Espera-se que um imóvel renda um aluguel líquido de €8 000 no próximo ano. Espera-se que o aluguel cresça 1% ao ano para sempre. O retorno exigido é 3% ao ano. Encontre o valor PV do imóvel hoje.
C1 = €8 000g = 1%r = 3%
PV = €
2.Valor temporal do dinheiroDifícil
Você quer €50 000 daqui a 10 anos. Você poupa o mesmo valor no final de cada mês em uma conta que rende 4,2% ao ano, capitalizados mensalmente. Encontre o depósito mensal A.
FV = €50 0004,2% / 12N = 120
A = €
3.VAL e TIRMédia
Um investimento de €45 000 gera estes fluxos no fim dos anos 1 a 4: €11 000, €16 000, €10 000, €13 000. O custo do capital é de 5 %. Calcule o valor atual líquido NPV.
Um projeto custa €10 000 e devolve €5 000, €6 000, €6 000 no fim dos anos 1 a 3. Calcule a sua taxa interna de rendibilidade IRR em percentagem.
CF0 = −10 000CF1 = 5 000CF2 = 6 000CF3 = 6 000
IRR = %
5.Preço e rendimento de títulosMédia
Um título com valor de face de €1 000 paga um cupom anual de 6% e vence em 10 anos. Seu rendimento até o vencimento muda de 2,5% para 3,5%. Quanto ΔP varia o preço do título?
F = €1 000cupom = 6%n = 10y1 = 2,5%y2 = 3,5%
ΔP = €
6.Preço e rendimento de títulosDifícil
Um título com valor de face de €1 000 e cupom anual de 8% vence em 3 anos e é vendido por €960. Calcule seu rendimento até o vencimento YTM em porcentagem.
F = €1 000cupom = 8%n = 3P = €960
YTM = %
7.CAPM e WACCMédia
Uma empresa tem capital próprio de €3 000 000 e dívida de €5 000 000. Seu custo do capital próprio é 8%, seu custo da dívida antes dos impostos é 4% e a alíquota de imposto é 21%. Calcule o WACC.
E = €3 000 000D = €5 000 000re = 8%rd = 4%T = 21%
WACC = %
8.CAPM e WACCDifícil
Uma empresa tem 5 000 000 ações negociadas a €16,00; o valor contábil do seu patrimônio líquido é €48 000 000. Ela acaba de pagar um dividendo de €1,00 por ação, e os dividendos crescem 3% ao ano. Sua dívida tem valor de mercado de €80 000 000 e custo antes dos impostos de 4%. A alíquota de imposto é 21%. Encontre o WACC, usando o modelo de crescimento de dividendos para o custo do capital próprio.
Arraste z para que a área sombreada sob a curva normal padrão, à direita de z, seja 0,0166. Encontre z com duas casas decimais.
A = 0,0166
z =
14.Distribuição normalDifícil
Os notas de prova têm distribuição normal com média 65 pontos e desvio padrão 10 pontos. Arraste o ponto de corte para que os 20% inferiores sombreados fiquem à esquerda dele. Encontre o ponto de corte x.
μ = 65 pontosσ = 10 pontos20%
x = pontos
15.Intervalos de confiançaMédia
Uma amostra de 20 itens tem média 115,5 e desvio-padrão s = 6,5. A população é aproximadamente normal. Calcule o limite inferior do intervalo de confiança de 99% para a média.
n = 20x̄ = 115,5s = 6,599%t(19) = 2,861
limite inferior =
16.Intervalos de confiançaDifícil
Dois fertilizantes são testados. Grupo de parcelas 1: 5 parcelas, produção média 75 kg, desvio-padrão 3,5 kg. Grupo de parcelas 2: 7 parcelas, média 67,5 kg, desvio-padrão 7,5 kg. Suponha variâncias iguais (t combinado, gl = n₁ + n₂ − 2). Encontre o limite inferior do intervalo de confiança de 90% para μ₁ − μ₂.
17.Testes de hipóteses e intervalos de confiançaMédia
Dois métodos de ensino são comparados. Grupo 1: 11 alunos, nota média 118,5, desvio-padrão 8,5. Grupo 2: 20 alunos, nota média 125,2, desvio-padrão 11,5. Suponha variâncias populacionais iguais e use o teste t de duas amostras com variância combinada. Encontre a estatística de teste t para H₀: μ₁ = μ₂, tomando a diferença como x̄₁ − x̄₂ (grupo 1 menos grupo 2).
