Um cartão de crédito cobra uma taxa de juros nominal de 19,5% ao ano, capitalizada diária. Encontre a taxa efetiva anual EAR em porcentagem.
r = 19,5%m = 365
EAR = %
2.Valor temporal do dinheiroDifícil
Um financiamento imobiliário de €200 000 é pago em prestações mensais iguais ao longo de 30 anos a 7,2% ao ano, capitalizados mensalmente. Quanto ainda se deve logo após o pagamento do final do ano 21? Encontre o saldo devedor B.
P = €200 0007,2% / 12N = 360k = 252
B = €
3.VAL e TIRMédia
Um investimento de €75 000 gera estes fluxos no fim dos anos 1 a 3: €24 000, €26 000, €18 000. O custo do capital é de 12 %. Calcule o valor atual líquido NPV.
Um projeto custa €25 000 e devolve €9 500, €10 500, €15 000 no fim dos anos 1 a 3. Calcule a sua taxa interna de rendibilidade IRR em percentagem.
CF0 = −25 000CF1 = 9 500CF2 = 10 500CF3 = 15 000
IRR = %
5.Preço e rendimento de títulosMédia
Você compra um título com 11 anos até o vencimento (valor de face €1 000, cupom anual 4,5%) quando seu rendimento até o vencimento é 3,5%. Um ano depois, logo após receber o primeiro cupom, você o vende quando o rendimento até o vencimento é 3%. Encontre seu retorno no período de posse HPR em porcentagem.
F = €1 000cupom = 4,5%n = 11y0 = 3,5%y1 = 3%
HPR = %
6.Preço e rendimento de títulosDifícil
Um título com valor de face de €1 000 paga um cupom anual de 4,5% e vence em 4 anos. O rendimento até o vencimento é 4%. Encontre a duration de Macaulay D em anos.
F = €1 000cupom = 4,5%n = 4YTM = 4%
D = anos
7.CAPM e WACCMédia
Uma empresa tem uma relação dívida/capital próprio (a valores de mercado) de 0,75. Seu custo do capital próprio é 14%, seu custo da dívida antes dos impostos é 6% e a alíquota de imposto é 20%. Encontre o WACC.
D/E = 0,75re = 14%rd = 6%T = 20%
WACC = %
8.CAPM e WACCDifícil
Uma empresa tem capital próprio com valor de mercado de €10 000 000 e custo do capital próprio de 9%. Sua dívida consiste em 4 000 títulos (valor de face €1 000, cupom anual 4%, 7 anos até o vencimento) negociados a €942 cada. A alíquota de imposto é 25,8%. Encontre o WACC, usando o rendimento até o vencimento dos títulos como custo da dívida antes dos impostos.
Arraste z para que a área sombreada entre −z e z sob a curva normal padrão seja 0,8990. Encontre z com duas casas decimais.
A = 0,8990
z =
14.Distribuição normalDifícil
Os alturas de homens adultos têm distribuição normal com média 178 cm e desvio padrão 7 cm. Arraste o ponto de corte para que os 85% inferiores sombreados fiquem à esquerda dele. Encontre o ponto de corte x.
μ = 178 cmσ = 7 cm85%
x = cm
15.Intervalos de confiançaMédia
Uma amostra de 10 itens tem média 20,5 e desvio-padrão s = 8,5. A população é aproximadamente normal. Calcule o limite inferior do intervalo de confiança de 99% para a média.
n = 10x̄ = 20,5s = 8,599%t(9) = 3,25
limite inferior =
16.Intervalos de confiançaDifícil
Não se sabe nada de antemão sobre a proporção de produtos defeituosos. Quantos produtos n devem ser inspecionados para que um intervalo de confiança de 90% para a proporção tenha margem de erro de no máximo 0,025?
p = 0,5E = 0,02590%
n =
17.Testes de hipóteses e intervalos de confiançaMédia
Afirma-se que a média de uma população é 100; o desvio-padrão da população é conhecido e vale 24. Uma amostra aleatória de 144 observações tem média 97,84. Teste H₀: μ = 100 contra H₁: μ < 100. Encontre o valor p p.
