Precisa de €5 000 daqui a 4 anos. Uma conta rende 3,6 % ao ano, capitalizada mensalmente. Quanto tem de depositar hoje? Calcule o valor atual PV.
FV = €5 0003,6% / 12n = 4
PV = €
2.Valor temporal do dinheiroDifícil
Um empréstimo de €20 000 é pago em prestações mensais iguais durante 6 anos. A taxa de juro é de 2,4 % ao ano, capitalizada mensalmente. Calcule a prestação mensal A.
P = €20 0002,4% / 12N = 72
A = €
3.VAL e TIRMédia
Um projeto custa €100 000 hoje. Ele gera €6 000 no final do primeiro ano, e o fluxo de caixa depois cresce 3% ao ano para sempre. O custo de capital é 8%. Encontre o valor presente líquido NPV.
C0 = €100 000CF1 = €6 000g = 3%r = 8%
NPV = €
4.VAL e TIRDifícil
Um projeto custa €150 000 hoje. Seu fluxo de caixa é €16 500 no final do ano 1 e cresce 3% ao ano até o último fluxo de caixa, no final do ano 10. O custo de capital é 10%. Encontre o valor presente líquido NPV.
C0 = €150 000CF1 = €16 500g = 3%n = 10r = 10%
NPV = €
5.Preço e rendimento de títulosMédia
Você compra um título com 9 anos até o vencimento (valor de face €1 000, cupom anual 2%) quando seu rendimento até o vencimento é 6%. Um ano depois, logo após receber o primeiro cupom, você o vende quando o rendimento até o vencimento é 7%. Encontre seu retorno no período de posse HPR em porcentagem.
F = €1 000cupom = 2%n = 9y0 = 6%y1 = 7%
HPR = %
6.Preço e rendimento de títulosDifícil
Um título com valor de face de €1 000 paga um cupom anual de 8% em dois pagamentos semestrais e vence em 7 anos. Ele é vendido a €949. Encontre seu rendimento até o vencimento YTM como taxa anual (o dobro do rendimento semestral), em porcentagem.
F = €1 000cupom = 8% (2×)n = 7P = €949
YTM = %
7.CAPM e WACCMédia
Uma empresa tem capital próprio de €3 000 000 e dívida de €2 000 000. Seu custo do capital próprio é 13%, seu custo da dívida antes dos impostos é 6% e a alíquota de imposto é 21%. Calcule o WACC.
O negócio de uma empresa tem beta desalavancado (dos ativos) de 1. Ela planeja uma relação dívida/capital próprio de 0,6. A alíquota de imposto é 25%, a taxa livre de risco é 2% e o prêmio de risco de mercado é 7%. Encontre o custo do capital próprio re na nova estrutura de capital.
βU = 1D/E = 0,6T = 25%rf = 2%rm − rf = 7%
re = %
9.Estatística descritivaMédia
Calcule o desvio-padrão amostral s dos dados: 33, 29, 32, 29, 12, 17.
n = 6
s =
10.Estatística descritivaDifícil
As notas de um exame seguem uma distribuição normal com média 60 e desvio-padrão 8. Calcule a pontuação z z de uma nota de 48.
μ = 60σ = 8x = 48
z =
11.ProbabilidadesMédia
Um saco tem 8 bolas vermelhas e 3 azuis. Tira duas bolas sem repor a primeira. Qual é a probabilidade P de ambas serem vermelhas?
8 / 3
P =
12.ProbabilidadesDifícil
Um teste tem 11 perguntas de escolha múltipla. Uma estudante que responde ao acaso acerta cada uma com probabilidade 0,7, de forma independente. Qual é a probabilidade P de acertar exatamente 4?
n = 11p = 0,7k = 4
P =
13.Distribuição normalMédia
Arraste z para que a área sombreada sob a curva normal padrão, à direita de z, seja 0,1210. Encontre z com duas casas decimais.
A = 0,1210
z =
14.Distribuição normalDifícil
Os massas de sacos têm distribuição normal com média 250 g e desvio padrão 5 g. Arraste o ponto de corte para que os 85% superiores sombreados fiquem à direita dele. Encontre o ponto de corte x.
