Prática de métodos quantitativos e renda fixa do CFA Level I: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 20 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Valor temporal do dinheiro

Valor futuro: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Valor atual: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Vários períodos por ano: i = r/m, N = m·n
Anuidade, valor atual: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Anuidade, valor futuro: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Método

Desenhe uma linha do tempo com cada fluxo de caixa e o momento em que ocorre.
Ajuste a taxa ao período: uma taxa mensal para pagamentos mensais.
Use FV = PV·(1 + i)ⁿ para valores únicos e as fórmulas de anuidade para pagamentos iguais.
Verifique o sinal e a ordem de grandeza da resposta.

VAL e TIR

Valor atual líquido: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Fluxos iguais: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Taxa interna de retorno: o r em que NPV = 0
Decisão: aceitar se NPV > 0 (ou IRR > retorno exigido)

Método

Liste todos os fluxos de caixa com o seu ano; o investimento no ano 0 é negativo.
Desconte cada fluxo de caixa: CF_t/(1 + r)^t.
Some-os para obter o VPL. Positivo significa que o projeto rende mais que r.
Para a TIR, encontre a taxa que zera o VPL por tentativa ou interpolação.

Preço e rendimento de títulos

Preço do título: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Semestral: C/2, y/2 e 2n períodos
Rendimento corrente: C/P
Preço e rendimento: rendimento sobe → preço cai

Método

Encontre o cupom por período e o rendimento por período.
Preço = valor presente dos cupons (uma anuidade) + valor presente do valor de face.
Para cupons semestrais use metade do cupom, metade do rendimento e o dobro de períodos.
Verificação: se o rendimento está acima da taxa de cupom, o preço fica abaixo do valor de face.

CAPM e WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Valor da empresa: V = E + D

Estatística descritiva

Média: x̄ = Σx/n
Desvio-padrão amostral: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: valor do meio dos dados ordenados
Pontuação z: z = (x − μ)/σ
Distribuição normal: 68% dentro de ±1σ, 95% dentro de ±2σ

Probabilidades

Complementar: P(not A) = 1 − P(A)
Regra da adição: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Eventos independentes: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Probabilidade condicional: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Distribuição normal

Pontuação z: z = (x − μ)/σ
Abaixo de x: P(X < x) = Φ(z)
Acima de x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Entre: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentil: x = μ + z·σ

Método

Converta o valor em um escore z: z = (x − μ)/σ.
Procure Φ(z), a área à esquerda de z.
Para a área à direita use 1 − Φ(z); para um intervalo subtraia as duas áreas à esquerda.
Para um percentil, faça o caminho inverso: encontre z para a área e depois x = μ + z·σ.

Intervalos de confiança

σ conhecido: x̄ ± z·σ/√n
σ desconhecido: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z crítico: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Tamanho da amostra: n = (z·σ/E)², rounded up

Método

Escolha entre z (σ populacional conhecido) e t (só o s amostral, com n − 1 graus de liberdade).
Encontre o valor crítico para o nível de confiança.
Margem de erro: E = valor crítico × desvio-padrão/√n.
Intervalo: x̄ ± E.

Testes de hipóteses e intervalos de confiança

Teste z para uma média: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Teste t para uma média: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Bilateral a 5%: rejeite H₀ se |z| > 1,96
Intervalo de confiança: x̄ ± z·σ/√n

Método

Enuncie H₀ e H₁ e decida se o teste é unilateral ou bilateral.
Calcule a estatística de teste: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), ou com s e t.
Compare com o valor crítico, ou encontre o valor-p.
Rejeite H₀ se a estatística estiver além do valor crítico (p abaixo de α) e enuncie a conclusão em palavras.

Regressão linear e correlação

Somas de quadrados: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Inclinação: b = S_xy/S_xx
Intercepto: a = ȳ − b·x̄
Correlação: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Resíduo: e = y − ŷ

2Exercícios

1.Valor temporal do dinheiroMédia

Uma anuidade paga €5 000 no final de cada ano durante 8 anos. A taxa de juros é 6% ao ano. Encontre o valor presente PV da anuidade.

