Um cartão de crédito cobra uma taxa de juros nominal de 15% ao ano, capitalizada mensalmente. Encontre a taxa efetiva anual EAR em porcentagem.
r = 15%m = 12
EAR = %
2.Valor temporal do dinheiroDifícil
Você deposita €1 000 no início de cada ano durante 18 anos, sendo o primeiro depósito hoje. A conta rende 7% ao ano. Quanto há na conta no final do ano 18? Encontre FV.
A = €1 000i = 7%n = 18
FV = €
3.VAL e TIRMédia
Um projeto custa €200 000 hoje. Ele gera €11 000 no final do primeiro ano, e o fluxo de caixa depois cresce 3% ao ano para sempre. O custo de capital é 10%. Encontre o valor presente líquido NPV.
C0 = €200 000CF1 = €11 000g = 3%r = 10%
NPV = €
4.VAL e TIRDifícil
Um projeto custa €40 000 e devolve €26 000, €21 000, €18 000 no fim dos anos 1 a 3. Calcule a sua taxa interna de rendibilidade IRR em percentagem.
CF0 = −40 000CF1 = 26 000CF2 = 21 000CF3 = 18 000
IRR = %
5.Preço e rendimento de títulosMédia
Um título com valor de face de €1 000 paga um cupom anual de 3% e vence em 11 anos. Seu rendimento até o vencimento muda de 5,5% para 6,5%. Quanto ΔP varia o preço do título?
F = €1 000cupom = 3%n = 11y1 = 5,5%y2 = 6,5%
ΔP = €
6.Preço e rendimento de títulosDifícil
Um título com valor de face de €1 000 e cupom anual de 3% vence em 4 anos e é vendido por €1 040. Calcule seu rendimento até o vencimento YTM em porcentagem.
F = €1 000cupom = 3%n = 4P = €1 040
YTM = %
7.CAPM e WACCMédia
Uma empresa tem capital próprio de €3 000 000 e dívida de €2 000 000. Seu custo do capital próprio é 9%, seu custo da dívida antes dos impostos é 5% e a alíquota de imposto é 20%. Calcule o WACC.
E = €3 000 000D = €2 000 000re = 9%rd = 5%T = 20%
WACC = %
8.CAPM e WACCDifícil
Uma empresa tem 4 000 000 ações a €15,50 cada e 20 000 títulos negociados a €1 020 cada. O custo da dívida antes dos impostos é 4,5% e a alíquota de imposto é 30%. O beta da ação é 0,8, a taxa livre de risco é 2% e o retorno do mercado é 8,5%. Calcule o WACC.
β = 0,8rf = 2%rm = 8,5%rd = 4,5%T = 30%
WACC = %
9.Estatística descritivaMédia
Calcule o desvio-padrão amostral s dos dados: 11, 39, 25, 10, 23.
n = 5
s =
10.Estatística descritivaDifícil
Uma grandeza segue uma distribuição normal com média 60 e desvio-padrão 5. Que proporção P dos valores está acima de 70?
μ = 60σ = 5x = 70
P =
11.ProbabilidadesMédia
Um saco tem 4 bolas vermelhas e 3 azuis. Tira duas bolas sem repor a primeira. Qual é a probabilidade P de ambas serem vermelhas?
4 / 3
P =
12.ProbabilidadesDifícil
Um teste tem 5 perguntas de escolha múltipla. Uma estudante que responde ao acaso acerta cada uma com probabilidade 0,25, de forma independente. Qual é a probabilidade P de acertar exatamente 2?
n = 5p = 0,25k = 2
P =
13.Distribuição normalMédia
As massas de sacos seguem uma distribuição normal com média 250 g e desvio-padrão 5 g. Que fração está entre 248,5 e 251,25 g? Dê P em forma decimal.
μ = 250σ = 5x1 = 248,5x2 = 251,25
P =
14.Distribuição normalDifícil
Os notas de prova têm distribuição normal com média 65 pontos e desvio padrão 10 pontos. Arraste o ponto de corte para que os 20% superiores sombreados fiquem à direita dele. Encontre o ponto de corte x.
