Espera-se que um imóvel renda um aluguel líquido de €20 000 no próximo ano. Espera-se que o aluguel cresça 3% ao ano para sempre. O retorno exigido é 8% ao ano. Encontre o valor PV do imóvel hoje.
C1 = €20 000g = 3%r = 8%
PV = €
2.Valor temporal do dinheiroDifícil
Um empréstimo de €10 000 é pago em prestações mensais iguais ao longo de 6 anos a 7,2% ao ano, capitalizados mensalmente. Quanto de juros I é pago no total durante a vida do empréstimo?
P = €10 0007,2% / 12N = 72
I = €
3.VAL e TIRMédia
Um projeto custa €500 000 hoje. Ele gera €50 000 no final do primeiro ano, e o fluxo de caixa depois cresce 3% ao ano para sempre. O custo de capital é 12%. Encontre o valor presente líquido NPV.
C0 = €500 000CF1 = €50 000g = 3%r = 12%
NPV = €
4.VAL e TIRDifícil
Um projeto custa €10 000 e devolve €5 500, €5 500, €6 000 no fim dos anos 1 a 3. Calcule a sua taxa interna de rendibilidade IRR em percentagem.
CF0 = −10 000CF1 = 5 500CF2 = 5 500CF3 = 6 000
IRR = %
5.Preço e rendimento de títulosMédia
Um título com valor de face de €1 000 paga um cupom anual de 4% em dois pagamentos semestrais e vence em 4 anos. O rendimento até o vencimento é de 8% ao ano. Calcule o preço P do título.
F = €1 000cupom = 4%YTM = 8%n = 4
P = €
6.Preço e rendimento de títulosDifícil
Um título com valor de face de €1 000 e cupom anual de 8% vence em 9 anos e é vendido por €1 100. Calcule seu rendimento até o vencimento YTM em porcentagem.
F = €1 000cupom = 8%n = 9P = €1 100
YTM = %
7.CAPM e WACCMédia
Uma empresa tem capital próprio de €3 000 000 e dívida de €4 000 000. Seu custo do capital próprio é 12%, seu custo da dívida antes dos impostos é 3% e a alíquota de imposto é 25,8%. Calcule o WACC.
Uma empresa tem 1 000 000 ações negociadas a €46,00; o valor contábil do seu patrimônio líquido é €13 800 000. Ela acaba de pagar um dividendo de €2,90 por ação, e os dividendos crescem 2% ao ano. Sua dívida tem valor de mercado de €13 800 000 e custo antes dos impostos de 6%. A alíquota de imposto é 28%. Encontre o WACC, usando o modelo de crescimento de dividendos para o custo do capital próprio.
Calcule o desvio-padrão amostral s dos dados: 38, 49, 20, 44, 22, 50.
n = 6
s =
10.Estatística descritivaDifícil
As notas de um exame seguem uma distribuição normal com média 170 e desvio-padrão 15. Calcule a pontuação z z de uma nota de 155.
μ = 170σ = 15x = 155
z =
11.ProbabilidadesMédia
De quantas maneiras N se pode escolher uma comissão de 3 pessoas num grupo de 14? A ordem não interessa.
n = 14k = 3
N =
12.ProbabilidadesDifícil
Um teste tem 7 perguntas de escolha múltipla. Uma estudante que responde ao acaso acerta cada uma com probabilidade 0,2, de forma independente. Qual é a probabilidade P de acertar exatamente 1?
n = 7p = 0,2k = 1
P =
13.Distribuição normalMédia
X é normal com média 60 s e desvio padrão 5 s; Y é independente e normal com média 45 s e desvio padrão 4 s. Encontre a probabilidade P de X + Y ser maior que 99,9 s. Arredonde z para duas casas decimais.
μX = 60, σX = 5μY = 45, σY = 4X + Y > 99,9 s
P =
14.Distribuição normalDifícil
As durações de baterias seguem uma distribuição normal com média 500 h e desvio-padrão 40 h. Calcule o valor x abaixo do qual estão 80% delas (o percentil 80).
μ = 500σ = 40P = 80%
x = h
15.Intervalos de confiançaMédia
Um intervalo de confiança de 95% para uma média, baseado em 50 observações e σ conhecido, tem margem de erro de 9,6. Qual é a margem de erro E₂ de um intervalo de 90% com os mesmos dados?
