Investe €2 000 a uma taxa nominal de 3 % ao ano, capitalizada trimestralmente. Calcule o valor FV do investimento ao fim de 10 anos.
PV = €2 0003% / 4n = 10
FV = €
2.Valor temporal do dinheiroDifícil
Um empréstimo de €200 000 é pago em prestações mensais iguais durante 25 anos. A taxa de juro é de 6 % ao ano, capitalizada mensalmente. Calcule a prestação mensal A.
P = €200 0006% / 12N = 300
A = €
3.VAL e TIRMédia
Uma máquina custa €30 000 hoje, dura 7 anos e custa €5 000 por ano para operar (pagos no final de cada ano). O custo de capital é 5%. Encontre seu custo anual equivalente EAC.
C0 = €30 000M = €5 000n = 7r = 5%
EAC = €
4.VAL e TIRDifícil
Um projeto custa €150 000 hoje. Seu fluxo de caixa é €37 500 no final do ano 1 e cresce 4% ao ano até o último fluxo de caixa, no final do ano 4. O custo de capital é 12%. Encontre o valor presente líquido NPV.
C0 = €150 000CF1 = €37 500g = 4%n = 4r = 12%
NPV = €
5.Preço e rendimento de títulosMédia
Um título com valor de face de €1 000 vence em 6 anos e paga cupons anuais. Ele é vendido a €1 083 quando o rendimento até o vencimento é 2,5%. Encontre a taxa de cupom c em porcentagem.
F = €1 000n = 6P = €1 083YTM = 2,5%
c = %
6.Preço e rendimento de títulosDifícil
Um título com valor de face de €1 000 e cupom anual de 4% vence em 8 anos e é vendido por €905. Calcule seu rendimento até o vencimento YTM em porcentagem.
F = €1 000cupom = 4%n = 8P = €905
YTM = %
7.CAPM e WACCMédia
Uma empresa tem capital próprio de €3 000 000 e dívida de €3 000 000. Seu custo do capital próprio é 14%, seu custo da dívida antes dos impostos é 4% e a alíquota de imposto é 30%. Calcule o WACC.
Uma empresa tem 1 000 000 ações negociadas a €50,50; o valor contábil do seu patrimônio líquido é €20 200 000. Ela acaba de pagar um dividendo de €2,60 por ação, e os dividendos crescem 4% ao ano. Sua dívida tem valor de mercado de €15 200 000 e custo antes dos impostos de 3%. A alíquota de imposto é 25,8%. Encontre o WACC, usando o modelo de crescimento de dividendos para o custo do capital próprio.
X é normal com média 12 min e desvio padrão 1,5 min; Y é independente e normal com média 20 min e desvio padrão 2 min. Encontre a probabilidade P de X + Y ser maior que 35,8 min. Arredonde z para duas casas decimais.
μX = 12, σX = 1,5μY = 20, σY = 2X + Y > 35,8 min
P =
14.Distribuição normalDifícil
Os pontuações de QI têm distribuição normal com média 100 pontos e desvio padrão 15 pontos. Arraste o ponto de corte para que os 5% inferiores sombreados fiquem à esquerda dele. Encontre o ponto de corte x.
μ = 100 pontosσ = 15 pontos5%
x = pontos
15.Intervalos de confiançaMédia
Uma amostra de 15 itens tem média 74,5 e desvio-padrão s = 15. A população é aproximadamente normal. Calcule o limite inferior do intervalo de confiança de 95% para a média.
n = 15x̄ = 74,5s = 1595%t(14) = 2,145
limite inferior =
16.Intervalos de confiançaDifícil
O desvio-padrão da população é 22. Qual o tamanho de amostra n necessário para que um intervalo de confiança de 95% para a média tenha margem de erro de no máximo 5?
σ = 22E = 595%
n =
17.Testes de hipóteses e intervalos de confiançaMédia
Uma amostra de 36 estudantes tem nota média 117,4 e desvio-padrão amostral 5. Calcule a estatística de teste t para H₀: μ = 120.
μ₀ = 120x̄ = 117,4s = 5n = 36
t =
18.Testes de hipóteses e intervalos de confiançaDifícil
Um teste z unilateral com α = 0,05 deve detectar um deslocamento da média de 4 unidades com poder de 95%. O desvio-padrão é 24. Encontre o tamanho mínimo da amostra n.
