Um cartão de crédito cobra uma taxa de juros nominal de 22% ao ano, capitalizada semestralmente. Encontre a taxa efetiva anual EAR em porcentagem.
r = 22%m = 2
EAR = %
2.Valor temporal do dinheiroDifícil
Poupa €250 no fim de cada mês durante 9 anos. A conta rende 7,2 % ao ano, capitalizada mensalmente. Quanto poupou no fim? Calcule FV.
A = €2507,2% / 12N = 108
FV = €
3.VAL e TIRMédia
Um investimento de €30 000 gera estes fluxos no fim dos anos 1 a 4: €13 000, €11 000, €11 000, €10 000. O custo do capital é de 10 %. Calcule o valor atual líquido NPV.
Um projeto custa €40 000 e devolve €25 500, €25 000, €17 000 no fim dos anos 1 a 3. Calcule a sua taxa interna de rendibilidade IRR em percentagem.
CF0 = −40 000CF1 = 25 500CF2 = 25 000CF3 = 17 000
IRR = %
5.Preço e rendimento de títulosMédia
Um título com valor de face de €1 000 paga um cupom anual de 7% em dois pagamentos semestrais e vence em 11 anos. O rendimento até o vencimento é de 4% ao ano. Calcule o preço P do título.
F = €1 000cupom = 7%YTM = 4%n = 11
P = €
6.Preço e rendimento de títulosDifícil
Um título com 17 anos até o vencimento (valor de face €1 000, cupom anual 6%) é vendido a €1 113. O emissor pode resgatá-lo antecipadamente daqui a 4 anos a um preço de resgate de €1 060. Encontre o rendimento até o resgate antecipado YTC em porcentagem.
F = €1 000cupom = 6%P = €1 113preço de resgate = €1 060resgate em 4 anos
YTC = %
7.CAPM e WACCMédia
Uma empresa tem capital próprio de €5 000 000 e dívida de €4 000 000. Seu custo do capital próprio é 14%, seu custo da dívida antes dos impostos é 4,5% e a alíquota de imposto é 21%. Calcule o WACC.
Uma empresa tem 2 000 000 ações a €50,50 cada e 40 000 títulos negociados a €980 cada. O custo da dívida antes dos impostos é 4% e a alíquota de imposto é 25%. O beta da ação é 0,8, a taxa livre de risco é 4% e o retorno do mercado é 9,5%. Calcule o WACC.
β = 0,8rf = 4%rm = 9,5%rd = 4%T = 25%
WACC = %
9.Estatística descritivaMédia
Calcule o desvio-padrão amostral s dos dados: 34, 55, 35, 54, 15.
n = 5
s =
10.Estatística descritivaDifícil
As notas de um exame seguem uma distribuição normal com média 70 e desvio-padrão 15. Calcule a pontuação z z de uma nota de 62,5.
μ = 70σ = 15x = 62,5
z =
11.ProbabilidadesMédia
De quantas maneiras N se pode escolher uma comissão de 2 pessoas num grupo de 8? A ordem não interessa.
n = 8k = 2
N =
12.ProbabilidadesDifícil
Um teste tem 10 perguntas de escolha múltipla. Uma estudante que responde ao acaso acerta cada uma com probabilidade 0,6, de forma independente. Qual é a probabilidade P de acertar exatamente 3?
n = 10p = 0,6k = 3
P =
13.Distribuição normalMédia
Arraste z para que a área sombreada entre −z e z sob a curva normal padrão seja 0,2812. Encontre z com duas casas decimais.
A = 0,2812
z =
14.Distribuição normalDifícil
As alturas X dos homens e Y das mulheres de um grupo são independentes e normais: X tem média 180 cm e desvio padrão 10 cm, Y tem média 170 cm e desvio padrão 12 cm. Encontre a probabilidade P de X ser maior que Y. Arredonde z para duas casas decimais.
μX = 180 cm, σX = 10 cmμY = 170 cm, σY = 12 cm
P =
15.Intervalos de confiançaMédia
A duração da bateria de dois modelos de celular é comparada. Modelo 1: 80 celulares, média 43 h, desvio-padrão conhecido 12 h. Modelo 2: 80 celulares, média 41,5 h, desvio-padrão conhecido 7 h. Encontre a margem de erro E do intervalo de confiança de 95% para μ₁ − μ₂.
O desvio-padrão da população é 22. Qual o tamanho de amostra n necessário para que um intervalo de confiança de 90% para a média tenha margem de erro de no máximo 2?
