Um cartão de crédito cobra uma taxa de juros nominal de 16% ao ano, capitalizada diária. Encontre a taxa efetiva anual EAR em porcentagem.
r = 16%m = 365
EAR = %
2.Valor temporal do dinheiroDifícil
Poupa €150 no fim de cada mês durante 21 anos. A conta rende 2,4 % ao ano, capitalizada mensalmente. Quanto poupou no fim? Calcule FV.
A = €1502,4% / 12N = 252
FV = €
3.VAL e TIRMédia
Um investimento de €60 000 gera estes fluxos no fim dos anos 1 a 4: €19 000, €30 000, €13 000, €24 000. O custo do capital é de 10 %. Calcule o valor atual líquido NPV.
Um projeto custa €25 000 e devolve €18 000, €18 500 no fim dos anos 1 a 2. Calcule a sua taxa interna de rendibilidade IRR em percentagem.
CF0 = −25 000CF1 = 18 000CF2 = 18 500
IRR = %
5.Preço e rendimento de títulosMédia
Um título com valor de face de €1 000 paga um cupom anual de 8% em dois pagamentos semestrais e vence em 6 anos. O rendimento até o vencimento é de 5% ao ano. Calcule o preço P do título.
F = €1 000cupom = 8%YTM = 5%n = 6
P = €
6.Preço e rendimento de títulosDifícil
Um título com valor de face de €1 000 paga um cupom anual de 5% em dois pagamentos semestrais e vence em 6 anos. Ele é vendido a €1 081. Encontre seu rendimento até o vencimento YTM como taxa anual (o dobro do rendimento semestral), em porcentagem.
F = €1 000cupom = 5% (2×)n = 6P = €1 081
YTM = %
7.CAPM e WACCMédia
Uma ação com beta de 1,6 tem retorno exigido de 11,8%. A taxa livre de risco é 3%. Que retorno esperado do mercado rm o CAPM implica?
β = 1,6re = 11,8%rf = 3%
rm = %
8.CAPM e WACCDifícil
Uma empresa tem 2 000 000 ações a €31,50 cada e 10 000 títulos negociados a €1 000 cada. O custo da dívida antes dos impostos é 4,5% e a alíquota de imposto é 25,8%. O beta da ação é 1,3, a taxa livre de risco é 3,5% e o retorno do mercado é 9%. Calcule o WACC.
β = 1,3rf = 3,5%rm = 9%rd = 4,5%T = 25,8%
WACC = %
9.Estatística descritivaMédia
Calcule o desvio-padrão amostral s dos dados: 47, 51, 53, 22, 50.
n = 5
s =
10.Estatística descritivaDifícil
Uma grandeza segue uma distribuição normal com média 60 e desvio-padrão 10. Que proporção P dos valores está abaixo de 80?
μ = 60σ = 10x = 80
P =
11.ProbabilidadesMédia
Para a distribuição mostrada, encontre a variância Var(X) de X.
x: 10, 20, 30, 40p(x): 0,25, 0,2, 0,2, 0,35
Var(X) =
12.ProbabilidadesDifícil
Testam-se 12 componentes e cada um avaria com probabilidade 0,1, de forma independente. Qual é a probabilidade P de avariar no máximo um?
n = 12p = 0,1
P =
13.Distribuição normalMédia
Arraste z para que a área sombreada entre −z e z sob a curva normal padrão seja 0,9109. Encontre z com duas casas decimais.
A = 0,9109
z =
14.Distribuição normalDifícil
Os durações de baterias têm distribuição normal com média 500 h e desvio padrão 40 h. Arraste o ponto de corte para que os 20% inferiores sombreados fiquem à esquerda dele. Encontre o ponto de corte x.
μ = 500 hσ = 40 h20%
x = h
15.Intervalos de confiançaMédia
Uma amostra de 7 itens tem média 20 e desvio-padrão s = 10. A população é aproximadamente normal. Calcule a margem de erro E de um intervalo de confiança de 99% para a média.
n = 7x̄ = 20s = 1099%t(6) = 3,707
E =
16.Intervalos de confiançaDifícil
Os diâmetros de 16 eixos usinados têm desvio-padrão amostral de 3,5 µm. Supondo que os diâmetros tenham distribuição normal, encontre o limite superior σ do intervalo de confiança de 95% para o desvio-padrão populacional. Com gl = 15, 2,5% da distribuição χ² fica abaixo de 6,262 e 2,5% fica acima de 27,488.
n = 16s = 3,5 µmχ² = 6,262, 27,488
σ = µm
17.Testes de hipóteses e intervalos de confiançaMédia
Duas linhas de produção fabricam a mesma peça. Linha 1: uma amostra de 80 peças tem comprimento médio de 76 mm, e o desvio-padrão conhecido da linha é 3 mm. Linha 2: uma amostra de 50 peças tem média de 82,2 mm, desvio-padrão conhecido de 15 mm. Encontre a estatística de teste z para H₀: μ₁ = μ₂, tomando a diferença como x̄₁ − x̄₂ (linha 1 menos linha 2).
