposta: NPV = −5769 €
Valor atual líquido: desconte cada fluxo de caixa até hoje com a rendibilidade exigida r e some-os: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Um projeto com NPV > 0 rende mais do que r e cria valor. A taxa interna de rendibilidade (TIR) é a taxa para a qual NPV = 0.
Valor atual de cada fluxo
CF0 = −60 000
CF1/(1 + 0,08)1 = 18 000/1,08 = 16 666,67
CF2/(1 + 0,08)2 = 29 000/1,166 = 24 862,83
CF3/(1 + 0,08)3 = 16 000/1,26 = 12 701,32
Somar
NPV = €−5 769,19
Resposta
NPV = €−5 769,19
O VAL é negativo, logo o projeto rende menos do que a rendibilidade exigida.
4.VAL e TIR
Resposta: IRR = 23,44 %
Valor atual líquido: desconte cada fluxo de caixa até hoje com a rendibilidade exigida r e some-os: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Um projeto com NPV > 0 rende mais do que r e cria valor. A taxa interna de rendibilidade (TIR) é a taxa para a qual NPV = 0.
Enquadrar a TIR
O VAL desce quando a taxa sobe, por isso a TIR está entre uma taxa com VAL positivo e outra com VAL negativo.
NPV(20%) = 2 337,96
NPV(25%) = −992,00
Aproximar
A interpolação linear dá uma primeira estimativa; repeti-la (ou usar a função TIR de uma calculadora) dá a taxa exata.
Precificação de títulos: o preço de um título é o valor presente dos seus fluxos de caixa, descontados ao rendimento até o vencimento (YTM): os cupons formam uma anuidade e o valor de face é devolvido no vencimento. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando o rendimento está acima da taxa de cupom, o título é negociado abaixo do valor de face, e vice-versa.
Duration: a duration de Macaulay é o prazo médio ponderado em que um título paga seus fluxos de caixa, usando como pesos os valores presentes dos fluxos de caixa: D = Σ t·PVₜ/P. A duration modificada D/(1 + y) estima a variação percentual do preço para uma pequena variação do rendimento: %ΔP ≈ −Dmod·Δy.
Duration modificada
Dmod = 4/1,03 = 3,883
Variação estimada do preço
%ΔP ≈ −3,883·(0,005) = −1,942%
P ≈ 1090·(1 − 0,01942) = €1 068,83
Resposta
P = €1 068,83
A duration é uma estimativa linear; para grandes variações de rendimento a convexidade torna o preço real um pouco mais alto.
7.CAPM e WACC
Resposta: WACC = 9,637 %
Custo de capital: o CAPM dá o retorno exigido pelos acionistas: re = rf + β·(rm − rf). O custo médio ponderado de capital combina capital próprio e dívida pelos seus valores de mercado: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), com V = E + D. Os juros são dedutíveis do imposto, daí o (1 − T).
Beta alavancado (Hamada): a dívida torna o capital próprio mais arriscado. βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E), onde βU é o beta do negócio sem dívida. Para levar um beta a outra estrutura de capital, primeiro desalavanque-o e depois realavanque-o com o novo D/E.
Desalavanque o beta
βU = 1,3/(1 + 0,7·0,2) = 1,14
Realavanque com o novo D/E
βL = 1,14·(1 + 0,7·0,6) = 1,619
Custo do capital próprio (CAPM)
re = 3% + 1,619·5% = 11,1%
Resposta
re = 11,1%
9.Estatística descritiva
Resposta: s = 14,09
Estatística descritiva: a média é a soma a dividir por n; a mediana é o valor central dos dados ordenados (a média dos dois centrais se n for par). O desvio-padrão amostral é s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Uma pontuação z = (x − μ)/σ diz a quantos desvios-padrão da média está um valor.
Estatística descritiva: a média é a soma a dividir por n; a mediana é o valor central dos dados ordenados (a média dos dois centrais se n for par). O desvio-padrão amostral é s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Uma pontuação z = (x − μ)/σ diz a quantos desvios-padrão da média está um valor.
Padronizar
z = −1
Tabela da normal padrão
Φ(−1) = 0,1587
P = 0,1587
Resposta
P = 0,1587
11.Probabilidades
Resposta: N = 126
Probabilidades: com resultados equiprováveis, P(A) = favoráveis/possíveis. Para acontecimentos independentes multiplica-se: P(A e B) = P(A)·P(B). O complementar ajuda muitas vezes: P(pelo menos um) = 1 − P(nenhum). Binomial: em n provas independentes com probabilidade de sucesso p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Combinações
C(9, 5) = (9·8·7·6·5)/(5·4·3·2·1) = 126
Resposta
N = 126
12.Probabilidades
Resposta: E(G) = −0,4 €
Variáveis aleatórias discretas: uma distribuição de probabilidade lista cada valor x que uma variável pode assumir com sua probabilidade p(x); as probabilidades ficam entre 0 e 1 e somam 1. O valor esperado (média) é E(X) = Σx·p(x), a média de longo prazo. A variância é Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², e o desvio padrão é σ = √Var(X). Para uma mudança linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) e σY = |a|·σX; somar uma constante não muda a dispersão.