μ = 250 gσ = 5 g85%
x = g
15.Intervalos de confiançaMédia
Uma amostra de 13 itens tem média 40,5 e desvio-padrão s = 11. A população é aproximadamente normal. Calcule o limite inferior do intervalo de confiança de 99% para a média.
n = 13x̄ = 40,5s = 1199%t(12) = 3,055
limite inferior =
16.Intervalos de confiançaDifícil
O desvio-padrão da população é 7. Qual o tamanho de amostra n necessário para que um intervalo de confiança de 90% para a média tenha margem de erro de no máximo 1,5?
σ = 7E = 1,590%
n =
17.Testes de hipóteses e intervalos de confiançaMédia
Uma amostra de 16 estudantes tem nota média 108,4 e desvio-padrão amostral 15. Calcule a estatística de teste t para H₀: μ = 120.
μ₀ = 120x̄ = 108,4s = 15n = 16
t =
18.Testes de hipóteses e intervalos de confiançaDifícil
Um teste z unilateral de H₀: μ = 200 contra H₁: μ > 200 é feito com α = 0,10 e uma amostra de 64; o desvio-padrão é conhecido e vale 4. Na realidade a média é 200,95. Encontre a probabilidade de um erro do tipo II β em porcentagem.
μ₀ = 200μ = 200,95σ = 4n = 64α = 0,10
β = %
19.Regressão linear e correlaçãoMédia
A tabela dá 5 observações pareadas de x = idade do carro em anos e y = preço em k€. Encontre o coeficiente de determinação r² da reta de mínimos quadrados.
n = 5
r² =
20.Regressão linear e correlaçãoDifícil
A tabela dá 5 observações pareadas de x = gasto com publicidade em k€ e y = vendas em k€. Use a reta de mínimos quadrados ŷ = a + b·x. É feita uma nova observação (6,5, 37). Encontre o seu resíduo e = y − ŷ.
n = 5(6,5, 37)
e =
3Soluções
1.Valor temporal do dinheiro
Resposta: PV = 4330 €
Valor temporal do dinheiro: o dinheiro hoje vale mais do que a mesma quantia no futuro, porque pode render juros. Com uma taxa i por período, um montante cresce para FV = PV·(1 + i)n. Uma série de pagamentos iguais (uma renda) avalia-se somando cada pagamento, o que dá as fórmulas das rendas.
Taxa e número de períodos
i = 0,036000000000000004/12 = 0,003
N = 12·4 = 48
Valor atual
PV = FV/(1 + i)N = 5 000/1,155 = €4 330,37
Resposta
PV = €4 330,37
2.Valor temporal do dinheiro
Resposta: A = 298,5 €
Valor temporal do dinheiro: o dinheiro hoje vale mais do que a mesma quantia no futuro, porque pode render juros. Com uma taxa i por período, um montante cresce para FV = PV·(1 + i)n. Uma série de pagamentos iguais (uma renda) avalia-se somando cada pagamento, o que dá as fórmulas das rendas.
Taxa mensal e número de prestações
i = 0,024/12 = 0,002
N = 12·6 = 72
Prestação
O valor atual de N pagamentos iguais A é A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Iguale-o ao empréstimo e resolva em ordem a A.
(1 + i)−N = 0,866
A = 20 000·0,002/(1 − 0,866) = €298,53
Resposta
A = €298,53
3.VAL e TIR
Resposta: NPV = 20000 €
Valor atual líquido: desconte cada fluxo de caixa até hoje com a rendibilidade exigida r e some-os: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Um projeto com NPV > 0 rende mais do que r e cria valor. A taxa interna de rendibilidade (TIR) é a taxa para a qual NPV = 0.
Valor dos fluxos de caixa
PV = 6 000/(0,08 − 0,03) = 120 000,00
NPV
NPV = 120 000,00 − 100 000 = €20 000,00
Resposta
NPV = €20 000,00
O VAL é positivo, logo o projeto rende mais do que a rendibilidade exigida.
4.VAL e TIR
Resposta: NPV = −36418 €
Valor atual líquido: desconte cada fluxo de caixa até hoje com a rendibilidade exigida r e some-os: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Um projeto com NPV > 0 rende mais do que r e cria valor. A taxa interna de rendibilidade (TIR) é a taxa para a qual NPV = 0.
O VAL é negativo, logo o projeto rende menos do que a rendibilidade exigida.
5.Preço e rendimento de títulos
Resposta: HPR = −0,8926 %
Precificação de títulos: o preço de um título é o valor presente dos seus fluxos de caixa, descontados ao rendimento até o vencimento (YTM): os cupons formam uma anuidade e o valor de face é devolvido no vencimento. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando o rendimento está acima da taxa de cupom, o título é negociado abaixo do valor de face, e vice-versa.
