Você investe €5 000 a 5% ao ano com capitalização contínua. Encontre o valor FV após 5 anos.
PV = €5 000r = 5%t = 5
FV = €
2.Valor temporal do dinheiroDifícil
Um financiamento imobiliário de €300 000 é pago em prestações mensais iguais ao longo de 25 anos a 2,4% ao ano, capitalizados mensalmente. Quanto ainda se deve logo após o pagamento do final do ano 11? Encontre o saldo devedor B.
P = €300 0002,4% / 12N = 300k = 132
B = €
3.VAL e TIRMédia
Um projeto custa €250 000 hoje. Ele gera €18 000 no final do primeiro ano, e o fluxo de caixa depois cresce 3% ao ano para sempre. O custo de capital é 9%. Encontre o valor presente líquido NPV.
C0 = €250 000CF1 = €18 000g = 3%r = 9%
NPV = €
4.VAL e TIRDifícil
Um investimento de €40 000 retorna €6 000 no final de cada ano durante 8 anos. Encontre sua taxa interna de retorno IRR em porcentagem.
C0 = €40 000CF = €6 000n = 8
IRR = %
5.Preço e rendimento de títulosMédia
Você compra um título com 11 anos até o vencimento (valor de face €1 000, cupom anual 3%) quando seu rendimento até o vencimento é 5%. Um ano depois, logo após receber o primeiro cupom, você o vende quando o rendimento até o vencimento é 5,5%. Encontre seu retorno no período de posse HPR em porcentagem.
F = €1 000cupom = 3%n = 11y0 = 5%y1 = 5,5%
HPR = %
6.Preço e rendimento de títulosDifícil
Um título é negociado a €930 com rendimento até o vencimento de 6% (capitalização anual) e duration de Macaulay de 4,4 anos. Use a duration modificada para estimar o novo preço P se o rendimento subir 150 pontos-base.
P0 = €930y = 6%D = 4,4Δy = +150 bp
P = €
7.CAPM e WACCMédia
Uma empresa tem capital próprio de €4 000 000 e dívida de €6 000 000. Seu custo do capital próprio é 14%, seu custo da dívida antes dos impostos é 4,5% e a alíquota de imposto é 20%. Calcule o WACC.
Uma empresa tem 1 000 000 ações negociadas a €32,00; o valor contábil do seu patrimônio líquido é €12 800 000. Ela acaba de pagar um dividendo de €1,10 por ação, e os dividendos crescem 5% ao ano. Sua dívida tem valor de mercado de €25 600 000 e custo antes dos impostos de 3%. A alíquota de imposto é 25,8%. Encontre o WACC, usando o modelo de crescimento de dividendos para o custo do capital próprio.
Calcule o desvio-padrão amostral s dos dados: 29, 21, 33, 58, 43.
n = 5
s =
10.Estatística descritivaDifícil
Uma grandeza segue uma distribuição normal com média 500 e desvio-padrão 100. Que proporção P dos valores está acima de 420?
μ = 500σ = 100x = 420
P =
11.ProbabilidadesMédia
Um saco tem 5 bolas vermelhas e 3 azuis. Tira duas bolas sem repor a primeira. Qual é a probabilidade P de ambas serem vermelhas?
5 / 3
P =
12.ProbabilidadesDifícil
Um teste tem 5 perguntas de escolha múltipla. Uma estudante que responde ao acaso acerta cada uma com probabilidade 0,25, de forma independente. Qual é a probabilidade P de acertar exatamente 1?
n = 5p = 0,25k = 1
P =
13.Distribuição normalMédia
Arraste z para que a área sombreada entre −z e z sob a curva normal padrão seja 0,9736. Encontre z com duas casas decimais.
A = 0,9736
z =
14.Distribuição normalDifícil
As alturas de homens adultos seguem uma distribuição normal com média 178 cm e desvio-padrão 7 cm. Calcule o valor x abaixo do qual estão 75% delas (o percentil 75).
μ = 178σ = 7P = 75%
x = cm
15.Intervalos de confiançaMédia
Uma amostra de 25 itens tem média 47,5 e desvio-padrão s = 17. A população é aproximadamente normal. Calcule o limite inferior do intervalo de confiança de 95% para a média.
n = 25x̄ = 47,5s = 1795%t(24) = 2,064
limite inferior =
16.Intervalos de confiançaDifícil
O desvio-padrão da população é 37. Qual o tamanho de amostra n necessário para que um intervalo de confiança de 99% para a média tenha margem de erro de no máximo 3?