σ = 22E = 290%
n =
17.Testes de hipóteses e intervalos de confiançaMédia
Duas linhas de produção fabricam a mesma peça. Linha 1: uma amostra de 40 peças tem comprimento médio de 107 mm, e o desvio-padrão conhecido da linha é 9 mm. Linha 2: uma amostra de 80 peças tem média de 112,7 mm, desvio-padrão conhecido de 12 mm. Encontre a estatística de teste z para H₀: μ₁ = μ₂, tomando a diferença como x̄₁ − x̄₂ (linha 1 menos linha 2).
18.Testes de hipóteses e intervalos de confiançaDifícil
Uma amostra de 64 medições tem média 121,6. O desvio-padrão da população é 5. Calcule o limite superior U do intervalo de confiança a 95 % para a média.
x̄ = 121,6σ = 5n = 6495%
U =
19.Regressão linear e correlaçãoMédia
A tabela dá 5 observações pareadas de x = gasto com publicidade em k€ e y = vendas em k€. Encontre o coeficiente de correlação de Pearson r.
n = 5
r =
20.Regressão linear e correlaçãoDifícil
A tabela dá 5 observações pareadas de x = idade do carro em anos e y = preço em k€. Use a reta de mínimos quadrados ŷ = a + b·x. Preveja ŷ para x = 4,5.
n = 5x = 4,5
ŷ =
3Soluções
1.Valor temporal do dinheiro
Resposta: EAR = 23,21 %
Valor temporal do dinheiro: o dinheiro hoje vale mais do que a mesma quantia no futuro, porque pode render juros. Com uma taxa i por período, um montante cresce para FV = PV·(1 + i)n. Uma série de pagamentos iguais (uma renda) avalia-se somando cada pagamento, o que dá as fórmulas das rendas.
Taxa por período
r/m = 0,22/2 = 0,11
Capitalize ao longo de um ano
EAR = (1 + 0,11)2 − 1 = 1,232 − 1 = 23,21%
Resposta
EAR = 23,21%
A taxa efetiva anual é sempre maior que a taxa nominal quando os juros são capitalizados mais de uma vez por ano.
2.Valor temporal do dinheiro
Resposta: FV = 37834 €
Valor temporal do dinheiro: o dinheiro hoje vale mais do que a mesma quantia no futuro, porque pode render juros. Com uma taxa i por período, um montante cresce para FV = PV·(1 + i)n. Uma série de pagamentos iguais (uma renda) avalia-se somando cada pagamento, o que dá as fórmulas das rendas.
Valor atual líquido: desconte cada fluxo de caixa até hoje com a rendibilidade exigida r e some-os: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Um projeto com NPV > 0 rende mais do que r e cria valor. A taxa interna de rendibilidade (TIR) é a taxa para a qual NPV = 0.
Valor atual de cada fluxo
CF0 = −30 000
CF1/(1 + 0,1)1 = 13 000/1,1 = 11 818,18
CF2/(1 + 0,1)2 = 11 000/1,21 = 9 090,91
CF3/(1 + 0,1)3 = 11 000/1,331 = 8 264,46
CF4/(1 + 0,1)4 = 10 000/1,464 = 6 830,13
Somar
NPV = €6 003,69
Resposta
NPV = €6 003,69
O VAL é positivo, logo o projeto rende mais do que a rendibilidade exigida.
4.VAL e TIR
Resposta: IRR = 34,04 %
Valor atual líquido: desconte cada fluxo de caixa até hoje com a rendibilidade exigida r e some-os: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Um projeto com NPV > 0 rende mais do que r e cria valor. A taxa interna de rendibilidade (TIR) é a taxa para a qual NPV = 0.
Enquadrar a TIR
O VAL desce quando a taxa sobe, por isso a TIR está entre uma taxa com VAL positivo e outra com VAL negativo.
NPV(30%) = 2 146,11
NPV(35%) = −484,17
Aproximar
A interpolação linear dá uma primeira estimativa; repeti-la (ou usar a função TIR de uma calculadora) dá a taxa exata.
Precificação de títulos: o preço de um título é o valor presente dos seus fluxos de caixa, descontados ao rendimento até o vencimento (YTM): os cupons formam uma anuidade e o valor de face é devolvido no vencimento. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando o rendimento está acima da taxa de cupom, o título é negociado abaixo do valor de face, e vice-versa.