Precificação de títulos: o preço de um título é o valor presente dos seus fluxos de caixa, descontados ao rendimento até o vencimento (YTM): os cupons formam uma anuidade e o valor de face é devolvido no vencimento. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando o rendimento está acima da taxa de cupom, o título é negociado abaixo do valor de face, e vice-versa.
Por período
C = €40,00, N = 14
Resolva numericamente
i = 4,499% por semestre
YTM
YTM = 2·4,499% = 8,998%
Resposta
YTM = 8,998%
7.CAPM e WACC
Resposta: WACC = 9,696 %
Custo de capital: o CAPM dá o retorno exigido pelos acionistas: re = rf + β·(rm − rf). O custo médio ponderado de capital combina capital próprio e dívida pelos seus valores de mercado: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), com V = E + D. Os juros são dedutíveis do imposto, daí o (1 − T).
Pesos
V = €5 000 000, E/V = 0,6, D/V = 0,4
WACC
WACC = 0,6·13% + 0,4·6%·(1 − 0,21) = 9,696%
Resposta
WACC = 9,696%
8.CAPM e WACC
Resposta: re = 12,15 %
Beta alavancado (Hamada): a dívida torna o capital próprio mais arriscado. βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E), onde βU é o beta do negócio sem dívida. Para levar um beta a outra estrutura de capital, primeiro desalavanque-o e depois realavanque-o com o novo D/E.
Beta alavancado
βL = 1·(1 + 0,75·0,6) = 1,45
Custo do capital próprio (CAPM)
re = 2% + 1,45·7% = 12,15%
Resposta
re = 12,15%
9.Estatística descritiva
Resposta: s = 8,687
Estatística descritiva: a média é a soma a dividir por n; a mediana é o valor central dos dados ordenados (a média dos dois centrais se n for par). O desvio-padrão amostral é s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Uma pontuação z = (x − μ)/σ diz a quantos desvios-padrão da média está um valor.
Estatística descritiva: a média é a soma a dividir por n; a mediana é o valor central dos dados ordenados (a média dos dois centrais se n for par). O desvio-padrão amostral é s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Uma pontuação z = (x − μ)/σ diz a quantos desvios-padrão da média está um valor.
Padronizar
z = (48 − 60)/8 = −1,5
Resposta
z = −1,5
11.Probabilidades
Resposta: P = 0,5091
Probabilidades: com resultados equiprováveis, P(A) = favoráveis/possíveis. Para acontecimentos independentes multiplica-se: P(A e B) = P(A)·P(B). O complementar ajuda muitas vezes: P(pelo menos um) = 1 − P(nenhum). Binomial: em n provas independentes com probabilidade de sucesso p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Primeira e segunda tiragem
P = 8/11 · 7/10 = 56/110 = 0,5091
Resposta
P = 0,5091
12.Probabilidades
Resposta: P = 0,01733
Probabilidades: com resultados equiprováveis, P(A) = favoráveis/possíveis. Para acontecimentos independentes multiplica-se: P(A e B) = P(A)·P(B). O complementar ajuda muitas vezes: P(pelo menos um) = 1 − P(nenhum). Binomial: em n provas independentes com probabilidade de sucesso p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
De uma área de volta a z: Φ(z) é a área à esquerda de z. Para uma área de cauda esquerda A, encontre na tabela o z com Φ(z) = A. Uma área de cauda direita A significa Φ(z) = 1 − A. Uma área central A entre −z e z deixa (1 − A)/2 em cada cauda, então Φ(z) = (1 + A)/2. Para um valor x, use x = μ + zσ.
Área à esquerda de z
Φ(z) = 1 − 0,1210 = 0,8790
Leia a tabela de z ao contrário
Encontre 0,8790 dentro da tabela e leia z.
z = 1,17
Resposta
z = 1,17
14.Distribuição normal
Resposta: x = 244,8 g
De uma área de volta a z: Φ(z) é a área à esquerda de z. Para uma área de cauda esquerda A, encontre na tabela o z com Φ(z) = A. Uma área de cauda direita A significa Φ(z) = 1 − A. Uma área central A entre −z e z deixa (1 − A)/2 em cada cauda, então Φ(z) = (1 + A)/2. Para um valor x, use x = μ + zσ.