95%n₁ = 50E₁ = 9,690%
E₂ =
16.Intervalos de confiançaDifícil
Os diâmetros de 16 eixos usinados têm desvio-padrão amostral de 10,5 µm. Supondo que os diâmetros tenham distribuição normal, encontre o limite superior σ do intervalo de confiança de 95% para o desvio-padrão populacional. Com gl = 15, 2,5% da distribuição χ² fica abaixo de 6,262 e 2,5% fica acima de 27,488.
n = 16s = 10,5 µmχ² = 6,262, 27,488
σ = µm
17.Testes de hipóteses e intervalos de confiançaMédia
Uma amostra de 36 estudantes tem nota média 118,5 e desvio-padrão amostral 10. Calcule a estatística de teste t para H₀: μ = 120.
μ₀ = 120x̄ = 118,5s = 10n = 36
t =
18.Testes de hipóteses e intervalos de confiançaDifícil
Uma amostra de 16 medições tem média 44. O desvio-padrão da população é 12. Calcule o limite inferior L do intervalo de confiança a 90 % para a média.
x̄ = 44σ = 12n = 1690%
L =
19.Regressão linear e correlaçãoMédia
A tabela dá 5 observações pareadas de x = temperatura em °C e y = sorvetes vendidos. As suas somas são dadas. Encontre o coeficiente de correlação de Pearson r a partir dessas somas.
A tabela dá 5 observações pareadas de x = temperatura em °C e y = sorvetes vendidos. Use a reta de mínimos quadrados ŷ = a + b·x. Para que valor x a reta prevê ŷ = 86?
n = 5ŷ = 86
x =
3Soluções
1.Valor temporal do dinheiro
Resposta: PV = 400000 €
Valor temporal do dinheiro: o dinheiro hoje vale mais do que a mesma quantia no futuro, porque pode render juros. Com uma taxa i por período, um montante cresce para FV = PV·(1 + i)n. Uma série de pagamentos iguais (uma renda) avalia-se somando cada pagamento, o que dá as fórmulas das rendas.
Valor temporal do dinheiro: o dinheiro hoje vale mais do que a mesma quantia no futuro, porque pode render juros. Com uma taxa i por período, um montante cresce para FV = PV·(1 + i)n. Uma série de pagamentos iguais (uma renda) avalia-se somando cada pagamento, o que dá as fórmulas das rendas.
Prestação mensal
i = 0,006, N = 72
A = 10 000·0,006/(1 − (1 + 0,006)−72) = €171,45
Juros totais
I = N·A − P = 72·171,5 − 10 000 = €2 344,55
Resposta
I = €2 344,55
3.VAL e TIR
Resposta: NPV = 55556 €
Valor atual líquido: desconte cada fluxo de caixa até hoje com a rendibilidade exigida r e some-os: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Um projeto com NPV > 0 rende mais do que r e cria valor. A taxa interna de rendibilidade (TIR) é a taxa para a qual NPV = 0.
Valor dos fluxos de caixa
PV = 50 000/(0,12 − 0,03) = 555 555,56
NPV
NPV = 555 555,56 − 500 000 = €55 555,56
Resposta
NPV = €55 555,56
O VAL é positivo, logo o projeto rende mais do que a rendibilidade exigida.
4.VAL e TIR
Resposta: IRR = 31,51 %
Valor atual líquido: desconte cada fluxo de caixa até hoje com a rendibilidade exigida r e some-os: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Um projeto com NPV > 0 rende mais do que r e cria valor. A taxa interna de rendibilidade (TIR) é a taxa para a qual NPV = 0.
Enquadrar a TIR
O VAL desce quando a taxa sobe, por isso a TIR está entre uma taxa com VAL positivo e outra com VAL negativo.
NPV(30%) = 216,20
NPV(35%) = −469,44
Aproximar
A interpolação linear dá uma primeira estimativa; repeti-la (ou usar a função TIR de uma calculadora) dá a taxa exata.
IRR ≈ 30 + 5·216,20/(216,20 − (−469,44)) = 31,58%
exato: NPV(31,51%) = 0 → IRR = 31,51%
Resposta
IRR = 31,51%
5.Preço e rendimento de títulos
Resposta: P = 865,3 €
Precificação de títulos: o preço de um título é o valor presente dos seus fluxos de caixa, descontados ao rendimento até o vencimento (YTM): os cupons formam uma anuidade e o valor de face é devolvido no vencimento. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando o rendimento está acima da taxa de cupom, o título é negociado abaixo do valor de face, e vice-versa.