σ = 37E = 399%
n =
17.Testes de hipóteses e intervalos de confiançaMédia
Uma amostra de 16 estudantes tem nota média 47,8 e desvio-padrão amostral 4. Calcule a estatística de teste t para H₀: μ = 50.
μ₀ = 50x̄ = 47,8s = 4n = 16
t =
18.Testes de hipóteses e intervalos de confiançaDifícil
Que tamanho deve ter uma amostra para que o intervalo de confiança a 90 % para uma média tenha uma margem de erro de no máximo 1,5? O desvio-padrão é 4. Calcule o menor tamanho de amostra n.
σ = 4E = 1,590%
n =
19.Regressão linear e correlaçãoMédia
A tabela dá 6 observações pareadas de x = gasto com publicidade em k€ e y = vendas em k€. Encontre o coeficiente de determinação r² da reta de mínimos quadrados.
n = 6
r² =
20.Regressão linear e correlaçãoDifícil
A tabela dá 5 observações pareadas de x = temperatura em °C e y = sorvetes vendidos. Use a reta de mínimos quadrados ŷ = a + b·x. É feita uma nova observação (16,5, 56). Encontre o seu resíduo e = y − ŷ.
n = 5(16,5, 56)
e =
3Soluções
1.Valor temporal do dinheiro
Resposta: FV = 6420 €
Valor temporal do dinheiro: o dinheiro hoje vale mais do que a mesma quantia no futuro, porque pode render juros. Com uma taxa i por período, um montante cresce para FV = PV·(1 + i)n. Uma série de pagamentos iguais (uma renda) avalia-se somando cada pagamento, o que dá as fórmulas das rendas.
Expoente
r·t = 0,05·5 = 0,25
e0,25 = 1,284
Valor futuro
FV = 5 000·1,284 = €6 420,13
Resposta
FV = €6 420,13
2.Valor temporal do dinheiro
Resposta: B = 189729 €
Valor temporal do dinheiro: o dinheiro hoje vale mais do que a mesma quantia no futuro, porque pode render juros. Com uma taxa i por período, um montante cresce para FV = PV·(1 + i)n. Uma série de pagamentos iguais (uma renda) avalia-se somando cada pagamento, o que dá as fórmulas das rendas.
O que ainda se deve precisa ser quitado exatamente pelas prestações restantes.
N − k = 300 − 132 = 168
B = 1331·(1 − (1 + 0,002)−168)/0,002 = €189 729,03
Resposta
B = €189 729,03
3.VAL e TIR
Resposta: NPV = 50000 €
Valor atual líquido: desconte cada fluxo de caixa até hoje com a rendibilidade exigida r e some-os: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Um projeto com NPV > 0 rende mais do que r e cria valor. A taxa interna de rendibilidade (TIR) é a taxa para a qual NPV = 0.
Valor dos fluxos de caixa
PV = 18 000/(0,09 − 0,03) = 300 000,00
NPV
NPV = 300 000,00 − 250 000 = €50 000,00
Resposta
NPV = €50 000,00
O VAL é positivo, logo o projeto rende mais do que a rendibilidade exigida.
4.VAL e TIR
Resposta: IRR = 4,239 %
Valor atual líquido: desconte cada fluxo de caixa até hoje com a rendibilidade exigida r e some-os: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Um projeto com NPV > 0 rende mais do que r e cria valor. A taxa interna de rendibilidade (TIR) é a taxa para a qual NPV = 0.
Fator de anuidade necessário
(1 − (1 + i)−8)/i = 40 000/6 000 = 6,667
Resolver para a taxa
O fator de anuidade diminui quando a taxa aumenta; delimite a taxa e vá estreitando o intervalo.
i = 4%: 6,733
i = 5%: 6,463
IRR = 4,239%
Resposta
IRR = 4,239%
5.Preço e rendimento de títulos
Resposta: HPR = 0,9219 %
Precificação de títulos: o preço de um título é o valor presente dos seus fluxos de caixa, descontados ao rendimento até o vencimento (YTM): os cupons formam uma anuidade e o valor de face é devolvido no vencimento. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando o rendimento está acima da taxa de cupom, o título é negociado abaixo do valor de face, e vice-versa.
