Precisa de €40 000 daqui a 7 anos. Uma conta rende 4,8 % ao ano, capitalizada trimestralmente. Quanto tem de depositar hoje? Calcule o valor atual PV.
FV = €40 0004,8% / 4n = 7
PV = €
2.Valor temporal do dinheiroDifícil
Você deposita €5 000 no início de cada ano durante 15 anos, sendo o primeiro depósito hoje. A conta rende 4% ao ano. Quanto há na conta no final do ano 15? Encontre FV.
A = €5 000i = 4%n = 15
FV = €
3.VAL e TIRMédia
Um projeto custa €100 000 hoje. Ele gera €9 000 no final do primeiro ano, e o fluxo de caixa depois cresce 4% ao ano para sempre. O custo de capital é 12%. Encontre o valor presente líquido NPV.
C0 = €100 000CF1 = €9 000g = 4%r = 12%
NPV = €
4.VAL e TIRDifícil
Um projeto custa €25 000 e devolve €9 500, €17 000 no fim dos anos 1 a 2. Calcule a sua taxa interna de rendibilidade IRR em percentagem.
CF0 = −25 000CF1 = 9 500CF2 = 17 000
IRR = %
5.Preço e rendimento de títulosMédia
Você compra um título com 4 anos até o vencimento (valor de face €1 000, cupom anual 6%) quando seu rendimento até o vencimento é 5%. Um ano depois, logo após receber o primeiro cupom, você o vende quando o rendimento até o vencimento é 4%. Encontre seu retorno no período de posse HPR em porcentagem.
F = €1 000cupom = 6%n = 4y0 = 5%y1 = 4%
HPR = %
6.Preço e rendimento de títulosDifícil
Um título com valor de face de €1 000 e cupom anual de 5% vence em 4 anos e é vendido por €1 075. Calcule seu rendimento até o vencimento YTM em porcentagem.
F = €1 000cupom = 5%n = 4P = €1 075
YTM = %
7.CAPM e WACCMédia
Uma empresa é financiada com ações ordinárias no valor de €8 000 000, ações preferenciais no valor de €2 000 000 e dívida no valor de €6 000 000. O custo do capital próprio é 13%, o custo das ações preferenciais 7% e o custo da dívida antes dos impostos 6%. A alíquota de imposto é 28%. Encontre o WACC.
As ações de uma empresa têm beta de 1,4 na sua relação dívida/capital próprio atual de 0,4. Ela planeja elevar a relação dívida/capital próprio para 1,5. A alíquota de imposto é 25%, a taxa livre de risco 4% e o prêmio de risco de mercado 6,5%. Encontre o custo do capital próprio re após a mudança.
X é normal com média 120 mm e desvio padrão 0,3 mm; Y é independente e normal com média 80 mm e desvio padrão 0,4 mm. Encontre a probabilidade P de X + Y ser maior que 199,6 mm. Arredonde z para duas casas decimais.
μX = 120, σX = 0,3μY = 80, σY = 0,4X + Y > 199,6 mm
P =
14.Distribuição normalDifícil
As durações de entregas seguem uma distribuição normal com média 32 min e desvio-padrão 6 min. Calcule o valor x abaixo do qual estão 97,5% delas (o percentil 97,5).
μ = 32σ = 6P = 97,5%
x = min
15.Intervalos de confiançaMédia
Uma amostra de 20 itens tem média 72,5 e desvio-padrão s = 6. A população é aproximadamente normal. Calcule o limite inferior do intervalo de confiança de 99% para a média.
n = 20x̄ = 72,5s = 699%t(19) = 2,861
limite inferior =
16.Intervalos de confiançaDifícil
O desvio-padrão da população é 7. Qual o tamanho de amostra n necessário para que um intervalo de confiança de 95% para a média tenha margem de erro de no máximo 2?
σ = 7E = 295%
n =
17.Testes de hipóteses e intervalos de confiançaMédia
Duas linhas de produção fabricam a mesma peça. Linha 1: uma amostra de 40 peças tem comprimento médio de 63,5 mm, e o desvio-padrão conhecido da linha é 3 mm. Linha 2: uma amostra de 50 peças tem média de 68,4 mm, desvio-padrão conhecido de 18 mm. Encontre a estatística de teste z para H₀: μ₁ = μ₂, tomando a diferença como x̄₁ − x̄₂ (linha 1 menos linha 2).