Por período
C = €20,00, i = 0,04, N = 8
Valor presente dos cupons
€20,00·(1 − 0,7307)/0,04 = €134,65
Valor presente do valor de face
€1 000·0,7307 = €730,69
Preço
P = €865,35
Resposta
P = €865,35
O rendimento está acima da taxa de cupom, então o título é vendido com deságio.
6.Preço e rendimento de títulos
Resposta: YTM = 6,498 %
Precificação de títulos: o preço de um título é o valor presente dos seus fluxos de caixa, descontados ao rendimento até o vencimento (YTM): os cupons formam uma anuidade e o valor de face é devolvido no vencimento. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando o rendimento está acima da taxa de cupom, o título é negociado abaixo do valor de face, e vice-versa.
Equação do rendimento
€1 100 = €80·(1 − (1 + y)⁻⁹)/y + €1 000/(1 + y)⁹
Resolva numericamente
P(6%) = €1 136,03, P(7%) = €1 065,15
YTM = 6,498%
Resposta
YTM = 6,498%
7.CAPM e WACC
Resposta: WACC = 6,415 %
Custo de capital: o CAPM dá o retorno exigido pelos acionistas: re = rf + β·(rm − rf). O custo médio ponderado de capital combina capital próprio e dívida pelos seus valores de mercado: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), com V = E + D. Os juros são dedutíveis do imposto, daí o (1 − T).
Custo de capital: o CAPM dá o retorno exigido pelos acionistas: re = rf + β·(rm − rf). O custo médio ponderado de capital combina capital próprio e dívida pelos seus valores de mercado: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), com V = E + D. Os juros são dedutíveis do imposto, daí o (1 − T).
Estatística descritiva: a média é a soma a dividir por n; a mediana é o valor central dos dados ordenados (a média dos dois centrais se n for par). O desvio-padrão amostral é s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Uma pontuação z = (x − μ)/σ diz a quantos desvios-padrão da média está um valor.
Estatística descritiva: a média é a soma a dividir por n; a mediana é o valor central dos dados ordenados (a média dos dois centrais se n for par). O desvio-padrão amostral é s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Uma pontuação z = (x − μ)/σ diz a quantos desvios-padrão da média está um valor.
Padronizar
z = (155 − 170)/15 = −1
Resposta
z = −1
11.Probabilidades
Resposta: N = 364
Probabilidades: com resultados equiprováveis, P(A) = favoráveis/possíveis. Para acontecimentos independentes multiplica-se: P(A e B) = P(A)·P(B). O complementar ajuda muitas vezes: P(pelo menos um) = 1 − P(nenhum). Binomial: em n provas independentes com probabilidade de sucesso p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Combinações
C(14, 3) = (14·13·12)/(3·2·1) = 364
Resposta
N = 364
12.Probabilidades
Resposta: P = 0,367
Probabilidades: com resultados equiprováveis, P(A) = favoráveis/possíveis. Para acontecimentos independentes multiplica-se: P(A e B) = P(A)·P(B). O complementar ajuda muitas vezes: P(pelo menos um) = 1 − P(nenhum). Binomial: em n provas independentes com probabilidade de sucesso p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Fórmula binomial
P(X = 1) = 7·0,21·0,86 = 7·0,2·0,2621 = 0,367
Resposta
P = 0,367
13.Distribuição normal
Resposta: P = 0,7881
Somas e diferenças de variáveis normais: se X e Y são independentes e normais, X + Y e X − Y também são normais. As médias se somam ou se subtraem: E(X ± Y) = μX ± μY. As variâncias sempre se somam, também em uma diferença: Var(X ± Y) = σX² + σY², portanto σ = √(σX² + σY²). Os desvios padrão nunca se somam diretamente. O total de n itens independentes com a mesma distribuição tem média n·μ e desvio padrão σ·√n. Depois padronize como de costume: z = (x − média)/σ e leia Φ(z).