18.Testes de hipóteses e intervalos de confiançaDifícil
Que tamanho deve ter uma amostra para que o intervalo de confiança a 95 % para uma média tenha uma margem de erro de no máximo 1? O desvio-padrão é 20. Calcule o menor tamanho de amostra n.
σ = 20E = 195%
n =
19.Regressão linear e correlaçãoMédia
A tabela dá 6 observações pareadas de x = idade do carro em anos e y = preço em k€. Encontre o coeficiente de correlação de Pearson r.
n = 6
r =
20.Regressão linear e correlaçãoDifícil
A tabela dá 6 observações pareadas de x = temperatura em °C e y = sorvetes vendidos. Use a reta de mínimos quadrados ŷ = a + b·x. É feita uma nova observação (18, 73). Encontre o seu resíduo e = y − ŷ.
n = 6(18, 73)
e =
3Soluções
1.Valor temporal do dinheiro
Resposta: PV = 400000 €
Valor temporal do dinheiro: o dinheiro hoje vale mais do que a mesma quantia no futuro, porque pode render juros. Com uma taxa i por período, um montante cresce para FV = PV·(1 + i)n. Uma série de pagamentos iguais (uma renda) avalia-se somando cada pagamento, o que dá as fórmulas das rendas.
Valor temporal do dinheiro: o dinheiro hoje vale mais do que a mesma quantia no futuro, porque pode render juros. Com uma taxa i por período, um montante cresce para FV = PV·(1 + i)n. Uma série de pagamentos iguais (uma renda) avalia-se somando cada pagamento, o que dá as fórmulas das rendas.
Valor atual líquido: desconte cada fluxo de caixa até hoje com a rendibilidade exigida r e some-os: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Um projeto com NPV > 0 rende mais do que r e cria valor. A taxa interna de rendibilidade (TIR) é a taxa para a qual NPV = 0.
Valor atual de cada fluxo
CF0 = −45 000
CF1/(1 + 0,05)1 = 11 000/1,05 = 10 476,19
CF2/(1 + 0,05)2 = 16 000/1,103 = 14 512,47
CF3/(1 + 0,05)3 = 10 000/1,158 = 8 638,38
CF4/(1 + 0,05)4 = 13 000/1,216 = 10 695,13
Somar
NPV = €−677,83
Resposta
NPV = €−677,83
O VAL é negativo, logo o projeto rende menos do que a rendibilidade exigida.
4.VAL e TIR
Resposta: IRR = 30,88 %
Valor atual líquido: desconte cada fluxo de caixa até hoje com a rendibilidade exigida r e some-os: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Um projeto com NPV > 0 rende mais do que r e cria valor. A taxa interna de rendibilidade (TIR) é a taxa para a qual NPV = 0.
Enquadrar a TIR
O VAL desce quando a taxa sobe, por isso a TIR está entre uma taxa com VAL positivo e outra com VAL negativo.
NPV(30%) = 127,45
NPV(35%) = −565,46
Aproximar
A interpolação linear dá uma primeira estimativa; repeti-la (ou usar a função TIR de uma calculadora) dá a taxa exata.
IRR ≈ 30 + 5·127,45/(127,45 − (−565,46)) = 30,92%
exato: NPV(30,88%) = 0 → IRR = 30,88%
Resposta
IRR = 30,88%
5.Preço e rendimento de títulos
Resposta: ΔP = −98,41 €
Precificação de títulos: o preço de um título é o valor presente dos seus fluxos de caixa, descontados ao rendimento até o vencimento (YTM): os cupons formam uma anuidade e o valor de face é devolvido no vencimento. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando o rendimento está acima da taxa de cupom, o título é negociado abaixo do valor de face, e vice-versa.
Precificação de títulos: o preço de um título é o valor presente dos seus fluxos de caixa, descontados ao rendimento até o vencimento (YTM): os cupons formam uma anuidade e o valor de face é devolvido no vencimento. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando o rendimento está acima da taxa de cupom, o título é negociado abaixo do valor de face, e vice-versa.