18.Testes de hipóteses e intervalos de confiançaDifícil
Em um ensaio, 30 de 200 pacientes com o tratamento A se recuperam, e 22 de 120 pacientes com o tratamento B. Usando a proporção combinada, encontre a estatística de teste z para H₀: p₁ = p₂.
x₁ = 30n₁ = 200x₂ = 22n₂ = 120
z =
19.Regressão linear e correlaçãoMédia
A tabela dá 6 observações pareadas de x = carga em kN e y = alongamento em mm. Encontre o coeficiente de correlação de Pearson r.
n = 6
r =
20.Regressão linear e correlaçãoDifícil
A tabela dá 5 observações pareadas de x = temperatura em °C e y = sorvetes vendidos. Use a reta de mínimos quadrados ŷ = a + b·x. Preveja ŷ para x = 19.
n = 5x = 19
ŷ =
3Soluções
1.Valor temporal do dinheiro
Resposta: EAR = 17,35 %
Valor temporal do dinheiro: o dinheiro hoje vale mais do que a mesma quantia no futuro, porque pode render juros. Com uma taxa i por período, um montante cresce para FV = PV·(1 + i)n. Uma série de pagamentos iguais (uma renda) avalia-se somando cada pagamento, o que dá as fórmulas das rendas.
Taxa por período
r/m = 0,16/365 = 0,0004384
Capitalize ao longo de um ano
EAR = (1 + 0,0004384)365 − 1 = 1,173 − 1 = 17,35%
Resposta
EAR = 17,35%
A taxa efetiva anual é sempre maior que a taxa nominal quando os juros são capitalizados mais de uma vez por ano.
2.Valor temporal do dinheiro
Resposta: FV = 49087 €
Valor temporal do dinheiro: o dinheiro hoje vale mais do que a mesma quantia no futuro, porque pode render juros. Com uma taxa i por período, um montante cresce para FV = PV·(1 + i)n. Uma série de pagamentos iguais (uma renda) avalia-se somando cada pagamento, o que dá as fórmulas das rendas.
Valor atual líquido: desconte cada fluxo de caixa até hoje com a rendibilidade exigida r e some-os: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Um projeto com NPV > 0 rende mais do que r e cria valor. A taxa interna de rendibilidade (TIR) é a taxa para a qual NPV = 0.
Valor atual de cada fluxo
CF0 = −60 000
CF1/(1 + 0,1)1 = 19 000/1,1 = 17 272,73
CF2/(1 + 0,1)2 = 30 000/1,21 = 24 793,39
CF3/(1 + 0,1)3 = 13 000/1,331 = 9 767,09
CF4/(1 + 0,1)4 = 24 000/1,464 = 16 392,32
Somar
NPV = €8 225,53
Resposta
NPV = €8 225,53
O VAL é positivo, logo o projeto rende mais do que a rendibilidade exigida.
4.VAL e TIR
Resposta: IRR = 29,25 %
Valor atual líquido: desconte cada fluxo de caixa até hoje com a rendibilidade exigida r e some-os: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Um projeto com NPV > 0 rende mais do que r e cria valor. A taxa interna de rendibilidade (TIR) é a taxa para a qual NPV = 0.
Enquadrar a TIR
O VAL desce quando a taxa sobe, por isso a TIR está entre uma taxa com VAL positivo e outra com VAL negativo.
NPV(25%) = 1 240,00
NPV(30%) = −207,10
Aproximar
A interpolação linear dá uma primeira estimativa; repeti-la (ou usar a função TIR de uma calculadora) dá a taxa exata.
Precificação de títulos: o preço de um título é o valor presente dos seus fluxos de caixa, descontados ao rendimento até o vencimento (YTM): os cupons formam uma anuidade e o valor de face é devolvido no vencimento. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando o rendimento está acima da taxa de cupom, o título é negociado abaixo do valor de face, e vice-versa.