Por período
C = €35,00, i = 0,02, N = 22
Valor presente dos cupons
€35,00·(1 − 0,6468)/0,02 = €618,03
Valor presente do valor de face
€1 000·0,6468 = €646,84
Preço
P = €1 264,87
Resposta
P = €1 264,87
O rendimento está abaixo da taxa de cupom, então o título é vendido com ágio.
6.Preço e rendimento de títulos
Resposta: YTC = 4,274 %
Precificação de títulos: o preço de um título é o valor presente dos seus fluxos de caixa, descontados ao rendimento até o vencimento (YTM): os cupons formam uma anuidade e o valor de face é devolvido no vencimento. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando o rendimento está acima da taxa de cupom, o título é negociado abaixo do valor de face, e vice-versa.
Equação do rendimento
1113 = 60·(1 − (1 + y)−4)/y + 1060/(1 + y)4
Resolva numericamente
y = 4%: €1 123,89
y = 5%: €1 084,82
YTC = 4,274%
Resposta
YTC = 4,274%
O rendimento até o vencimento é 4,998%. Investidores em um título com ágio esperam que ele seja resgatado antecipadamente, então o rendimento até o resgate, menor, é o mais realista.
7.CAPM e WACC
Resposta: WACC = 9,358 %
Custo de capital: o CAPM dá o retorno exigido pelos acionistas: re = rf + β·(rm − rf). O custo médio ponderado de capital combina capital próprio e dívida pelos seus valores de mercado: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), com V = E + D. Os juros são dedutíveis do imposto, daí o (1 − T).
Custo de capital: o CAPM dá o retorno exigido pelos acionistas: re = rf + β·(rm − rf). O custo médio ponderado de capital combina capital próprio e dívida pelos seus valores de mercado: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), com V = E + D. Os juros são dedutíveis do imposto, daí o (1 − T).
Valores de mercado
E = 2 000 000·€50,50 = €101 000 000
D = 40 000·€980 = €39 200 000
Custo do capital próprio (CAPM)
re = 4% + 0,8·5,5% = 8,4%
Pesos
V = €140 200 000, E/V = 0,7204, D/V = 0,2796
WACC
WACC = 0,7204·8,4% + 0,2796·4%·(1 − 0,25) = 6,89%
Resposta
WACC = 6,89%
9.Estatística descritiva
Resposta: s = 16,56
Estatística descritiva: a média é a soma a dividir por n; a mediana é o valor central dos dados ordenados (a média dos dois centrais se n for par). O desvio-padrão amostral é s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Uma pontuação z = (x − μ)/σ diz a quantos desvios-padrão da média está um valor.
Estatística descritiva: a média é a soma a dividir por n; a mediana é o valor central dos dados ordenados (a média dos dois centrais se n for par). O desvio-padrão amostral é s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Uma pontuação z = (x − μ)/σ diz a quantos desvios-padrão da média está um valor.
Padronizar
z = (62,5 − 70)/15 = −0,5
Resposta
z = −0,5
11.Probabilidades
Resposta: N = 28
Probabilidades: com resultados equiprováveis, P(A) = favoráveis/possíveis. Para acontecimentos independentes multiplica-se: P(A e B) = P(A)·P(B). O complementar ajuda muitas vezes: P(pelo menos um) = 1 − P(nenhum). Binomial: em n provas independentes com probabilidade de sucesso p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Combinações
C(8, 2) = (8·7)/(2·1) = 28
Resposta
N = 28
12.Probabilidades
Resposta: P = 0,04247
Probabilidades: com resultados equiprováveis, P(A) = favoráveis/possíveis. Para acontecimentos independentes multiplica-se: P(A e B) = P(A)·P(B). O complementar ajuda muitas vezes: P(pelo menos um) = 1 − P(nenhum). Binomial: em n provas independentes com probabilidade de sucesso p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
De uma área de volta a z: Φ(z) é a área à esquerda de z. Para uma área de cauda esquerda A, encontre na tabela o z com Φ(z) = A. Uma área de cauda direita A significa Φ(z) = 1 − A. Uma área central A entre −z e z deixa (1 − A)/2 em cada cauda, então Φ(z) = (1 + A)/2. Para um valor x, use x = μ + zσ.