A = €5 000i = 6%n = 8

PV = €

2.Valor temporal do dinheiroDifícil

Um empréstimo de €15 000 é pago em prestações mensais iguais ao longo de 6 anos a 3,6% ao ano, capitalizados mensalmente. Quanto de juros I é pago no total durante a vida do empréstimo?

P = €15 0003,6% / 12N = 72

I = €

3.VAL e TIRMédia

Uma máquina custa €60 000 hoje. Ela gera €8 500 no final de cada ano durante 8 anos e depois pode ser vendida por €15 000. O custo de capital é 6%. Encontre o valor presente líquido NPV.

C₀ = €60 000CF = €8 500S = €15 000n = 8r = 6%

NPV = €

4.VAL e TIRDifícil

Um projeto custa €25 000 e devolve €15 000, €16 000 no fim dos anos 1 a 2. Calcule a sua taxa interna de rendibilidade IRR em percentagem.

CF₀ = −25 000CF₁ = 15 000CF₂ = 16 000

IRR = %

5.Preço e rendimento de títulosMédia

Um título com valor de face de €1 000 paga um cupom anual de 7% em dois pagamentos semestrais e vence em 10 anos. O rendimento até o vencimento é de 3% ao ano. Calcule o preço P do título.

F = €1 000cupom = 7%YTM = 3%n = 10

P = €

6.Preço e rendimento de títulosDifícil

Um título com valor de face de €1 000 paga um cupom anual de 4,5% em dois pagamentos semestrais e vence em 10 anos. Ele é vendido a €822. Encontre seu rendimento até o vencimento YTM como taxa anual (o dobro do rendimento semestral), em porcentagem.

F = €1 000cupom = 4,5% (2×)n = 10P = €822

YTM = %

7.CAPM e WACCMédia

Uma empresa tem capital próprio no valor de €5 000 000 e dívida no valor de €2 000 000. Seu WACC é 8,78%, seu custo da dívida antes dos impostos é 4,5% e a alíquota de imposto é 28%. Encontre o custo do capital próprio r_e.

E = €5 000 000D = €2 000 000WACC = 8,78%r_d = 4,5%T = 28%

r_e = %

8.CAPM e WACCDifícil

Uma empresa tem 4 000 000 ações a €44,00 cada e 10 000 títulos negociados a €1 050 cada. O custo da dívida antes dos impostos é 7% e a alíquota de imposto é 25,8%. O beta da ação é 1,3, a taxa livre de risco é 3% e o retorno do mercado é 8%. Calcule o WACC.

β = 1,3r_f = 3%r_m = 8%r_d = 7%T = 25,8%

WACC = %

9.Estatística descritivaMédia

Calcule o desvio-padrão amostral s dos dados: 41, 55, 29, 16, 41.

n = 5

s =

10.Estatística descritivaDifícil

Uma grandeza segue uma distribuição normal com média 50 e desvio-padrão 5. Que proporção P dos valores está abaixo de 60?

μ = 50σ = 5x = 60

P =

11.ProbabilidadesMédia

Para a distribuição mostrada, encontre o desvio padrão σ de X.

x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0,25, 0,05, 0,35, 0,25, 0,1

σ =

12.ProbabilidadesDifícil

Testam-se 12 componentes e cada um avaria com probabilidade 0,5, de forma independente. Qual é a probabilidade P de avariar no máximo um?

n = 12p = 0,5

P =

13.Distribuição normalMédia

As massas de sacos seguem uma distribuição normal com média 250 g e desvio-padrão 5 g. Que fração está entre 246,25 e 257,75 g? Dê P em forma decimal.

μ = 250σ = 5x₁ = 246,25x₂ = 257,75

P =

14.Distribuição normalDifícil

As alturas de homens adultos seguem uma distribuição normal com média 178 cm e desvio-padrão 7 cm. Calcule o valor x abaixo do qual estão 97,5% delas (o percentil 97,5).

μ = 178σ = 7P = 97,5%

x = cm

15.Intervalos de confiançaMédia

Uma amostra de 7 itens tem média 52 e desvio-padrão s = 12,5. A população é aproximadamente normal. Calcule o limite inferior do intervalo de confiança de 95% para a média.

n = 7x̄ = 52s = 12,595%t(6) = 2,447

limite inferior =

16.Intervalos de confiançaDifícil

O desvio-padrão da população é 40. Qual o tamanho de amostra n necessário para que um intervalo de confiança de 99% para a média tenha margem de erro de no máximo 0,5?