Duration: a duration de Macaulay é o prazo médio ponderado em que um título paga seus fluxos de caixa, usando como pesos os valores presentes dos fluxos de caixa: D = Σ t·PVₜ/P. A duration modificada D/(1 + y) estima a variação percentual do preço para uma pequena variação do rendimento: %ΔP ≈ −Dmod·Δy.
Duration modificada
Dmod = 4,4/1,06 = 4,151
Variação estimada do preço
%ΔP ≈ −4,151·(0,015) = −6,226%
P ≈ 930·(1 − 0,06226) = €872,09
Resposta
P = €872,09
A duration é uma estimativa linear; para grandes variações de rendimento a convexidade torna o preço real um pouco mais alto.
7.CAPM e WACC
Resposta: WACC = 7,76 %
Custo de capital: o CAPM dá o retorno exigido pelos acionistas: re = rf + β·(rm − rf). O custo médio ponderado de capital combina capital próprio e dívida pelos seus valores de mercado: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), com V = E + D. Os juros são dedutíveis do imposto, daí o (1 − T).
Pesos
V = €10 000 000, E/V = 0,4, D/V = 0,6
WACC
WACC = 0,4·14% + 0,6·4,5%·(1 − 0,2) = 7,76%
Resposta
WACC = 7,76%
8.CAPM e WACC
Resposta: WACC = 5,772 %
Custo de capital: o CAPM dá o retorno exigido pelos acionistas: re = rf + β·(rm − rf). O custo médio ponderado de capital combina capital próprio e dívida pelos seus valores de mercado: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), com V = E + D. Os juros são dedutíveis do imposto, daí o (1 − T).
Estatística descritiva: a média é a soma a dividir por n; a mediana é o valor central dos dados ordenados (a média dos dois centrais se n for par). O desvio-padrão amostral é s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Uma pontuação z = (x − μ)/σ diz a quantos desvios-padrão da média está um valor.
Estatística descritiva: a média é a soma a dividir por n; a mediana é o valor central dos dados ordenados (a média dos dois centrais se n for par). O desvio-padrão amostral é s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Uma pontuação z = (x − μ)/σ diz a quantos desvios-padrão da média está um valor.
Padronizar
z = −0,8
Tabela da normal padrão
Φ(−0,8) = 0,2119
P = 1 − 0,2119 = 0,7881
Resposta
P = 0,7881
11.Probabilidades
Resposta: P = 0,3571
Probabilidades: com resultados equiprováveis, P(A) = favoráveis/possíveis. Para acontecimentos independentes multiplica-se: P(A e B) = P(A)·P(B). O complementar ajuda muitas vezes: P(pelo menos um) = 1 − P(nenhum). Binomial: em n provas independentes com probabilidade de sucesso p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Primeira e segunda tiragem
P = 5/8 · 4/7 = 20/56 = 0,3571
Resposta
P = 0,3571
12.Probabilidades
Resposta: P = 0,3955
Probabilidades: com resultados equiprováveis, P(A) = favoráveis/possíveis. Para acontecimentos independentes multiplica-se: P(A e B) = P(A)·P(B). O complementar ajuda muitas vezes: P(pelo menos um) = 1 − P(nenhum). Binomial: em n provas independentes com probabilidade de sucesso p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Fórmula binomial
P(X = 1) = 5·0,251·0,754 = 5·0,25·0,3164 = 0,3955
Resposta
P = 0,3955
13.Distribuição normal
Resposta: z = 2,22
De uma área de volta a z: Φ(z) é a área à esquerda de z. Para uma área de cauda esquerda A, encontre na tabela o z com Φ(z) = A. Uma área de cauda direita A significa Φ(z) = 1 − A. Uma área central A entre −z e z deixa (1 − A)/2 em cada cauda, então Φ(z) = (1 + A)/2. Para um valor x, use x = μ + zσ.