18.Testes de hipóteses e intervalos de confiançaDifícil
Um teste z unilateral de H₀: μ = 200 contra H₁: μ < 200 é feito com α = 0.05 e uma amostra de 64; o desvio-padrão é conhecido e vale 12. Na realidade a média é 197.45. Encontre a probabilidade de um erro do tipo II β em porcentagem.
μ₀ = 200μ = 197,45σ = 12n = 64α = 0,05
β = %
19.Regressão linear e correlaçãoMédia
A tabela dá 6 observações pareadas de x = temperatura em °C e y = sorvetes vendidos. Encontre o coeficiente de determinação r² da reta de mínimos quadrados.
n = 6
r² =
20.Regressão linear e correlaçãoDifícil
A tabela dá 5 observações pareadas de x = carga em kN e y = alongamento em mm. Use a reta de mínimos quadrados ŷ = a + b·x. É feita uma nova observação (5, 18). Encontre o seu resíduo e = y − ŷ.
n = 5(5, 18)
e =
3Soluções
1.Valor temporal do dinheiro
Resposta: PV = 28642 €
Valor temporal do dinheiro: o dinheiro hoje vale mais do que a mesma quantia no futuro, porque pode render juros. Com uma taxa i por período, um montante cresce para FV = PV·(1 + i)n. Uma série de pagamentos iguais (uma renda) avalia-se somando cada pagamento, o que dá as fórmulas das rendas.
Taxa e número de períodos
i = 0,048/4 = 0,012
N = 4·7 = 28
Valor atual
PV = FV/(1 + i)N = 40 000/1,397 = €28 642,15
Resposta
PV = €28 642,15
2.Valor temporal do dinheiro
Resposta: FV = 104123 €
Valor temporal do dinheiro: o dinheiro hoje vale mais do que a mesma quantia no futuro, porque pode render juros. Com uma taxa i por período, um montante cresce para FV = PV·(1 + i)n. Uma série de pagamentos iguais (uma renda) avalia-se somando cada pagamento, o que dá as fórmulas das rendas.
Fator de anuidade postecipada
((1 + 0,04)15 − 1)/0,04 = 20,02
Anuidade antecipada
Cada depósito fica investido um ano a mais.
FV = 5 000·20,02·1,04 = €104 122,66
Resposta
FV = €104 122,66
3.VAL e TIR
Resposta: NPV = 12500 €
Valor atual líquido: desconte cada fluxo de caixa até hoje com a rendibilidade exigida r e some-os: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Um projeto com NPV > 0 rende mais do que r e cria valor. A taxa interna de rendibilidade (TIR) é a taxa para a qual NPV = 0.
Valor dos fluxos de caixa
PV = 9 000/(0,12 − 0,04) = 112 500,00
NPV
NPV = 112 500,00 − 100 000 = €12 500,00
Resposta
NPV = €12 500,00
O VAL é positivo, logo o projeto rende mais do que a rendibilidade exigida.
4.VAL e TIR
Resposta: IRR = 3,623 %
Valor atual líquido: desconte cada fluxo de caixa até hoje com a rendibilidade exigida r e some-os: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Um projeto com NPV > 0 rende mais do que r e cria valor. A taxa interna de rendibilidade (TIR) é a taxa para a qual NPV = 0.
Enquadrar a TIR
O VAL desce quando a taxa sobe, por isso a TIR está entre uma taxa com VAL positivo e outra com VAL negativo.
NPV(0%) = 1 500,00
NPV(5%) = −532,88
Aproximar
A interpolação linear dá uma primeira estimativa; repeti-la (ou usar a função TIR de uma calculadora) dá a taxa exata.
Precificação de títulos: o preço de um título é o valor presente dos seus fluxos de caixa, descontados ao rendimento até o vencimento (YTM): os cupons formam uma anuidade e o valor de face é devolvido no vencimento. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando o rendimento está acima da taxa de cupom, o título é negociado abaixo do valor de face, e vice-versa.
Precificação de títulos: o preço de um título é o valor presente dos seus fluxos de caixa, descontados ao rendimento até o vencimento (YTM): os cupons formam uma anuidade e o valor de face é devolvido no vencimento. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando o rendimento está acima da taxa de cupom, o título é negociado abaixo do valor de face, e vice-versa.