σ = 40E = 0,599%

n =

17.Testes de hipóteses e intervalos de confiançaMédia

Uma amostra de 25 estudantes tem nota média 77,4 e desvio-padrão amostral 5. Calcule a estatística de teste t para H₀: μ = 75.

μ₀ = 75x̄ = 77,4s = 5n = 25

t =

18.Testes de hipóteses e intervalos de confiançaDifícil

Em um ensaio, 65 de 100 pacientes com o tratamento A se recuperam, e 173 de 250 pacientes com o tratamento B. Usando a proporção combinada, encontre a estatística de teste z para H₀: p₁ = p₂.

x₁ = 65n₁ = 100x₂ = 173n₂ = 250

z =

19.Regressão linear e correlaçãoMédia

A tabela dá 5 observações pareadas de x = carga em kN e y = alongamento em mm. As suas somas são dadas. Encontre o coeficiente de correlação de Pearson r a partir dessas somas.

n = 5Σx = 30Σy = 83Σx² = 220Σy² = 1647Σxy = 600

r =

20.Regressão linear e correlaçãoDifícil

A tabela dá 6 observações pareadas de x = carga em kN e y = alongamento em mm. Use a reta de mínimos quadrados ŷ = a + b·x. É feita uma nova observação (5, 16). Encontre o seu resíduo e = y − ŷ.

n = 6(5, 16)

e =

3Soluções

1.Valor temporal do dinheiro

Resposta: PV = 31049 €

Valor temporal do dinheiro: o dinheiro hoje vale mais do que a mesma quantia no futuro, porque pode render juros. Com uma taxa i por período, um montante cresce para FV = PV·(1 + i)ⁿ. Uma série de pagamentos iguais (uma renda) avalia-se somando cada pagamento, o que dá as fórmulas das rendas.

Fator de anuidade

(1 − (1 + i)⁻ⁿ)/i = (1 − 0,6274)/0,06 = 6,21

Valor atual

PV = 5 000·6,21 = €31 048,97

Resposta

PV = €31 048,97

2.Valor temporal do dinheiro

Resposta: I = 1701 €

Prestação mensal

i = 0,003, N = 72

A = 15 000·0,003/(1 − (1 + 0,003)⁻⁷²) = €231,95

Juros totais

I = N·A − P = 72·232 − 15 000 = €1 700,68

Resposta

I = €1 700,68

3.VAL e TIR

Resposta: NPV = 2194 €

Valor atual líquido: desconte cada fluxo de caixa até hoje com a rendibilidade exigida r e some-os: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Um projeto com NPV > 0 rende mais do que r e cria valor. A taxa interna de rendibilidade (TIR) é a taxa para a qual NPV = 0.

Valor presente dos fluxos de caixa anuais

8 500·6,21 = 52 783,25

Valor presente do valor residual

15 000/1,594 = 9 411,19

NPV

NPV = −60 000 + 52 783,25 + 9 411,19 = €2 194,43

Resposta

NPV = €2 194,43

4.VAL e TIR

Resposta: IRR = 15,44 %

Enquadrar a TIR

O VAL desce quando a taxa sobe, por isso a TIR está entre uma taxa com VAL positivo e outra com VAL negativo.

NPV(15%) = 141,78

NPV(20%) = −1 388,89

Aproximar

A interpolação linear dá uma primeira estimativa; repeti-la (ou usar a função TIR de uma calculadora) dá a taxa exata.

IRR ≈ 15 + 5·141,78/(141,78 − (−1 388,89)) = 15,46%

exato: NPV(15,44%) = 0 → IRR = 15,44%

Resposta

IRR = 15,44%

5.Preço e rendimento de títulos

Resposta: P = 1343 €

Precificação de títulos: o preço de um título é o valor presente dos seus fluxos de caixa, descontados ao rendimento até o vencimento (YTM): os cupons formam uma anuidade e o valor de face é devolvido no vencimento. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando o rendimento está acima da taxa de cupom, o título é negociado abaixo do valor de face, e vice-versa.