Área à esquerda
Φ(z) = 0,15
z da tabela
z ≈ −1,04
De volta às unidades originais
x = 250 − 1,04·5 = 244,8 g
Resposta
x = 244,8 g
15.Intervalos de confiança
Resposta: limite inferior = 31,18
Intervalo de confiança para uma média: x̄ ± margem de erro. Com σ populacional conhecido, a margem é z·σ/√n; tendo apenas o desvio-padrão amostral s, use t com n − 1 graus de liberdade: t·s/√n. Valores críticos: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Para obter uma margem E ou menor, você precisa de n ≥ (z·σ/E)², arredondado para cima.
Valor crítico
df = n − 1 = 12, t = 3,055
Margem de erro
E = 3,055·11/√13 = 9,32
Intervalo
40,5 ± 9,32 → [31,18, 49,82]
Resposta
limite inferior = 31,18
16.Intervalos de confiança
Resposta: n = 59
Intervalo de confiança para uma média: x̄ ± margem de erro. Com σ populacional conhecido, a margem é z·σ/√n; tendo apenas o desvio-padrão amostral s, use t com n − 1 graus de liberdade: t·s/√n. Valores críticos: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Para obter uma margem E ou menor, você precisa de n ≥ (z·σ/E)², arredondado para cima.
Resolver em ordem a n
n = (1,645·7/1,5)² = 58,93
Arredondar para cima
O tamanho da amostra é um número inteiro, e arredondar para baixo deixaria a margem grande demais.
n = 59
Resposta
n = 59
17.Testes de hipóteses e intervalos de confiança
Resposta: t = −3,093
Teste a uma média: a estatística de teste mede a quantos erros-padrão a média amostral está do valor afirmado em H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) quando σ é conhecido, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) quando é estimado pela amostra. Um intervalo de confiança é x̄ ± (valor crítico)·(erro-padrão).
Erro-padrão
SE = 15/√16 = 15/4 = 3,75
Estatística de teste
t = (108,4 − 120)/3,75 = −3,093
Resposta
t = −3,093
t0,025; df = 15 = 2,131
|t| > 2,131, então H₀ é rejeitada ao nível de 5% (bilateral).
18.Testes de hipóteses e intervalos de confiança
Resposta: β = 26,83 %
Poder de um teste: poder = 1 − β é a probabilidade de rejeitar H₀ quando ela é falsa. Encontre o limite x̄c a partir de μ₀ e z_α, depois calcule a probabilidade de cair além de x̄c usando a média verdadeira: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).
Média amostral crítica
SE = 4/√64 = 0,5
x̄c = 200 + 1,282·0,5 = 200,6
z sob a média verdadeira
z = (200,6 − 200,95)/0,5 = −0,618
Erro do tipo II
poder = P(Z > −0,618) = 73,17%
β = 100% − 73,17% = 26,83%
Resposta
β = 26,83%
19.Regressão linear e correlação
Resposta: r² = 0,9819
Regressão por mínimos quadrados: com x̄ e ȳ as médias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), a reta ŷ = a + b·x tem inclinação b = Sxy/Sxx e intercepto a = ȳ − b·x̄, então ela sempre passa por (x̄, ȳ). O coeficiente de correlação de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) fica entre −1 e 1; r² é a fração da variação de y explicada pela reta.
Médias
x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 103/5 = 20,6
Somas de quadrados e de produtos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −41
Syy = Σ(y − ȳ)² = 171,2
Coeficiente de determinação
r² = −41²/(10·171,2) = 0,9819
Resposta
r² = 0,9819
Cerca de 98,19% da variação de y é explicada pela reta.
20.Regressão linear e correlação
Resposta: e = 2,4
Regressão por mínimos quadrados: com x̄ e ȳ as médias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), a reta ŷ = a + b·x tem inclinação b = Sxy/Sxx e intercepto a = ȳ − b·x̄, então ela sempre passa por (x̄, ȳ). O coeficiente de correlação de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) fica entre −1 e 1; r² é a fração da variação de y explicada pela reta.
Médias
x̄ = 25/5 = 5
ȳ = 152/5 = 30,4
Somas de quadrados e de produtos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 28
Reta de regressão
b = 28/10 = 2,8
a = 30,4 − 2,8·5 = 16,4
ŷ = 16,4 + 2,8·x
Valor previsto
ŷ = 16,4 + 2,8·6,5 = 34,6
Resíduo
e = 37 − 34,6 = 2,4
Resposta
e = 2,4
O ponto está acima da reta.
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