μ = 65 pontosσ = 10 pontos20%
x = pontos
15.Intervalos de confiançaMédia
Uma amostra de 6 itens tem média 13 e desvio-padrão s = 1. A população é aproximadamente normal. Calcule o limite inferior do intervalo de confiança de 90% para a média.
n = 6x̄ = 13s = 190%t(5) = 2,015
limite inferior =
16.Intervalos de confiançaDifícil
O desvio-padrão da população é 8. Qual o tamanho de amostra n necessário para que um intervalo de confiança de 95% para a média tenha margem de erro de no máximo 1?
σ = 8E = 195%
n =
17.Testes de hipóteses e intervalos de confiançaMédia
Duas linhas de produção fabricam a mesma peça. Linha 1: uma amostra de 40 peças tem comprimento médio de 147,5 mm, e o desvio-padrão conhecido da linha é 19 mm. Linha 2: uma amostra de 80 peças tem média de 137,1 mm, desvio-padrão conhecido de 11 mm. Encontre a estatística de teste z para H₀: μ₁ = μ₂, tomando a diferença como x̄₁ − x̄₂ (linha 1 menos linha 2).
18.Testes de hipóteses e intervalos de confiançaDifícil
Um teste z unilateral com α = 0,01 deve detectar um deslocamento da média de 4 unidades com poder de 80%. O desvio-padrão é 16. Encontre o tamanho mínimo da amostra n.
A tabela dá 6 observações pareadas de x = carga em kN e y = alongamento em mm. As suas somas são dadas. Encontre o coeficiente de correlação de Pearson r a partir dessas somas.
n = 6Σx = 42Σy = 166Σx² = 364Σy² = 5694Σxy = 1438
r =
20.Regressão linear e correlaçãoDifícil
A tabela dá 5 observações pareadas de x = carga em kN e y = alongamento em mm. Use a reta de mínimos quadrados ŷ = a + b·x. Para que valor x a reta prevê ŷ = 14?
n = 5ŷ = 14
x =
3Soluções
1.Valor temporal do dinheiro
Resposta: EAR = 16,08 %
Valor temporal do dinheiro: o dinheiro hoje vale mais do que a mesma quantia no futuro, porque pode render juros. Com uma taxa i por período, um montante cresce para FV = PV·(1 + i)n. Uma série de pagamentos iguais (uma renda) avalia-se somando cada pagamento, o que dá as fórmulas das rendas.
Taxa por período
r/m = 0,15/12 = 0,0125
Capitalize ao longo de um ano
EAR = (1 + 0,0125)12 − 1 = 1,161 − 1 = 16,08%
Resposta
EAR = 16,08%
A taxa efetiva anual é sempre maior que a taxa nominal quando os juros são capitalizados mais de uma vez por ano.
2.Valor temporal do dinheiro
Resposta: FV = 36379 €
Valor temporal do dinheiro: o dinheiro hoje vale mais do que a mesma quantia no futuro, porque pode render juros. Com uma taxa i por período, um montante cresce para FV = PV·(1 + i)n. Uma série de pagamentos iguais (uma renda) avalia-se somando cada pagamento, o que dá as fórmulas das rendas.
Fator de anuidade postecipada
((1 + 0,07)18 − 1)/0,07 = 34
Anuidade antecipada
Cada depósito fica investido um ano a mais.
FV = 1 000·34·1,07 = €36 378,96
Resposta
FV = €36 378,96
3.VAL e TIR
Resposta: NPV = −42857 €
Valor atual líquido: desconte cada fluxo de caixa até hoje com a rendibilidade exigida r e some-os: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Um projeto com NPV > 0 rende mais do que r e cria valor. A taxa interna de rendibilidade (TIR) é a taxa para a qual NPV = 0.
Valor dos fluxos de caixa
PV = 11 000/(0,1 − 0,03) = 157 142,86
NPV
NPV = 157 142,86 − 200 000 = −€42 857,14
Resposta
NPV = −€42 857,14
O VAL é negativo, logo o projeto rende menos do que a rendibilidade exigida.
4.VAL e TIR
Resposta: IRR = 31,18 %
Valor atual líquido: desconte cada fluxo de caixa até hoje com a rendibilidade exigida r e some-os: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Um projeto com NPV > 0 rende mais do que r e cria valor. A taxa interna de rendibilidade (TIR) é a taxa para a qual NPV = 0.
Enquadrar a TIR
O VAL desce quando a taxa sobe, por isso a TIR está entre uma taxa com VAL positivo e outra com VAL negativo.
NPV(30%) = 619,03
NPV(35%) = −1 902,15
Aproximar
A interpolação linear dá uma primeira estimativa; repeti-la (ou usar a função TIR de uma calculadora) dá a taxa exata.