Por período

C = €35,00, i = 0,015, N = 20

Valor presente dos cupons

€35,00·(1 − 0,7425)/0,015 = €600,90

Valor presente do valor de face

€1 000·0,7425 = €742,47

Preço

P = €1 343,37

Resposta

P = €1 343,37

O rendimento está abaixo da taxa de cupom, então o título é vendido com ágio.

6.Preço e rendimento de títulos

Resposta: YTM = 7,005 %

Por período

C = €22,50, N = 20

Resolva numericamente

i = 3,503% por semestre

YTM

YTM = 2·3,503% = 7,005%

Resposta

YTM = 7,005%

7.CAPM e WACC

Resposta: r_e = 11 %

Custo de capital: o CAPM dá o retorno exigido pelos acionistas: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). O custo médio ponderado de capital combina capital próprio e dívida pelos seus valores de mercado: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), com V = E + D. Os juros são dedutíveis do imposto, daí o (1 − T).

Pesos

V = €7 000 000, E/V = 0,7143, D/V = 0,2857

Parte da dívida no WACC

0,2857·4,5%·(1 − 0,28) = 0,9257%

Custo do capital próprio

r_e = (8,78% − 0,9257%)/0,7143 = 11%

Resposta

r_e = 11%

8.CAPM e WACC

Resposta: WACC = 9,258 %

Valores de mercado

E = 4 000 000·€44,00 = €176 000 000

D = 10 000·€1 050 = €10 500 000

Custo do capital próprio (CAPM)

r_e = 3% + 1,3·5% = 9,5%

Pesos

V = €186 500 000, E/V = 0,9437, D/V = 0,0563

WACC

WACC = 0,9437·9,5% + 0,0563·7%·(1 − 0,258) = 9,258%

Resposta

WACC = 9,258%

9.Estatística descritiva

Resposta: s = 14,66

Estatística descritiva: a média é a soma a dividir por n; a mediana é o valor central dos dados ordenados (a média dos dois centrais se n for par). O desvio-padrão amostral é s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Uma pontuação z = (x − μ)/σ diz a quantos desvios-padrão da média está um valor.

Média

x̄ = 182/5 = 36,4

Desvios ao quadrado

Σ(x − x̄)² = 4,6² + 18,6² + (−7,4)² + (−20,4)² + 4,6² = 859,2

Desvio-padrão

s = √(859,2/4) = 14,66

Resposta

s = 14,66

10.Estatística descritiva

Resposta: P = 0,9772

Padronizar

z = 2

Tabela da normal padrão

Φ(2) = 0,9772

P = 0,9772

Resposta

P = 0,9772

11.Probabilidades

Resposta: σ = 1,3

Variáveis aleatórias discretas: uma distribuição de probabilidade lista cada valor x que uma variável pode assumir com sua probabilidade p(x); as probabilidades ficam entre 0 e 1 e somam 1. O valor esperado (média) é E(X) = Σx·p(x), a média de longo prazo. A variância é Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², e o desvio padrão é σ = √Var(X). Para uma mudança linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) e σ_Y = |a|·σ_X; somar uma constante não muda a dispersão.

Média

μ = 1·0,25 + 2·0,05 + 3·0,35 + 4·0,25 + 5·0,1 = 2,9

Média dos quadrados

E(X²) = 1·0,25 + 4·0,05 + 9·0,35 + 16·0,25 + 25·0,1 = 10,1

Variância

Var(X) = 10,1 − 2,9² = 1,69

σ = √1,69 = 1,3

Resposta

σ = 1,3

12.Probabilidades

Resposta: P = 0,003174

Probabilidades: com resultados equiprováveis, P(A) = favoráveis/possíveis. Para acontecimentos independentes multiplica-se: P(A e B) = P(A)·P(B). O complementar ajuda muitas vezes: P(pelo menos um) = 1 − P(nenhum). Binomial: em n provas independentes com probabilidade de sucesso p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Zero e uma avaria

P(X = 0) = 0,5¹² = 0,0002441

P(X = 1) = 12·0,5·0,5¹¹ = 0,00293

Some

P = 0,0002441 + 0,00293 = 0,003174

Resposta

P = 0,003174

13.Distribuição normal

Resposta: P = 0,7128

Distribuição normal: converta um valor x em uma pontuação z, z = (x − μ)/σ, que conta quantos desvios-padrão ele está da média. Uma tabela z (ou Φ(z)) dá a área à esquerda de z, que é P(X < x). A área à direita é 1 − Φ(z), e a área entre dois valores é a diferença entre as duas áreas.