Equação do rendimento
€960 = €80·(1 − (1 + y)⁻³)/y + €1 000/(1 + y)³
Resolva numericamente
P(9%) = €974,69, P(10%) = €950,26
YTM = 9,597%
Resposta
YTM = 9,597%
7.CAPM e WACC
Resposta: WACC = 4,975 %
Custo de capital: o CAPM dá o retorno exigido pelos acionistas: re = rf + β·(rm − rf). O custo médio ponderado de capital combina capital próprio e dívida pelos seus valores de mercado: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), com V = E + D. Os juros são dedutíveis do imposto, daí o (1 − T).
Pesos
V = €8 000 000, E/V = 0,375, D/V = 0,625
WACC
WACC = 0,375·8% + 0,625·4%·(1 − 0,21) = 4,975%
Resposta
WACC = 4,975%
8.CAPM e WACC
Resposta: WACC = 6,299 %
Custo de capital: o CAPM dá o retorno exigido pelos acionistas: re = rf + β·(rm − rf). O custo médio ponderado de capital combina capital próprio e dívida pelos seus valores de mercado: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), com V = E + D. Os juros são dedutíveis do imposto, daí o (1 − T).
Custo do capital próprio
D1 = 1·1,03 = €1,03
re = 1,03/16 + 0,03 = 9,438%
Valores de mercado
E = 5 000 000·€16,00 = €80 000 000
V = €160 000 000, E/V = 0,5, D/V = 0,5
WACC
WACC = 0,5·9,438% + 0,5·4%·(1 − 0,21) = 6,299%
Resposta
WACC = 6,299%
9.Estatística descritiva
Resposta: s = 13,62
Estatística descritiva: a média é a soma a dividir por n; a mediana é o valor central dos dados ordenados (a média dos dois centrais se n for par). O desvio-padrão amostral é s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Uma pontuação z = (x − μ)/σ diz a quantos desvios-padrão da média está um valor.
Estatística descritiva: a média é a soma a dividir por n; a mediana é o valor central dos dados ordenados (a média dos dois centrais se n for par). O desvio-padrão amostral é s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Uma pontuação z = (x − μ)/σ diz a quantos desvios-padrão da média está um valor.
Padronizar
z = −1,5
Tabela da normal padrão
Φ(−1,5) = 0,06681
P = 1 − 0,06681 = 0,9332
Resposta
P = 0,9332
11.Probabilidades
Resposta: σ = 0,9097
Variáveis aleatórias discretas: uma distribuição de probabilidade lista cada valor x que uma variável pode assumir com sua probabilidade p(x); as probabilidades ficam entre 0 e 1 e somam 1. O valor esperado (média) é E(X) = Σx·p(x), a média de longo prazo. A variância é Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², e o desvio padrão é σ = √Var(X). Para uma mudança linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) e σY = |a|·σX; somar uma constante não muda a dispersão.
Média
μ = 0·0,3 + 1·0,3 + 2·0,35 + 3·0,05 = 1,15
Média dos quadrados
E(X²) = 0·0,3 + 1·0,3 + 4·0,35 + 9·0,05 = 2,15
Variância
Var(X) = 2,15 − 1,15² = 0,8275
σ = √0,8275 = 0,9097
Resposta
σ = 0,9097
12.Probabilidades
Resposta: σY = 4,815
Variáveis aleatórias discretas: uma distribuição de probabilidade lista cada valor x que uma variável pode assumir com sua probabilidade p(x); as probabilidades ficam entre 0 e 1 e somam 1. O valor esperado (média) é E(X) = Σx·p(x), a média de longo prazo. A variância é Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², e o desvio padrão é σ = √Var(X). Para uma mudança linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) e σY = |a|·σX; somar uma constante não muda a dispersão.
Dispersão de X
μ = 2,15, Var(X) = 0,9275, σX = 0,9631
Mudança linear
σY = |5|·0,9631 = 4,815
Resposta
σY = 4,815
A média de fato se desloca: E(Y) = 5·2,15 + 1 = 11,75.
13.Distribuição normal
Resposta: z = 2,13
De uma área de volta a z: Φ(z) é a área à esquerda de z. Para uma área de cauda esquerda A, encontre na tabela o z com Φ(z) = A. Uma área de cauda direita A significa Φ(z) = 1 − A. Uma área central A entre −z e z deixa (1 − A)/2 em cada cauda, então Φ(z) = (1 + A)/2. Para um valor x, use x = μ + zσ.