Precificação de títulos: o preço de um título é o valor presente dos seus fluxos de caixa, descontados ao rendimento até o vencimento (YTM): os cupons formam uma anuidade e o valor de face é devolvido no vencimento. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando o rendimento está acima da taxa de cupom, o título é negociado abaixo do valor de face, e vice-versa.
Precificação de títulos: o preço de um título é o valor presente dos seus fluxos de caixa, descontados ao rendimento até o vencimento (YTM): os cupons formam uma anuidade e o valor de face é devolvido no vencimento. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando o rendimento está acima da taxa de cupom, o título é negociado abaixo do valor de face, e vice-versa.
Equação do rendimento
€1 040 = €30·(1 − (1 + y)⁻⁴)/y + €1 000/(1 + y)⁴
Resolva numericamente
P(1%) = €1 078,04, P(2%) = €1 038,08
YTM = 1,951%
Resposta
YTM = 1,951%
7.CAPM e WACC
Resposta: WACC = 7 %
Custo de capital: o CAPM dá o retorno exigido pelos acionistas: re = rf + β·(rm − rf). O custo médio ponderado de capital combina capital próprio e dívida pelos seus valores de mercado: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), com V = E + D. Os juros são dedutíveis do imposto, daí o (1 − T).
Pesos
V = €5 000 000, E/V = 0,6, D/V = 0,4
WACC
WACC = 0,6·9% + 0,4·5%·(1 − 0,2) = 7%
Resposta
WACC = 7%
8.CAPM e WACC
Resposta: WACC = 6,197 %
Custo de capital: o CAPM dá o retorno exigido pelos acionistas: re = rf + β·(rm − rf). O custo médio ponderado de capital combina capital próprio e dívida pelos seus valores de mercado: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), com V = E + D. Os juros são dedutíveis do imposto, daí o (1 − T).
Estatística descritiva: a média é a soma a dividir por n; a mediana é o valor central dos dados ordenados (a média dos dois centrais se n for par). O desvio-padrão amostral é s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Uma pontuação z = (x − μ)/σ diz a quantos desvios-padrão da média está um valor.
Estatística descritiva: a média é a soma a dividir por n; a mediana é o valor central dos dados ordenados (a média dos dois centrais se n for par). O desvio-padrão amostral é s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Uma pontuação z = (x − μ)/σ diz a quantos desvios-padrão da média está um valor.
Padronizar
z = 2
Tabela da normal padrão
Φ(2) = 0,9772
P = 1 − 0,9772 = 0,02275
Resposta
P = 0,02275
11.Probabilidades
Resposta: P = 0,2857
Probabilidades: com resultados equiprováveis, P(A) = favoráveis/possíveis. Para acontecimentos independentes multiplica-se: P(A e B) = P(A)·P(B). O complementar ajuda muitas vezes: P(pelo menos um) = 1 − P(nenhum). Binomial: em n provas independentes com probabilidade de sucesso p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Primeira e segunda tiragem
P = 4/7 · 3/6 = 12/42 = 0,2857
Resposta
P = 0,2857
12.Probabilidades
Resposta: P = 0,2637
Probabilidades: com resultados equiprováveis, P(A) = favoráveis/possíveis. Para acontecimentos independentes multiplica-se: P(A e B) = P(A)·P(B). O complementar ajuda muitas vezes: P(pelo menos um) = 1 − P(nenhum). Binomial: em n provas independentes com probabilidade de sucesso p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Distribuição normal: converta um valor x em uma pontuação z, z = (x − μ)/σ, que conta quantos desvios-padrão ele está da média. Uma tabela z (ou Φ(z)) dá a área à esquerda de z, que é P(X < x). A área à direita é 1 − Φ(z), e a área entre dois valores é a diferença entre as duas áreas.
Pontuações z
z₁ = (248,5 − 250)/5 = −0,3
z₂ = (251,25 − 250)/5 = 0,25
Área entre os valores
P = Φ(0,25) − Φ(−0,3) = 0,5987 − 0,3821 = 0,2166
Resposta
P = 0,2166
14.Distribuição normal
Resposta: x = 73,4 pontos
De uma área de volta a z: Φ(z) é a área à esquerda de z. Para uma área de cauda esquerda A, encontre na tabela o z com Φ(z) = A. Uma área de cauda direita A significa Φ(z) = 1 − A. Uma área central A entre −z e z deixa (1 − A)/2 em cada cauda, então Φ(z) = (1 + A)/2. Para um valor x, use x = μ + zσ.