Equação do rendimento
€1 075 = €50·(1 − (1 + y)⁻⁴)/y + €1 000/(1 + y)⁴
Resolva numericamente
P(2%) = €1 114,23, P(3%) = €1 074,34
YTM = 2,983%
Resposta
YTM = 2,983%
7.CAPM e WACC
Resposta: WACC = 8,995 %
Custo de capital: o CAPM dá o retorno exigido pelos acionistas: re = rf + β·(rm − rf). O custo médio ponderado de capital combina capital próprio e dívida pelos seus valores de mercado: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), com V = E + D. Os juros são dedutíveis do imposto, daí o (1 − T).
Beta alavancado (Hamada): a dívida torna o capital próprio mais arriscado. βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E), onde βU é o beta do negócio sem dívida. Para levar um beta a outra estrutura de capital, primeiro desalavanque-o e depois realavanque-o com o novo D/E.
Desalavanque o beta
βU = 1,4/(1 + 0,75·0,4) = 1,077
Realavanque com o novo D/E
βL = 1,077·(1 + 0,75·1,5) = 2,288
Custo do capital próprio (CAPM)
re = 4% + 2,288·6,5% = 18,88%
Resposta
re = 18,88%
9.Estatística descritiva
Resposta: s = 11,92
Estatística descritiva: a média é a soma a dividir por n; a mediana é o valor central dos dados ordenados (a média dos dois centrais se n for par). O desvio-padrão amostral é s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Uma pontuação z = (x − μ)/σ diz a quantos desvios-padrão da média está um valor.
Estatística descritiva: a média é a soma a dividir por n; a mediana é o valor central dos dados ordenados (a média dos dois centrais se n for par). O desvio-padrão amostral é s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Uma pontuação z = (x − μ)/σ diz a quantos desvios-padrão da média está um valor.
Padronizar
z = 1,25
Tabela da normal padrão
Φ(1,25) = 0,8944
P = 1 − 0,8944 = 0,1056
Resposta
P = 0,1056
11.Probabilidades
Resposta: Var(X) = 3,39
Variáveis aleatórias discretas: uma distribuição de probabilidade lista cada valor x que uma variável pode assumir com sua probabilidade p(x); as probabilidades ficam entre 0 e 1 e somam 1. O valor esperado (média) é E(X) = Σx·p(x), a média de longo prazo. A variância é Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², e o desvio padrão é σ = √Var(X). Para uma mudança linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) e σY = |a|·σX; somar uma constante não muda a dispersão.
Média
μ = 0·0,05 + 2·0,3 + 4·0,3 + 6·0,35 = 3,9
Média dos quadrados
E(X²) = 0·0,05 + 4·0,3 + 16·0,3 + 36·0,35 = 18,6
Variância
Var(X) = 18,6 − 3,9² = 3,39
Resposta
Var(X) = 3,39
12.Probabilidades
Resposta: σY = 18,19
Variáveis aleatórias discretas: uma distribuição de probabilidade lista cada valor x que uma variável pode assumir com sua probabilidade p(x); as probabilidades ficam entre 0 e 1 e somam 1. O valor esperado (média) é E(X) = Σx·p(x), a média de longo prazo. A variância é Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², e o desvio padrão é σ = √Var(X). Para uma mudança linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) e σY = |a|·σX; somar uma constante não muda a dispersão.
Dispersão de X
μ = 28,5, Var(X) = 82,75, σX = 9,097
Mudança linear
σY = |2|·9,097 = 18,19
Resposta
σY = 18,19
A média de fato se desloca: E(Y) = 2·28,5 + 1 = 58.
13.Distribuição normal
Resposta: P = 0,7881
Somas e diferenças de variáveis normais: se X e Y são independentes e normais, X + Y e X − Y também são normais. As médias se somam ou se subtraem: E(X ± Y) = μX ± μY. As variâncias sempre se somam, também em uma diferença: Var(X ± Y) = σX² + σY², portanto σ = √(σX² + σY²). Os desvios padrão nunca se somam diretamente. O total de n itens independentes com a mesma distribuição tem média n·μ e desvio padrão σ·√n. Depois padronize como de costume: z = (x − média)/σ e leia Φ(z).