A tabela dá 6 observações pareadas de x = temperatura em °C e y = sorvetes vendidos. As suas somas são dadas. Encontre o coeficiente de correlação de Pearson r a partir dessas somas.
A tabela dá 6 observações pareadas de x = gasto com publicidade em k€ e y = vendas em k€. Use a reta de mínimos quadrados ŷ = a + b·x. Preveja ŷ para x = 7,5.
n = 6x = 7,5
ŷ =
3Soluções
1.Valor temporal do dinheiro
Resposta: FV = 2697 €
Valor temporal do dinheiro: o dinheiro hoje vale mais do que a mesma quantia no futuro, porque pode render juros. Com uma taxa i por período, um montante cresce para FV = PV·(1 + i)n. Uma série de pagamentos iguais (uma renda) avalia-se somando cada pagamento, o que dá as fórmulas das rendas.
Valor temporal do dinheiro: o dinheiro hoje vale mais do que a mesma quantia no futuro, porque pode render juros. Com uma taxa i por período, um montante cresce para FV = PV·(1 + i)n. Uma série de pagamentos iguais (uma renda) avalia-se somando cada pagamento, o que dá as fórmulas das rendas.
Taxa mensal e número de prestações
i = 0,06/12 = 0,005
N = 12·25 = 300
Prestação
O valor atual de N pagamentos iguais A é A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Iguale-o ao empréstimo e resolva em ordem a A.
(1 + i)−N = 0,224
A = 200 000·0,005/(1 − 0,224) = €1 288,60
Resposta
A = €1 288,60
3.VAL e TIR
Resposta: EAC = 10185 €
Custo anual equivalente: distribua o valor presente de todos os custos ao longo da vida como um valor anual igual (uma anuidade): EAC = PV·r/(1 − (1 + r)⁻ⁿ). Isso permite comparar máquinas com vidas diferentes.
Fator de anuidade
(1 − 1,05−7)/0,05 = 5,786
Preço de compra anualizado
30 000/5,786 = 5 184,59
EAC
EAC = 5 184,59 + 5 000 = €10 184,59
Resposta
EAC = €10 184,59
4.VAL e TIR
Resposta: NPV = −29750 €
Valor atual líquido: desconte cada fluxo de caixa até hoje com a rendibilidade exigida r e some-os: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Um projeto com NPV > 0 rende mais do que r e cria valor. A taxa interna de rendibilidade (TIR) é a taxa para a qual NPV = 0.
O VAL é negativo, logo o projeto rende menos do que a rendibilidade exigida.
5.Preço e rendimento de títulos
Resposta: c = 4,007 %
Precificação de títulos: o preço de um título é o valor presente dos seus fluxos de caixa, descontados ao rendimento até o vencimento (YTM): os cupons formam uma anuidade e o valor de face é devolvido no vencimento. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando o rendimento está acima da taxa de cupom, o título é negociado abaixo do valor de face, e vice-versa.
Valor presente do valor de face
1000·(1 + 0,025)−6 = €862,30
Cupom
C = (1083 − 862,30)/5,508 = €40,07
Taxa de cupom
c = 40,07/1000 = 4,007%
Resposta
c = 4,007%
6.Preço e rendimento de títulos
Resposta: YTM = 5,5 %
Precificação de títulos: o preço de um título é o valor presente dos seus fluxos de caixa, descontados ao rendimento até o vencimento (YTM): os cupons formam uma anuidade e o valor de face é devolvido no vencimento. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando o rendimento está acima da taxa de cupom, o título é negociado abaixo do valor de face, e vice-versa.
Equação do rendimento
€905 = €40·(1 − (1 + y)⁻⁸)/y + €1 000/(1 + y)⁸
Resolva numericamente
P(5%) = €935,37, P(6%) = €875,80
YTM = 5,5%
Resposta
YTM = 5,5%
7.CAPM e WACC
Resposta: WACC = 8,4 %
Custo de capital: o CAPM dá o retorno exigido pelos acionistas: re = rf + β·(rm − rf). O custo médio ponderado de capital combina capital próprio e dívida pelos seus valores de mercado: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), com V = E + D. Os juros são dedutíveis do imposto, daí o (1 − T).