Área à esquerda
Φ(z) = 0,8
z da tabela
z ≈ 0,84
De volta às unidades originais
x = 65 + 0,84·10 = 73,4 pontos
Resposta
x = 73,4 pontos
15.Intervalos de confiança
Resposta: limite inferior = 12,18
Intervalo de confiança para uma média: x̄ ± margem de erro. Com σ populacional conhecido, a margem é z·σ/√n; tendo apenas o desvio-padrão amostral s, use t com n − 1 graus de liberdade: t·s/√n. Valores críticos: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Para obter uma margem E ou menor, você precisa de n ≥ (z·σ/E)², arredondado para cima.
Valor crítico
df = n − 1 = 5, t = 2,015
Margem de erro
E = 2,015·1/√6 = 0,8226
Intervalo
13 ± 0,8226 → [12,18, 13,82]
Resposta
limite inferior = 12,18
16.Intervalos de confiança
Resposta: n = 246
Intervalo de confiança para uma média: x̄ ± margem de erro. Com σ populacional conhecido, a margem é z·σ/√n; tendo apenas o desvio-padrão amostral s, use t com n − 1 graus de liberdade: t·s/√n. Valores críticos: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Para obter uma margem E ou menor, você precisa de n ≥ (z·σ/E)², arredondado para cima.
Resolver em ordem a n
n = (1,96·8/1)² = 245,9
Arredondar para cima
O tamanho da amostra é um número inteiro, e arredondar para baixo deixaria a margem grande demais.
n = 246
Resposta
n = 246
17.Testes de hipóteses e intervalos de confiança
Resposta: z = 3,204
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Erro-padrão da diferença
SE = √(19²/40 + 11²/80) = √10,54 = 3,246
Estatística de teste
z = (147,5 − 137,1)/3,246 = 3,204
Resposta
z = 3,204
|z| > 1,96, então H₀ é rejeitada ao nível de 5% (bilateral).
18.Testes de hipóteses e intervalos de confiança
Resposta: n = 161
Tamanho de amostra para um teste: para detectar um deslocamento real δ com poder 1 − β em um teste z unilateral ao nível α, o erro-padrão deve satisfazer δ = (z_α + z_β)·σ/√n, então n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², arredondado para cima.
Resolver em ordem a n
n = ((2,326 + 0,842)·16/4)² = 160,6
Arredondar para cima
n = 161
Resposta
n = 161
19.Regressão linear e correlação
Resposta: r = 0,994
Regressão por mínimos quadrados: com x̄ e ȳ as médias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), a reta ŷ = a + b·x tem inclinação b = Sxy/Sxx e intercepto a = ȳ − b·x̄, então ela sempre passa por (x̄, ȳ). O coeficiente de correlação de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) fica entre −1 e 1; r² é a fração da variação de y explicada pela reta.
Somas centradas
Sxy = 1438 − 42·166/6 = 276
Sxx = 364 − 42²/6 = 70
Syy = 5694 − 166²/6 = 1101
Coeficiente de correlação
r = 276/√(70·1101) = 0,994
Resposta
r = 0,994
20.Regressão linear e correlação
Resposta: x = 5,2
Regressão por mínimos quadrados: com x̄ e ȳ as médias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), a reta ŷ = a + b·x tem inclinação b = Sxy/Sxx e intercepto a = ȳ − b·x̄, então ela sempre passa por (x̄, ȳ). O coeficiente de correlação de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) fica entre −1 e 1; r² é a fração da variação de y explicada pela reta.
Médias
x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 78/5 = 15,6
Somas de quadrados e de produtos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 80
Reta de regressão
b = 80/40 = 2
a = 15,6 − 2·6 = 3,6
ŷ = 3,6 + 2·x
Resolver para x
x = (14 − 3,6)/2 = 5,2
Resposta
x = 5,2
Este é um material de prática independente. O ExamProblems não é afiliado nem endossado pela organização que aplica este exame, e o nome do exame é usado apenas para descrever o conteúdo. CFA® and Chartered Financial Analyst® são marcas de CFA Institute, que não é afiliado ao ExamProblems, não o endossa nem garante a sua exatidão.