Distribuição da soma
μ = 200 mm, σ = √(0,3² + 0,4²) = 0,5 mm
Padronizar
z = (199,6 − 200)/0,5 = −0,8
Cauda superior
P = 1 − Φ(−0,8) = 1 − 0,2119 = 0,7881
Resposta
P = 0,7881
14.Distribuição normal
Resposta: x = 43,76 min
Distribuição normal: converta um valor x em uma pontuação z, z = (x − μ)/σ, que conta quantos desvios-padrão ele está da média. Uma tabela z (ou Φ(z)) dá a área à esquerda de z, que é P(X < x). A área à direita é 1 − Φ(z), e a área entre dois valores é a diferença entre as duas áreas.
z do percentil
Φ(z) = 0,975 → z = 1,96
De volta a x
x = 32 + 1,96·6 = 43,76 min
Resposta
x = 43,76 min
15.Intervalos de confiança
Resposta: limite inferior = 68,66
Intervalo de confiança para uma média: x̄ ± margem de erro. Com σ populacional conhecido, a margem é z·σ/√n; tendo apenas o desvio-padrão amostral s, use t com n − 1 graus de liberdade: t·s/√n. Valores críticos: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Para obter uma margem E ou menor, você precisa de n ≥ (z·σ/E)², arredondado para cima.
Valor crítico
df = n − 1 = 19, t = 2,861
Margem de erro
E = 2,861·6/√20 = 3,838
Intervalo
72,5 ± 3,838 → [68,66, 76,34]
Resposta
limite inferior = 68,66
16.Intervalos de confiança
Resposta: n = 48
Intervalo de confiança para uma média: x̄ ± margem de erro. Com σ populacional conhecido, a margem é z·σ/√n; tendo apenas o desvio-padrão amostral s, use t com n − 1 graus de liberdade: t·s/√n. Valores críticos: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Para obter uma margem E ou menor, você precisa de n ≥ (z·σ/E)², arredondado para cima.
Resolver em ordem a n
n = (1,96·7/2)² = 47,06
Arredondar para cima
O tamanho da amostra é um número inteiro, e arredondar para baixo deixaria a margem grande demais.
n = 48
Resposta
n = 48
17.Testes de hipóteses e intervalos de confiança
Resposta: z = −1,892
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Erro-padrão da diferença
SE = √(3²/40 + 18²/50) = √6,705 = 2,589
Estatística de teste
z = (63,5 − 68,4)/2,589 = −1,892
Resposta
z = −1,892
|z| < 1,96, então H₀ não é rejeitada ao nível de 5% (bilateral).
18.Testes de hipóteses e intervalos de confiança
Resposta: β = 47,81 %
Poder de um teste: poder = 1 − β é a probabilidade de rejeitar H₀ quando ela é falsa. Encontre o limite x̄c a partir de μ₀ e z_α, depois calcule a probabilidade de cair além de x̄c usando a média verdadeira: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).
Média amostral crítica
SE = 12/√64 = 1,5
x̄c = 200 − 1,645·1,5 = 197,5
z sob a média verdadeira
z = (197,5 − 197,45)/1,5 = 0,055
Erro do tipo II
poder = P(Z < 0.055) = 52.19%
β = 100% − 52,19% = 47,81%
Resposta
β = 47,81%
19.Regressão linear e correlação
Resposta: r² = 0,9905
Regressão por mínimos quadrados: com x̄ e ȳ as médias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), a reta ŷ = a + b·x tem inclinação b = Sxy/Sxx e intercepto a = ȳ − b·x̄, então ela sempre passa por (x̄, ȳ). O coeficiente de correlação de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) fica entre −1 e 1; r² é a fração da variação de y explicada pela reta.
Médias
x̄ = 120/6 = 20
ȳ = 674/6 = 112,3
Somas de quadrados e de produtos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 444
Syy = Σ(y − ȳ)² = 2843
Coeficiente de determinação
r² = 444²/(70·2843) = 0,9905
Resposta
r² = 0,9905
Cerca de 99,05% da variação de y é explicada pela reta.
20.Regressão linear e correlação
Resposta: e = 2,3
Regressão por mínimos quadrados: com x̄ e ȳ as médias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), a reta ŷ = a + b·x tem inclinação b = Sxy/Sxx e intercepto a = ȳ − b·x̄, então ela sempre passa por (x̄, ȳ). O coeficiente de correlação de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) fica entre −1 e 1; r² é a fração da variação de y explicada pela reta.
Médias
x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 91/5 = 18,2
Somas de quadrados e de produtos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 100
Reta de regressão
b = 100/40 = 2,5
a = 18,2 − 2,5·6 = 3,2
ŷ = 3,2 + 2,5·x
Valor previsto
ŷ = 3,2 + 2,5·5 = 15,7
Resíduo
e = 18 − 15,7 = 2,3
Resposta
e = 2,3
O ponto está acima da reta.
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