Resultados líquidos
G: 4 (p = 0,2), 38 (p = 0,01), −2 (p = 0,79)
Valor esperado
E(G) = 4·0,2 + 38·0,01 − 2·0,79 = −0,4 €
Resposta
E(G) = −0,4 €
Um valor negativo significa que você perde dinheiro em média.
13.Distribuição normal
Resposta: z = 2,28
De uma área de volta a z: Φ(z) é a área à esquerda de z. Para uma área de cauda esquerda A, encontre na tabela o z com Φ(z) = A. Uma área de cauda direita A significa Φ(z) = 1 − A. Uma área central A entre −z e z deixa (1 − A)/2 em cada cauda, então Φ(z) = (1 + A)/2. Para um valor x, use x = μ + zσ.
Área à esquerda de z
Φ(z) = (1 + 0,9774)/2 = 0,9887
Leia a tabela de z ao contrário
Encontre 0,9887 dentro da tabela e leia z.
z = 2,28
Resposta
z = 2,28
14.Distribuição normal
Resposta: P = 0,9772
Somas e diferenças de variáveis normais: se X e Y são independentes e normais, X + Y e X − Y também são normais. As médias se somam ou se subtraem: E(X ± Y) = μX ± μY. As variâncias sempre se somam, também em uma diferença: Var(X ± Y) = σX² + σY², portanto σ = √(σX² + σY²). Os desvios padrão nunca se somam diretamente. O total de n itens independentes com a mesma distribuição tem média n·μ e desvio padrão σ·√n. Depois padronize como de costume: z = (x − média)/σ e leia Φ(z).
Distribuição da diferença
μ = 25,05 − 25 = 0,05 mm, σ = 0,025 mm
Padronizar
z = (0 − 0,05)/0,025 = −2
Probabilidades
P = 1 − Φ(−2) = 0,9772
Resposta
P = 0,9772
15.Intervalos de confiança
Resposta: E = 3,588 mmHg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Valor crítico
df = 7, t = 3,499
Margem de erro
E = 3,499·2,9/√8 = 3,588
Resposta
E = 3,588 mmHg
16.Intervalos de confiança
Resposta: n = 384
Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.
Resolver em ordem a n
n = 1,645²·0,15·0,85/0,03² = 383,4
Arredondar para cima
n = 384
Resposta
n = 384
17.Testes de hipóteses e intervalos de confiança
Resposta: p = 0,2005
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Estatística de teste
SE = σ/√n = 8/√64 = 1
z = (251,28 − 250)/1 = 1,28
Área da cauda
Φ(1,28) = 0,8997
1 − Φ(1,28) = 0,1003
Valor p
p = 2·0,1003 = 0,2005
Resposta
p = 0,2005
p > 0,05, então H₀ não é rejeitada ao nível de 5%.
18.Testes de hipóteses e intervalos de confiança
Resposta: z = 2,348
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Proporções amostrais
p̂₁ = 30/150 = 0,2
p̂₂ = 9/100 = 0,09
p̂ = 39/250 = 0,156
Erro-padrão sob H₀
SE = √(0,156·0,844·(1/150 + 1/100)) = 0,04684
Estatística de teste
z = (0,2 − 0,09)/0,04684 = 2,348
Resposta
z = 2,348
|z| > 1,96, então H₀ é rejeitada ao nível de 5% (bilateral).
19.Regressão linear e correlação
Resposta: r = 0,9792
Regressão por mínimos quadrados: com x̄ e ȳ as médias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), a reta ŷ = a + b·x tem inclinação b = Sxy/Sxx e intercepto a = ȳ − b·x̄, então ela sempre passa por (x̄, ȳ). O coeficiente de correlação de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) fica entre −1 e 1; r² é a fração da variação de y explicada pela reta.
Médias
x̄ = 90/5 = 18
ȳ = 488/5 = 97,6
Somas de quadrados e de produtos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 272
Syy = Σ(y − ȳ)² = 1929
Coeficiente de correlação
r = 272/√(40·1929) = 0,9792
Resposta
r = 0,9792
20.Regressão linear e correlação
Resposta: e = −3,486
Regressão por mínimos quadrados: com x̄ e ȳ as médias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), a reta ŷ = a + b·x tem inclinação b = Sxy/Sxx e intercepto a = ȳ − b·x̄, então ela sempre passa por (x̄, ȳ). O coeficiente de correlação de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) fica entre −1 e 1; r² é a fração da variação de y explicada pela reta.
Médias
x̄ = 141/6 = 23,5
ȳ = 432/6 = 72
Somas de quadrados e de produtos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 157,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 591
Reta de regressão
b = 591/157,5 = 3,752
a = 72 − 3,752·23,5 = −16,18
ŷ = −16,18 + 3,752·x
Valor previsto
ŷ = −16,18 + 3,752·17,5 = 49,49
Resíduo
e = 46 − 49,49 = −3,486
Resposta
e = −3,486
O ponto está abaixo da reta.
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