Por período
C = €40,00, i = 0,025, N = 12
Valor presente dos cupons
€40,00·(1 − 0,7436)/0,025 = €410,31
Valor presente do valor de face
€1 000·0,7436 = €743,56
Preço
P = €1 153,87
Resposta
P = €1 153,87
O rendimento está abaixo da taxa de cupom, então o título é vendido com ágio.
6.Preço e rendimento de títulos
Resposta: YTM = 3,492 %
Precificação de títulos: o preço de um título é o valor presente dos seus fluxos de caixa, descontados ao rendimento até o vencimento (YTM): os cupons formam uma anuidade e o valor de face é devolvido no vencimento. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando o rendimento está acima da taxa de cupom, o título é negociado abaixo do valor de face, e vice-versa.
Por período
C = €25,00, N = 12
Resolva numericamente
i = 1,746% por semestre
YTM
YTM = 2·1,746% = 3,492%
Resposta
YTM = 3,492%
7.CAPM e WACC
Resposta: rm = 8,5 %
Custo de capital: o CAPM dá o retorno exigido pelos acionistas: re = rf + β·(rm − rf). O custo médio ponderado de capital combina capital próprio e dívida pelos seus valores de mercado: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), com V = E + D. Os juros são dedutíveis do imposto, daí o (1 − T).
Prêmio de risco de mercado
rm − rf = (11,8% − 3%)/1,6 = 5,5%
Retorno do mercado
rm = 3% + 5,5% = 8,5%
Resposta
rm = 8,5%
8.CAPM e WACC
Resposta: WACC = 9,648 %
Custo de capital: o CAPM dá o retorno exigido pelos acionistas: re = rf + β·(rm − rf). O custo médio ponderado de capital combina capital próprio e dívida pelos seus valores de mercado: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), com V = E + D. Os juros são dedutíveis do imposto, daí o (1 − T).
Estatística descritiva: a média é a soma a dividir por n; a mediana é o valor central dos dados ordenados (a média dos dois centrais se n for par). O desvio-padrão amostral é s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Uma pontuação z = (x − μ)/σ diz a quantos desvios-padrão da média está um valor.
Estatística descritiva: a média é a soma a dividir por n; a mediana é o valor central dos dados ordenados (a média dos dois centrais se n for par). O desvio-padrão amostral é s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Uma pontuação z = (x − μ)/σ diz a quantos desvios-padrão da média está um valor.
Padronizar
z = 2
Tabela da normal padrão
Φ(2) = 0,9772
P = 0,9772
Resposta
P = 0,9772
11.Probabilidades
Resposta: Var(X) = 142,8
Variáveis aleatórias discretas: uma distribuição de probabilidade lista cada valor x que uma variável pode assumir com sua probabilidade p(x); as probabilidades ficam entre 0 e 1 e somam 1. O valor esperado (média) é E(X) = Σx·p(x), a média de longo prazo. A variância é Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², e o desvio padrão é σ = √Var(X). Para uma mudança linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) e σY = |a|·σX; somar uma constante não muda a dispersão.
Probabilidades: com resultados equiprováveis, P(A) = favoráveis/possíveis. Para acontecimentos independentes multiplica-se: P(A e B) = P(A)·P(B). O complementar ajuda muitas vezes: P(pelo menos um) = 1 − P(nenhum). Binomial: em n provas independentes com probabilidade de sucesso p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Zero e uma avaria
P(X = 0) = 0,912 = 0,2824
P(X = 1) = 12·0,1·0,911 = 0,3766
Some
P = 0,2824 + 0,3766 = 0,659
Resposta
P = 0,659
13.Distribuição normal
Resposta: z = 1,7
De uma área de volta a z: Φ(z) é a área à esquerda de z. Para uma área de cauda esquerda A, encontre na tabela o z com Φ(z) = A. Uma área de cauda direita A significa Φ(z) = 1 − A. Uma área central A entre −z e z deixa (1 − A)/2 em cada cauda, então Φ(z) = (1 + A)/2. Para um valor x, use x = μ + zσ.