μ₀ = 100σ = 24n = 144x̄ = 97,84H₁: μ < μ₀
p =
18.Testes de hipóteses e intervalos de confiançaDifícil
Uma amostra de 100 medições tem média 101,2. O desvio-padrão da população é 12. Calcule o limite superior U do intervalo de confiança a 90 % para a média.
x̄ = 101,2σ = 12n = 10090%
U =
19.Regressão linear e correlaçãoMédia
A tabela dá 6 observações pareadas de x = gasto com publicidade em k€ e y = vendas em k€. Encontre o coeficiente de determinação r² da reta de mínimos quadrados.
n = 6
r² =
20.Regressão linear e correlaçãoDifícil
A tabela dá 6 observações pareadas de x = gasto com publicidade em k€ e y = vendas em k€. Use a reta de mínimos quadrados ŷ = a + b·x. É feita uma nova observação (3,5, 52). Encontre o seu resíduo e = y − ŷ.
n = 6(3,5, 52)
e =
3Soluções
1.Valor temporal do dinheiro
Resposta: EAR = 21,52 %
Valor temporal do dinheiro: o dinheiro hoje vale mais do que a mesma quantia no futuro, porque pode render juros. Com uma taxa i por período, um montante cresce para FV = PV·(1 + i)n. Uma série de pagamentos iguais (uma renda) avalia-se somando cada pagamento, o que dá as fórmulas das rendas.
Taxa por período
r/m = 0,195/365 = 0,0005342
Capitalize ao longo de um ano
EAR = (1 + 0,0005342)365 − 1 = 1,215 − 1 = 21,52%
Resposta
EAR = 21,52%
A taxa efetiva anual é sempre maior que a taxa nominal quando os juros são capitalizados mais de uma vez por ano.
2.Valor temporal do dinheiro
Resposta: B = 107677 €
Valor temporal do dinheiro: o dinheiro hoje vale mais do que a mesma quantia no futuro, porque pode render juros. Com uma taxa i por período, um montante cresce para FV = PV·(1 + i)n. Uma série de pagamentos iguais (uma renda) avalia-se somando cada pagamento, o que dá as fórmulas das rendas.
O que ainda se deve precisa ser quitado exatamente pelas prestações restantes.
N − k = 360 − 252 = 108
B = 1358·(1 − (1 + 0,006)−108)/0,006 = €107 677,37
Resposta
B = €107 677,37
3.VAL e TIR
Resposta: NPV = −20032 €
Valor atual líquido: desconte cada fluxo de caixa até hoje com a rendibilidade exigida r e some-os: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Um projeto com NPV > 0 rende mais do que r e cria valor. A taxa interna de rendibilidade (TIR) é a taxa para a qual NPV = 0.
Valor atual de cada fluxo
CF0 = −75 000
CF1/(1 + 0,12)1 = 24 000/1,12 = 21 428,57
CF2/(1 + 0,12)2 = 26 000/1,254 = 20 727,04
CF3/(1 + 0,12)3 = 18 000/1,405 = 12 812,04
Somar
NPV = €−20 032,34
Resposta
NPV = €−20 032,34
O VAL é negativo, logo o projeto rende menos do que a rendibilidade exigida.
4.VAL e TIR
Resposta: IRR = 17,35 %
Valor atual líquido: desconte cada fluxo de caixa até hoje com a rendibilidade exigida r e some-os: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Um projeto com NPV > 0 rende mais do que r e cria valor. A taxa interna de rendibilidade (TIR) é a taxa para a qual NPV = 0.
Enquadrar a TIR
O VAL desce quando a taxa sobe, por isso a TIR está entre uma taxa com VAL positivo e outra com VAL negativo.
NPV(15%) = 1 063,12
NPV(20%) = −1 111,11
Aproximar
A interpolação linear dá uma primeira estimativa; repeti-la (ou usar a função TIR de uma calculadora) dá a taxa exata.
Precificação de títulos: o preço de um título é o valor presente dos seus fluxos de caixa, descontados ao rendimento até o vencimento (YTM): os cupons formam uma anuidade e o valor de face é devolvido no vencimento. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando o rendimento está acima da taxa de cupom, o título é negociado abaixo do valor de face, e vice-versa.