Distribuição da soma
μ = 105 s, σ = √(5² + 4²) = 6,403 s
Padronizar
z = (99,9 − 105)/6,403 = −0,8
Cauda superior
P = 1 − Φ(−0,8) = 1 − 0,2119 = 0,7881
Resposta
P = 0,7881
14.Distribuição normal
Resposta: x = 533,7 h
Distribuição normal: converta um valor x em uma pontuação z, z = (x − μ)/σ, que conta quantos desvios-padrão ele está da média. Uma tabela z (ou Φ(z)) dá a área à esquerda de z, que é P(X < x). A área à direita é 1 − Φ(z), e a área entre dois valores é a diferença entre as duas áreas.
z do percentil
Φ(z) = 0,8 → z = 0,8416
De volta a x
x = 500 + 0,8416·40 = 533,66 h
Resposta
x = 533,66 h
15.Intervalos de confiança
Resposta: E₂ = 8,057
Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.
Razão das margens
E₂/E₁ = (1,645/1,96)·√(50/50) = 0,8393
Nova margem
E₂ = 9,6·0,8393 = 8,057
Resposta
E₂ = 8,057
16.Intervalos de confiança
Resposta: σ = 16,25 µm
Intervalo para uma variância: (n − 1)s²/σ² tem distribuição χ² com n − 1 graus de liberdade. O intervalo de 95% para σ² vai de (n − 1)s² dividido pelo valor superior de χ² (2,5% acima dele) até (n − 1)s² dividido pelo valor inferior de χ² (2,5% abaixo dele); o intervalo para σ é a raiz quadrada dos dois limites. Ele não é simétrico em torno de s.
Soma de quadrados
(n − 1)s² = 15·10,5² = 1654
Limites para σ²
1654/27,488 = 60,16
1654/6,262 = 264,1
Limite para σ
σ = √264,1 = 16,25 µm
Resposta
σ = 16,25 µm
Intervalo de 95% para σ: [7,756, 16,25] µm.
17.Testes de hipóteses e intervalos de confiança
Resposta: t = −0,9
Teste a uma média: a estatística de teste mede a quantos erros-padrão a média amostral está do valor afirmado em H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) quando σ é conhecido, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) quando é estimado pela amostra. Um intervalo de confiança é x̄ ± (valor crítico)·(erro-padrão).
Erro-padrão
SE = 10/√36 = 10/6 = 1,667
Estatística de teste
t = (118,5 − 120)/1,667 = −0,9
Resposta
t = −0,9
t0,025; df = 35 = 2,03
|t| < 2.03, então H₀ não é rejeitada ao nível de 5% (bilateral).
18.Testes de hipóteses e intervalos de confiança
Resposta: L = 39,06
Teste a uma média: a estatística de teste mede a quantos erros-padrão a média amostral está do valor afirmado em H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) quando σ é conhecido, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) quando é estimado pela amostra. Um intervalo de confiança é x̄ ± (valor crítico)·(erro-padrão).
Margem de erro
E = 1,645·12/√16 = 4,935
Limite do intervalo
L = 44 − 4,935 = 39,06
Resposta
L = 39,06
19.Regressão linear e correlação
Resposta: r = 0,9412
Regressão por mínimos quadrados: com x̄ e ȳ as médias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), a reta ŷ = a + b·x tem inclinação b = Sxy/Sxx e intercepto a = ȳ − b·x̄, então ela sempre passa por (x̄, ȳ). O coeficiente de correlação de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) fica entre −1 e 1; r² é a fração da variação de y explicada pela reta.
Somas centradas
Sxy = 7276 − 110·325/5 = 126
Sxx = 2460 − 110²/5 = 40
Syy = 21573 − 325²/5 = 448
Coeficiente de correlação
r = 126/√(40·448) = 0,9412
Resposta
r = 0,9412
20.Regressão linear e correlação
Resposta: x = 21,41
Regressão por mínimos quadrados: com x̄ e ȳ as médias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), a reta ŷ = a + b·x tem inclinação b = Sxy/Sxx e intercepto a = ȳ − b·x̄, então ela sempre passa por (x̄, ȳ). O coeficiente de correlação de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) fica entre −1 e 1; r² é a fração da variação de y explicada pela reta.
Médias
x̄ = 100/5 = 20
ȳ = 397/5 = 79,4
Somas de quadrados e de produtos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 90
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 420
Reta de regressão
b = 420/90 = 4,667
a = 79,4 − 4,667·20 = −13,93
ŷ = −13,93 + 4,667·x
Resolver para x
x = (86 − (−13,93))/4,667 = 21,41
Resposta
x = 21,41
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