Área à esquerda de z
Φ(z) = (1 + 0,9109)/2 = 0,9554
Leia a tabela de z ao contrário
Encontre 0,9554 dentro da tabela e leia z.
z = 1,70
Resposta
z = 1,70
14.Distribuição normal
Resposta: x = 466 h
De uma área de volta a z: Φ(z) é a área à esquerda de z. Para uma área de cauda esquerda A, encontre na tabela o z com Φ(z) = A. Uma área de cauda direita A significa Φ(z) = 1 − A. Uma área central A entre −z e z deixa (1 − A)/2 em cada cauda, então Φ(z) = (1 + A)/2. Para um valor x, use x = μ + zσ.
Área à esquerda
Φ(z) = 0,2
z da tabela
z ≈ −0,84
De volta às unidades originais
x = 500 − 0,84·40 = 466 h
Resposta
x = 466 h
15.Intervalos de confiança
Resposta: E = 14,01
Intervalo de confiança para uma média: x̄ ± margem de erro. Com σ populacional conhecido, a margem é z·σ/√n; tendo apenas o desvio-padrão amostral s, use t com n − 1 graus de liberdade: t·s/√n. Valores críticos: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Para obter uma margem E ou menor, você precisa de n ≥ (z·σ/E)², arredondado para cima.
Valor crítico
df = n − 1 = 6, t = 3,707
Margem de erro
E = 3,707·10/√7 = 14,01
Resposta
E = 14,01
16.Intervalos de confiança
Resposta: σ = 5,417 µm
Intervalo para uma variância: (n − 1)s²/σ² tem distribuição χ² com n − 1 graus de liberdade. O intervalo de 95% para σ² vai de (n − 1)s² dividido pelo valor superior de χ² (2,5% acima dele) até (n − 1)s² dividido pelo valor inferior de χ² (2,5% abaixo dele); o intervalo para σ é a raiz quadrada dos dois limites. Ele não é simétrico em torno de s.
Soma de quadrados
(n − 1)s² = 15·3,5² = 183,8
Limites para σ²
183,8/27,488 = 6,685
183,8/6,262 = 29,34
Limite para σ
σ = √29,34 = 5,417 µm
Resposta
σ = 5,417 µm
Intervalo de 95% para σ: [2,585, 5,417] µm.
17.Testes de hipóteses e intervalos de confiança
Resposta: z = −2,887
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Erro-padrão da diferença
SE = √(3²/80 + 15²/50) = √4,613 = 2,148
Estatística de teste
z = (76 − 82,2)/2,148 = −2,887
Resposta
z = −2,887
|z| > 1,96, então H₀ é rejeitada ao nível de 5% (bilateral).
18.Testes de hipóteses e intervalos de confiança
Resposta: z = −0,7825
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Proporções amostrais
p̂₁ = 30/200 = 0,15
p̂₂ = 22/120 = 0,1833
p̂ = 52/320 = 0,1625
Erro-padrão sob H₀
SE = √(0,1625·0,8375·(1/200 + 1/120)) = 0,0426
Estatística de teste
z = (0,15 − 0,1833)/0,0426 = −0,7825
Resposta
z = −0,7825
|z| < 1,96, então H₀ não é rejeitada ao nível de 5% (bilateral).
19.Regressão linear e correlação
Resposta: r = 0,9898
Regressão por mínimos quadrados: com x̄ e ȳ as médias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), a reta ŷ = a + b·x tem inclinação b = Sxy/Sxx e intercepto a = ȳ − b·x̄, então ela sempre passa por (x̄, ȳ). O coeficiente de correlação de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) fica entre −1 e 1; r² é a fração da variação de y explicada pela reta.
Médias
x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 127/6 = 21,17
Somas de quadrados e de produtos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 189
Syy = Σ(y − ȳ)² = 520,8
Coeficiente de correlação
r = 189/√(70·520,8) = 0,9898
Resposta
r = 0,9898
20.Regressão linear e correlação
Resposta: ŷ = 91,95
Regressão por mínimos quadrados: com x̄ e ȳ as médias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), a reta ŷ = a + b·x tem inclinação b = Sxy/Sxx e intercepto a = ȳ − b·x̄, então ela sempre passa por (x̄, ȳ). O coeficiente de correlação de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) fica entre −1 e 1; r² é a fração da variação de y explicada pela reta.
Médias
x̄ = 90/5 = 18
ȳ = 431/5 = 86,2
Somas de quadrados e de produtos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 230
Reta de regressão
b = 230/40 = 5,75
a = 86,2 − 5,75·18 = −17,3
ŷ = −17,3 + 5,75·x
Previsão
ŷ = −17,3 + 5,75·19 = 91,95
Resposta
ŷ = 91,95
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