Pesos
V = €6 000 000, E/V = 0,5, D/V = 0,5
WACC
WACC = 0,5·14% + 0,5·4%·(1 − 0,3) = 8,4%
Resposta
WACC = 8,4%
8.CAPM e WACC
Resposta: WACC = 7,705 %
Custo de capital: o CAPM dá o retorno exigido pelos acionistas: re = rf + β·(rm − rf). O custo médio ponderado de capital combina capital próprio e dívida pelos seus valores de mercado: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), com V = E + D. Os juros são dedutíveis do imposto, daí o (1 − T).
Estatística descritiva: a média é a soma a dividir por n; a mediana é o valor central dos dados ordenados (a média dos dois centrais se n for par). O desvio-padrão amostral é s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Uma pontuação z = (x − μ)/σ diz a quantos desvios-padrão da média está um valor.
Estatística descritiva: a média é a soma a dividir por n; a mediana é o valor central dos dados ordenados (a média dos dois centrais se n for par). O desvio-padrão amostral é s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Uma pontuação z = (x − μ)/σ diz a quantos desvios-padrão da média está um valor.
Padronizar
z = 1
Tabela da normal padrão
Φ(1) = 0,8413
P = 0,8413
Resposta
P = 0,8413
11.Probabilidades
Resposta: Var(X) = 1,14
Variáveis aleatórias discretas: uma distribuição de probabilidade lista cada valor x que uma variável pode assumir com sua probabilidade p(x); as probabilidades ficam entre 0 e 1 e somam 1. O valor esperado (média) é E(X) = Σx·p(x), a média de longo prazo. A variância é Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², e o desvio padrão é σ = √Var(X). Para uma mudança linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) e σY = |a|·σX; somar uma constante não muda a dispersão.
Média
μ = 0·0,2 + 1·0,25 + 2·0,3 + 3·0,25 = 1,6
Média dos quadrados
E(X²) = 0·0,2 + 1·0,25 + 4·0,3 + 9·0,25 = 3,7
Variância
Var(X) = 3,7 − 1,6² = 1,14
Resposta
Var(X) = 1,14
12.Probabilidades
Resposta: σY = 5,099
Variáveis aleatórias discretas: uma distribuição de probabilidade lista cada valor x que uma variável pode assumir com sua probabilidade p(x); as probabilidades ficam entre 0 e 1 e somam 1. O valor esperado (média) é E(X) = Σx·p(x), a média de longo prazo. A variância é Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², e o desvio padrão é σ = √Var(X). Para uma mudança linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) e σY = |a|·σX; somar uma constante não muda a dispersão.
Dispersão de X
μ = 2,4, Var(X) = 1,04, σX = 1,02
Mudança linear
σY = |5|·1,02 = 5,099
Resposta
σY = 5,099
A média de fato se desloca: E(Y) = 5·2,4 + 4 = 16.
13.Distribuição normal
Resposta: P = 0,06426
Somas e diferenças de variáveis normais: se X e Y são independentes e normais, X + Y e X − Y também são normais. As médias se somam ou se subtraem: E(X ± Y) = μX ± μY. As variâncias sempre se somam, também em uma diferença: Var(X ± Y) = σX² + σY², portanto σ = √(σX² + σY²). Os desvios padrão nunca se somam diretamente. O total de n itens independentes com a mesma distribuição tem média n·μ e desvio padrão σ·√n. Depois padronize como de costume: z = (x − média)/σ e leia Φ(z).
Distribuição da soma
μ = 32 min, σ = √(1,5² + 2²) = 2,5 min
Padronizar
z = (35,8 − 32)/2,5 = 1,52
Cauda superior
P = 1 − Φ(1,52) = 1 − 0,9357 = 0,06426
Resposta
P = 0,06426
14.Distribuição normal
Resposta: x = 75,4 pontos
De uma área de volta a z: Φ(z) é a área à esquerda de z. Para uma área de cauda esquerda A, encontre na tabela o z com Φ(z) = A. Uma área de cauda direita A significa Φ(z) = 1 − A. Uma área central A entre −z e z deixa (1 − A)/2 em cada cauda, então Φ(z) = (1 + A)/2. Para um valor x, use x = μ + zσ.