Área à esquerda de z
Φ(z) = (1 + 0,9736)/2 = 0,9868
Leia a tabela de z ao contrário
Encontre 0,9868 dentro da tabela e leia z.
z = 2,22
Resposta
z = 2,22
14.Distribuição normal
Resposta: x = 182,7 cm
Distribuição normal: converta um valor x em uma pontuação z, z = (x − μ)/σ, que conta quantos desvios-padrão ele está da média. Uma tabela z (ou Φ(z)) dá a área à esquerda de z, que é P(X < x). A área à direita é 1 − Φ(z), e a área entre dois valores é a diferença entre as duas áreas.
z do percentil
Φ(z) = 0,75 → z = 0,6745
De volta a x
x = 178 + 0,6745·7 = 182,72 cm
Resposta
x = 182,72 cm
15.Intervalos de confiança
Resposta: limite inferior = 40,48
Intervalo de confiança para uma média: x̄ ± margem de erro. Com σ populacional conhecido, a margem é z·σ/√n; tendo apenas o desvio-padrão amostral s, use t com n − 1 graus de liberdade: t·s/√n. Valores críticos: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Para obter uma margem E ou menor, você precisa de n ≥ (z·σ/E)², arredondado para cima.
Valor crítico
df = n − 1 = 24, t = 2,064
Margem de erro
E = 2,064·17/√25 = 7,018
Intervalo
47,5 ± 7,018 → [40,48, 54,52]
Resposta
limite inferior = 40,48
16.Intervalos de confiança
Resposta: n = 1010
Intervalo de confiança para uma média: x̄ ± margem de erro. Com σ populacional conhecido, a margem é z·σ/√n; tendo apenas o desvio-padrão amostral s, use t com n − 1 graus de liberdade: t·s/√n. Valores críticos: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Para obter uma margem E ou menor, você precisa de n ≥ (z·σ/E)², arredondado para cima.
Resolver em ordem a n
n = (2,576·37/3)² = 1009
Arredondar para cima
O tamanho da amostra é um número inteiro, e arredondar para baixo deixaria a margem grande demais.
n = 1010
Resposta
n = 1010
17.Testes de hipóteses e intervalos de confiança
Resposta: t = −2,2
Teste a uma média: a estatística de teste mede a quantos erros-padrão a média amostral está do valor afirmado em H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) quando σ é conhecido, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) quando é estimado pela amostra. Um intervalo de confiança é x̄ ± (valor crítico)·(erro-padrão).
Erro-padrão
SE = 4/√16 = 4/4 = 1
Estatística de teste
t = (47,8 − 50)/1 = −2,2
Resposta
t = −2,2
t0,025; df = 15 = 2,131
|t| > 2,131, então H₀ é rejeitada ao nível de 5% (bilateral).
18.Testes de hipóteses e intervalos de confiança
Resposta: n = 20
Teste a uma média: a estatística de teste mede a quantos erros-padrão a média amostral está do valor afirmado em H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) quando σ é conhecido, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) quando é estimado pela amostra. Um intervalo de confiança é x̄ ± (valor crítico)·(erro-padrão).
Resolver em ordem a n
n = (1,645·4/1,5)² = 19,24
Arredondar para cima
n = 20
Resposta
n = 20
19.Regressão linear e correlação
Resposta: r² = 0,8287
Regressão por mínimos quadrados: com x̄ e ȳ as médias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), a reta ŷ = a + b·x tem inclinação b = Sxy/Sxx e intercepto a = ȳ − b·x̄, então ela sempre passa por (x̄, ȳ). O coeficiente de correlação de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) fica entre −1 e 1; r² é a fração da variação de y explicada pela reta.
Médias
x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 212/6 = 35,33
Somas de quadrados e de produtos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 130
Syy = Σ(y − ȳ)² = 291,3
Coeficiente de determinação
r² = 130²/(70·291,3) = 0,8287
Resposta
r² = 0,8287
Cerca de 82,87% da variação de y é explicada pela reta.
20.Regressão linear e correlação
Resposta: e = 2,55
Regressão por mínimos quadrados: com x̄ e ȳ as médias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), a reta ŷ = a + b·x tem inclinação b = Sxy/Sxx e intercepto a = ȳ − b·x̄, então ela sempre passa por (x̄, ȳ). O coeficiente de correlação de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) fica entre −1 e 1; r² é a fração da variação de y explicada pela reta.
Médias
x̄ = 105/5 = 21
ȳ = 361/5 = 72,2
Somas de quadrados e de produtos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 90
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 375
Reta de regressão
b = 375/90 = 4,167
a = 72,2 − 4,167·21 = −15,3
ŷ = −15,3 + 4,167·x
Valor previsto
ŷ = −15,3 + 4,167·16,5 = 53,45
Resíduo
e = 56 − 53,45 = 2,55
Resposta
e = 2,55
O ponto está acima da reta.
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