Pontuações z

z₁ = (246,25 − 250)/5 = −0,75

z₂ = (257,75 − 250)/5 = 1,55

Área entre os valores

P = Φ(1,55) − Φ(−0,75) = 0,9394 − 0,2266 = 0,7128

Resposta

P = 0,7128

14.Distribuição normal

Resposta: x = 191,7 cm

z do percentil

Φ(z) = 0,975 → z = 1,96

De volta a x

x = 178 + 1,96·7 = 191,72 cm

Resposta

x = 191,72 cm

15.Intervalos de confiança

Resposta: limite inferior = 40,44

Intervalo de confiança para uma média: x̄ ± margem de erro. Com σ populacional conhecido, a margem é z·σ/√n; tendo apenas o desvio-padrão amostral s, use t com n − 1 graus de liberdade: t·s/√n. Valores críticos: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Para obter uma margem E ou menor, você precisa de n ≥ (z·σ/E)², arredondado para cima.

Valor crítico

df = n − 1 = 6, t = 2,447

Margem de erro

E = 2,447·12,5/√7 = 11,56

Intervalo

52 ± 11,56 → [40,44, 63,56]

Resposta

limite inferior = 40,44

16.Intervalos de confiança

Resposta: n = 42469

Resolver em ordem a n

n = (2,576·40/0,5)² = 42469

Arredondar para cima

O tamanho da amostra é um número inteiro, e arredondar para baixo deixaria a margem grande demais.

n = 42469

Resposta

n = 42469

17.Testes de hipóteses e intervalos de confiança

Resposta: t = 2,4

Teste a uma média: a estatística de teste mede a quantos erros-padrão a média amostral está do valor afirmado em H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) quando σ é conhecido, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) quando é estimado pela amostra. Um intervalo de confiança é x̄ ± (valor crítico)·(erro-padrão).

Erro-padrão

SE = 5/√25 = 5/5 = 1

Estatística de teste

t = (77,4 − 75)/1 = 2,4

Resposta

t = 2,4

t_{0,025; df = 24} = 2,064

|t| > 2,064, então H₀ é rejeitada ao nível de 5% (bilateral).

18.Testes de hipóteses e intervalos de confiança

Resposta: z = −0,7609

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Proporções amostrais

p̂₁ = 65/100 = 0,65

p̂₂ = 173/250 = 0,692

p̂ = 238/350 = 0,68

Erro-padrão sob H₀

SE = √(0,68·0,32·(1/100 + 1/250)) = 0,05519

Estatística de teste

z = (0,65 − 0,692)/0,05519 = −0,7609

Resposta

z = −0,7609

|z| < 1,96, então H₀ não é rejeitada ao nível de 5% (bilateral).

19.Regressão linear e correlação

Resposta: r = 0,983

Regressão por mínimos quadrados: com x̄ e ȳ as médias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), a reta ŷ = a + b·x tem inclinação b = Sxy/Sxx e intercepto a = ȳ − b·x̄, então ela sempre passa por (x̄, ȳ). O coeficiente de correlação de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) fica entre −1 e 1; r² é a fração da variação de y explicada pela reta.

Somas centradas

S_xy = 600 − 30·83/5 = 102

S_xx = 220 − 30²/5 = 40

S_yy = 1647 − 83²/5 = 269,2

Coeficiente de correlação

r = 102/√(40·269,2) = 0,983

Resposta

r = 0,983

20.Regressão linear e correlação

Resposta: e = 2,214

Médias

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 111/6 = 18,5

Somas de quadrados e de produtos

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 165

Reta de regressão

b = 165/70 = 2,357

a = 18,5 − 2,357·7 = 2

ŷ = 2 + 2,357·x

Valor previsto

ŷ = 2 + 2,357·5 = 13,79

Resíduo

e = 16 − 13,79 = 2,214

Resposta

e = 2,214

O ponto está acima da reta.

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