Área à esquerda
Φ(z) = 0,05
z da tabela
z ≈ −1,64
De volta às unidades originais
x = 100 − 1,64·15 = 75,4 pontos
Resposta
x = 75,4 pontos
15.Intervalos de confiança
Resposta: limite inferior = 66,19
Intervalo de confiança para uma média: x̄ ± margem de erro. Com σ populacional conhecido, a margem é z·σ/√n; tendo apenas o desvio-padrão amostral s, use t com n − 1 graus de liberdade: t·s/√n. Valores críticos: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Para obter uma margem E ou menor, você precisa de n ≥ (z·σ/E)², arredondado para cima.
Valor crítico
df = n − 1 = 14, t = 2,145
Margem de erro
E = 2,145·15/√15 = 8,308
Intervalo
74,5 ± 8,308 → [66,19, 82,81]
Resposta
limite inferior = 66,19
16.Intervalos de confiança
Resposta: n = 75
Intervalo de confiança para uma média: x̄ ± margem de erro. Com σ populacional conhecido, a margem é z·σ/√n; tendo apenas o desvio-padrão amostral s, use t com n − 1 graus de liberdade: t·s/√n. Valores críticos: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Para obter uma margem E ou menor, você precisa de n ≥ (z·σ/E)², arredondado para cima.
Resolver em ordem a n
n = (1,96·22/5)² = 74,37
Arredondar para cima
O tamanho da amostra é um número inteiro, e arredondar para baixo deixaria a margem grande demais.
n = 75
Resposta
n = 75
17.Testes de hipóteses e intervalos de confiança
Resposta: t = −3,12
Teste a uma média: a estatística de teste mede a quantos erros-padrão a média amostral está do valor afirmado em H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) quando σ é conhecido, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) quando é estimado pela amostra. Um intervalo de confiança é x̄ ± (valor crítico)·(erro-padrão).
Erro-padrão
SE = 5/√36 = 5/6 = 0,8333
Estatística de teste
t = (117,4 − 120)/0,8333 = −3,12
Resposta
t = −3,12
t0,025; df = 35 = 2,03
|t| > 2,03, então H₀ é rejeitada ao nível de 5% (bilateral).
18.Testes de hipóteses e intervalos de confiança
Resposta: n = 390
Tamanho de amostra para um teste: para detectar um deslocamento real δ com poder 1 − β em um teste z unilateral ao nível α, o erro-padrão deve satisfazer δ = (z_α + z_β)·σ/√n, então n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², arredondado para cima.
Resolver em ordem a n
n = ((1,645 + 1,645)·24/4)² = 389,7
Arredondar para cima
n = 390
Resposta
n = 390
19.Regressão linear e correlação
Resposta: r = 0,9759
Regressão por mínimos quadrados: com x̄ e ȳ as médias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), a reta ŷ = a + b·x tem inclinação b = Sxy/Sxx e intercepto a = ȳ − b·x̄, então ela sempre passa por (x̄, ȳ). O coeficiente de correlação de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) fica entre −1 e 1; r² é a fração da variação de y explicada pela reta.
Somas centradas
Sxy = 14590 − 126·677/6 = 373
Sxx = 2716 − 126²/6 = 70
Syy = 78475 − 677²/6 = 2087
Coeficiente de correlação
r = 373/√(70·2087) = 0,9759
Resposta
r = 0,9759
20.Regressão linear e correlação
Resposta: ŷ = 78,52
Regressão por mínimos quadrados: com x̄ e ȳ as médias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), a reta ŷ = a + b·x tem inclinação b = Sxy/Sxx e intercepto a = ȳ − b·x̄, então ela sempre passa por (x̄, ȳ). O coeficiente de correlação de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) fica entre −1 e 1; r² é a fração da variação de y explicada pela reta.
Médias
x̄ = 33/6 = 5,5
ȳ = 407/6 = 67,83
Somas de quadrados e de produtos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 93,5
Reta de regressão
b = 93,5/17,5 = 5,343
a = 67,83 − 5,343·5,5 = 38,45
ŷ = 38,45 + 5,343·x
Previsão
ŷ = 38,45 + 5,343·7,5 = 78,52
Resposta
ŷ = 78,52
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