Área à esquerda de z
Φ(z) = (1 + 0,2812)/2 = 0,6406
Leia a tabela de z ao contrário
Encontre 0,6406 dentro da tabela e leia z.
z = 0,36
Resposta
z = 0,36
14.Distribuição normal
Resposta: P = 0,7389
Somas e diferenças de variáveis normais: se X e Y são independentes e normais, X + Y e X − Y também são normais. As médias se somam ou se subtraem: E(X ± Y) = μX ± μY. As variâncias sempre se somam, também em uma diferença: Var(X ± Y) = σX² + σY², portanto σ = √(σX² + σY²). Os desvios padrão nunca se somam diretamente. O total de n itens independentes com a mesma distribuição tem média n·μ e desvio padrão σ·√n. Depois padronize como de costume: z = (x − média)/σ e leia Φ(z).
Distribuição da diferença
μ = 180 − 170 = 10 cm, σ = 15,62 cm
Padronizar
z = (0 − 10)/15,62 = −0,64
Probabilidades
P = 1 − Φ(−0,64) = 0,7389
Resposta
P = 0,7389
15.Intervalos de confiança
Resposta: E = 3,044 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Estimativa pontual
x̄₁ − x̄₂ = 43 − 41,5 = 1,5
Erro-padrão
SE = √(12²/80 + 7²/80) = 1,553
Margem de erro
E = 1,96·1,553 = 3,044
Resposta
E = 3,044 h
O intervalo contém 0, então os dados não mostram uma diferença significativa.
16.Intervalos de confiança
Resposta: n = 328
Intervalo de confiança para uma média: x̄ ± margem de erro. Com σ populacional conhecido, a margem é z·σ/√n; tendo apenas o desvio-padrão amostral s, use t com n − 1 graus de liberdade: t·s/√n. Valores críticos: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Para obter uma margem E ou menor, você precisa de n ≥ (z·σ/E)², arredondado para cima.
Resolver em ordem a n
n = (1,645·22/2)² = 327,4
Arredondar para cima
O tamanho da amostra é um número inteiro, e arredondar para baixo deixaria a margem grande demais.
n = 328
Resposta
n = 328
17.Testes de hipóteses e intervalos de confiança
Resposta: z = −2,914
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Erro-padrão da diferença
SE = √(9²/40 + 12²/80) = √3,825 = 1,956
Estatística de teste
z = (107 − 112,7)/1,956 = −2,914
Resposta
z = −2,914
|z| > 1,96, então H₀ é rejeitada ao nível de 5% (bilateral).
18.Testes de hipóteses e intervalos de confiança
Resposta: U = 122,8
Teste a uma média: a estatística de teste mede a quantos erros-padrão a média amostral está do valor afirmado em H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) quando σ é conhecido, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) quando é estimado pela amostra. Um intervalo de confiança é x̄ ± (valor crítico)·(erro-padrão).
Margem de erro
E = 1,96·5/√64 = 1,225
Limite do intervalo
U = 121,6 + 1,225 = 122,8
Resposta
U = 122,8
19.Regressão linear e correlação
Resposta: r = 0,8186
Regressão por mínimos quadrados: com x̄ e ȳ as médias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), a reta ŷ = a + b·x tem inclinação b = Sxy/Sxx e intercepto a = ȳ − b·x̄, então ela sempre passa por (x̄, ȳ). O coeficiente de correlação de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) fica entre −1 e 1; r² é a fração da variação de y explicada pela reta.
Médias
x̄ = 20/5 = 4
ȳ = 174/5 = 34,8
Somas de quadrados e de produtos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 35
Syy = Σ(y − ȳ)² = 182,8
Coeficiente de correlação
r = 35/√(10·182,8) = 0,8186
Resposta
r = 0,8186
20.Regressão linear e correlação
Resposta: ŷ = 13,15
Regressão por mínimos quadrados: com x̄ e ȳ as médias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), a reta ŷ = a + b·x tem inclinação b = Sxy/Sxx e intercepto a = ȳ − b·x̄, então ela sempre passa por (x̄, ȳ). O coeficiente de correlação de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) fica entre −1 e 1; r² é a fração da variação de y explicada pela reta.
Médias
x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 86/5 = 17,2
Somas de quadrados e de produtos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −27
Reta de regressão
b = −27/10 = −2,7
a = 17,2 − (−2,7)·3 = 25,3
ŷ = 25,3 − 2,7·x
Previsão
ŷ = 25,3 + (−2,7)·4,5 = 13,15
Resposta
ŷ = 13,15
Este é um material de prática independente. O ExamProblems não é afiliado nem endossado pela organização que aplica este exame, e o nome do exame é usado apenas para descrever o conteúdo. CFA® and Chartered Financial Analyst® são marcas de CFA Institute, que não é afiliado ao ExamProblems, não o endossa nem garante a sua exatidão.