Duration: a duration de Macaulay é o prazo médio ponderado em que um título paga seus fluxos de caixa, usando como pesos os valores presentes dos fluxos de caixa: D = Σ t·PVₜ/P. A duration modificada D/(1 + y) estima a variação percentual do preço para uma pequena variação do rendimento: %ΔP ≈ −Dmod·Δy.
Valor atual de cada fluxo
t = 1: 45/1,04 = 43,27, t·PV = 43,27
t = 2: 45/1,082 = 41,61, t·PV = 83,21
t = 3: 45/1,125 = 40,00, t·PV = 120,01
t = 4: 1045/1,17 = 893,27, t·PV = 3 573,08
Duration
P = 1 018,15
D = 3 819,58/1 018,15 = 3,751
Resposta
D = 3,751 anos
7.CAPM e WACC
Resposta: WACC = 10,06 %
Custo de capital: o CAPM dá o retorno exigido pelos acionistas: re = rf + β·(rm − rf). O custo médio ponderado de capital combina capital próprio e dívida pelos seus valores de mercado: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), com V = E + D. Os juros são dedutíveis do imposto, daí o (1 − T).
Pesos a partir de D/E
E/V = 1/(1 + 0,75) = 0,5714
D/V = 0,75/(1 + 0,75) = 0,4286
WACC
WACC = 0,5714·14% + 0,4286·6%·(1 − 0,2) = 10,06%
Resposta
WACC = 10,06%
8.CAPM e WACC
Resposta: WACC = 7,553 %
Custo de capital: o CAPM dá o retorno exigido pelos acionistas: re = rf + β·(rm − rf). O custo médio ponderado de capital combina capital próprio e dívida pelos seus valores de mercado: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), com V = E + D. Os juros são dedutíveis do imposto, daí o (1 − T).
Estatística descritiva: a média é a soma a dividir por n; a mediana é o valor central dos dados ordenados (a média dos dois centrais se n for par). O desvio-padrão amostral é s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Uma pontuação z = (x − μ)/σ diz a quantos desvios-padrão da média está um valor.
Estatística descritiva: a média é a soma a dividir por n; a mediana é o valor central dos dados ordenados (a média dos dois centrais se n for par). O desvio-padrão amostral é s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Uma pontuação z = (x − μ)/σ diz a quantos desvios-padrão da média está um valor.
Padronizar
z = 1
Tabela da normal padrão
Φ(1) = 0,8413
P = 0,8413
Resposta
P = 0,8413
11.Probabilidades
Resposta: P = 0,5981
Probabilidades: com resultados equiprováveis, P(A) = favoráveis/possíveis. Para acontecimentos independentes multiplica-se: P(A e B) = P(A)·P(B). O complementar ajuda muitas vezes: P(pelo menos um) = 1 − P(nenhum). Binomial: em n provas independentes com probabilidade de sucesso p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Complementar
P(nenhum seis) = (5/6)5 = 0,4019
P = 1 − 0,4019 = 0,5981
Resposta
P = 0,5981
12.Probabilidades
Resposta: σY = 21,24
Variáveis aleatórias discretas: uma distribuição de probabilidade lista cada valor x que uma variável pode assumir com sua probabilidade p(x); as probabilidades ficam entre 0 e 1 e somam 1. O valor esperado (média) é E(X) = Σx·p(x), a média de longo prazo. A variância é Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², e o desvio padrão é σ = √Var(X). Para uma mudança linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) e σY = |a|·σX; somar uma constante não muda a dispersão.
Dispersão de X
μ = 2,7, Var(X) = 4,51, σX = 2,124
Mudança linear
σY = |10|·2,124 = 21,24
Resposta
σY = 21,24
A média de fato se desloca: E(Y) = 10·2,7 + 1 = 28.
13.Distribuição normal
Resposta: z = 1,64
De uma área de volta a z: Φ(z) é a área à esquerda de z. Para uma área de cauda esquerda A, encontre na tabela o z com Φ(z) = A. Uma área de cauda direita A significa Φ(z) = 1 − A. Uma área central A entre −z e z deixa (1 − A)/2 em cada cauda, então Φ(z) = (1 + A)/2. Para um valor x, use x = μ + zσ.