Área à esquerda de z
Φ(z) = 1 − 0,0166 = 0,9834
Leia a tabela de z ao contrário
Encontre 0,9834 dentro da tabela e leia z.
z = 2,13
Resposta
z = 2,13
14.Distribuição normal
Resposta: x = 56,6 pontos
De uma área de volta a z: Φ(z) é a área à esquerda de z. Para uma área de cauda esquerda A, encontre na tabela o z com Φ(z) = A. Uma área de cauda direita A significa Φ(z) = 1 − A. Uma área central A entre −z e z deixa (1 − A)/2 em cada cauda, então Φ(z) = (1 + A)/2. Para um valor x, use x = μ + zσ.
Área à esquerda
Φ(z) = 0,2
z da tabela
z ≈ −0,84
De volta às unidades originais
x = 65 − 0,84·10 = 56,6 pontos
Resposta
x = 56,6 pontos
15.Intervalos de confiança
Resposta: limite inferior = 111,3
Intervalo de confiança para uma média: x̄ ± margem de erro. Com σ populacional conhecido, a margem é z·σ/√n; tendo apenas o desvio-padrão amostral s, use t com n − 1 graus de liberdade: t·s/√n. Valores críticos: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Para obter uma margem E ou menor, você precisa de n ≥ (z·σ/E)², arredondado para cima.
Valor crítico
df = n − 1 = 19, t = 2,861
Margem de erro
E = 2,861·6,5/√20 = 4,158
Intervalo
115,5 ± 4,158 → [111,3, 119,7]
Resposta
limite inferior = 111,3
16.Intervalos de confiança
Resposta: limite inferior = 0,9039 kg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Desvio-padrão combinado
sp² = (4·3,5² + 6·7,5²)/10 = 38,65
sp = 6,217
Margem de erro
E = 1,812·6,217·√(1/5 + 1/7) = 6,596
Intervalo
7,5 ± 6,596 → [0,9039, 14,1]
Resposta
limite inferior = 0,9039 kg
17.Testes de hipóteses e intervalos de confiança
Resposta: t = −1,69
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Variância combinada
sp² = (10·8,5² + 19·11,5²)/29 = 111,6
sp = 10,56
Erro-padrão
SE = 10,56·√(1/11 + 1/20) = 3,965
Estatística de teste
t = (118,5 − 125,2)/3,965 = −1,69
Resposta
t = −1,69
Com gl = 29, o valor crítico bilateral a 5% é 2,045; |t| é menor, então H₀ não é rejeitada.
18.Testes de hipóteses e intervalos de confiança
Resposta: n = 1537
Teste a uma média: a estatística de teste mede a quantos erros-padrão a média amostral está do valor afirmado em H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) quando σ é conhecido, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) quando é estimado pela amostra. Um intervalo de confiança é x̄ ± (valor crítico)·(erro-padrão).
Resolver em ordem a n
n = (1,96·20/1)² = 1537
Arredondar para cima
n = 1537
Resposta
n = 1537
19.Regressão linear e correlação
Resposta: r = −0,9847
Regressão por mínimos quadrados: com x̄ e ȳ as médias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), a reta ŷ = a + b·x tem inclinação b = Sxy/Sxx e intercepto a = ȳ − b·x̄, então ela sempre passa por (x̄, ȳ). O coeficiente de correlação de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) fica entre −1 e 1; r² é a fração da variação de y explicada pela reta.
Médias
x̄ = 21/6 = 3,5
ȳ = 110/6 = 18,33
Somas de quadrados e de produtos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −45
Syy = Σ(y − ȳ)² = 119,3
Coeficiente de correlação
r = −45/√(17,5·119,3) = −0,9847
Resposta
r = −0,9847
20.Regressão linear e correlação
Resposta: e = −2,79
Regressão por mínimos quadrados: com x̄ e ȳ as médias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), a reta ŷ = a + b·x tem inclinação b = Sxy/Sxx e intercepto a = ȳ − b·x̄, então ela sempre passa por (x̄, ȳ). O coeficiente de correlação de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) fica entre −1 e 1; r² é a fração da variação de y explicada pela reta.
Médias
x̄ = 132/6 = 22
ȳ = 572/6 = 95,33
Somas de quadrados e de produtos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 342
Reta de regressão
b = 342/70 = 4,886
a = 95,33 − 4,886·22 = −12,15
ŷ = −12,15 + 4,886·x
Valor previsto
ŷ = −12,15 + 4,886·18 = 75,79
Resíduo
e = 73 − 75,79 = −2,79
Resposta
e = −2,79
O ponto está abaixo da reta.
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