Área à esquerda de z
Φ(z) = (1 + 0,8990)/2 = 0,9495
Leia a tabela de z ao contrário
Encontre 0,9495 dentro da tabela e leia z.
z = 1,64
Resposta
z = 1,64
14.Distribuição normal
Resposta: x = 185,3 cm
De uma área de volta a z: Φ(z) é a área à esquerda de z. Para uma área de cauda esquerda A, encontre na tabela o z com Φ(z) = A. Uma área de cauda direita A significa Φ(z) = 1 − A. Uma área central A entre −z e z deixa (1 − A)/2 em cada cauda, então Φ(z) = (1 + A)/2. Para um valor x, use x = μ + zσ.
Área à esquerda
Φ(z) = 0,85
z da tabela
z ≈ 1,04
De volta às unidades originais
x = 178 + 1,04·7 = 185,3 cm
Resposta
x = 185,3 cm
15.Intervalos de confiança
Resposta: limite inferior = 11,76
Intervalo de confiança para uma média: x̄ ± margem de erro. Com σ populacional conhecido, a margem é z·σ/√n; tendo apenas o desvio-padrão amostral s, use t com n − 1 graus de liberdade: t·s/√n. Valores críticos: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Para obter uma margem E ou menor, você precisa de n ≥ (z·σ/E)², arredondado para cima.
Valor crítico
df = n − 1 = 9, t = 3,25
Margem de erro
E = 3,25·8,5/√10 = 8,736
Intervalo
20,5 ± 8,736 → [11,76, 29,24]
Resposta
limite inferior = 11,76
16.Intervalos de confiança
Resposta: n = 1083
Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.
Resolver em ordem a n
n = 1,645²·0,5·0,5/0,025² = 1082
Arredondar para cima
n = 1083
Resposta
n = 1083
17.Testes de hipóteses e intervalos de confiança
Resposta: p = 0,1401
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Estatística de teste
SE = σ/√n = 24/√144 = 2
z = (97,84 − 100)/2 = −1,08
Área da cauda
Φ(1,08) = 0,8599
1 − Φ(1,08) = 0,1401
Valor p
p = 0,1401
Resposta
p = 0,1401
p > 0,05, então H₀ não é rejeitada ao nível de 5%.
18.Testes de hipóteses e intervalos de confiança
Resposta: U = 103,2
Teste a uma média: a estatística de teste mede a quantos erros-padrão a média amostral está do valor afirmado em H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) quando σ é conhecido, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) quando é estimado pela amostra. Um intervalo de confiança é x̄ ± (valor crítico)·(erro-padrão).
Margem de erro
E = 1,645·12/√100 = 1,974
Limite do intervalo
U = 101,2 + 1,974 = 103,2
Resposta
U = 103,2
19.Regressão linear e correlação
Resposta: r² = 0,8649
Regressão por mínimos quadrados: com x̄ e ȳ as médias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), a reta ŷ = a + b·x tem inclinação b = Sxy/Sxx e intercepto a = ȳ − b·x̄, então ela sempre passa por (x̄, ȳ). O coeficiente de correlação de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) fica entre −1 e 1; r² é a fração da variação de y explicada pela reta.
Médias
x̄ = 21/6 = 3,5
ȳ = 263/6 = 43,83
Somas de quadrados e de produtos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 44,5
Syy = Σ(y − ȳ)² = 130,8
Coeficiente de determinação
r² = 44,5²/(17,5·130,8) = 0,8649
Resposta
r² = 0,8649
Cerca de 86,49% da variação de y é explicada pela reta.
20.Regressão linear e correlação
Resposta: e = −5,005
Regressão por mínimos quadrados: com x̄ e ȳ as médias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), a reta ŷ = a + b·x tem inclinação b = Sxy/Sxx e intercepto a = ȳ − b·x̄, então ela sempre passa por (x̄, ȳ). O coeficiente de correlação de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) fica entre −1 e 1; r² é a fração da variação de y explicada pela reta.
Médias
x̄ = 27/6 = 4,5
ȳ = 383/6 = 63,83
Somas de quadrados e de produtos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 119,5
Reta de regressão
b = 119,5/17,5 = 6,829
a = 63,83 − 6,829·4,5 = 33,1
ŷ = 33,1 + 6,829·x
Valor previsto
ŷ = 33,1 + 6,829·3,5 = 57
Resíduo
e = 52 − 57 = −5,005
Resposta
e = −5,005
O ponto está abaixo da reta.
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