Espera-se que um imóvel renda um aluguel líquido de €2 000 no próximo ano. Espera-se que o aluguel cresça 2% ao ano para sempre. O retorno exigido é 4% ao ano. Encontre o valor PV do imóvel hoje.
C1 = €2 000g = 2%r = 4%
PV = €
2.Valor temporal do dinheiroDifícil
Um empréstimo de €150 000 é pago em prestações mensais iguais ao longo de 20 anos a 5,4% ao ano, capitalizados mensalmente. Quanto de juros I é pago no total durante a vida do empréstimo?
P = €150 0005,4% / 12N = 240
I = €
3.VAL e TIRMédia
Uma máquina custa €100 000 hoje. Ela gera €22 000 no final de cada ano durante 5 anos e depois pode ser vendida por €10 000. O custo de capital é 8%. Encontre o valor presente líquido NPV.
C0 = €100 000CF = €22 000S = €10 000n = 5r = 8%
NPV = €
4.VAL e TIRDifícil
Um projeto custa €150 000 hoje. Seu fluxo de caixa é €27 500 no final do ano 1 e cresce 2% ao ano até o último fluxo de caixa, no final do ano 6. O custo de capital é 12%. Encontre o valor presente líquido NPV.
C0 = €150 000CF1 = €27 500g = 2%n = 6r = 12%
NPV = €
5.Preço e rendimento de títulosMédia
Um título com valor de face de €1 000 paga um cupom anual de 4% e vence em 9 anos. Seu rendimento até o vencimento muda de 3,5% para 5%. Quanto ΔP varia o preço do título?
F = €1 000cupom = 4%n = 9y1 = 3,5%y2 = 5%
ΔP = €
6.Preço e rendimento de títulosDifícil
Um título com valor de face de €1 000 paga um cupom anual de 5% em dois pagamentos semestrais e vence em 8 anos. Ele é vendido a €1 068. Encontre seu rendimento até o vencimento YTM como taxa anual (o dobro do rendimento semestral), em porcentagem.
F = €1 000cupom = 5% (2×)n = 8P = €1 068
YTM = %
7.CAPM e WACCMédia
Uma empresa tem uma relação dívida/capital próprio (a valores de mercado) de 0,4. Seu custo do capital próprio é 13%, seu custo da dívida antes dos impostos é 6% e a alíquota de imposto é 21%. Encontre o WACC.
D/E = 0,4re = 13%rd = 6%T = 21%
WACC = %
8.CAPM e WACCDifícil
As ações de uma empresa têm beta de 1,1 na sua relação dívida/capital próprio atual de 0,5. Ela planeja elevar a relação dívida/capital próprio para 1,25. A alíquota de imposto é 20%, a taxa livre de risco 1% e o prêmio de risco de mercado 4,5%. Encontre o custo do capital próprio re após a mudança.
Arraste z para que a área sombreada entre −z e z sob a curva normal padrão seja 0,9249. Encontre z com duas casas decimais.
A = 0,9249
z =
14.Distribuição normalDifícil
Os massas de sacos têm distribuição normal com média 250 g e desvio padrão 5 g. Arraste o ponto de corte para que os 20% superiores sombreados fiquem à direita dele. Encontre o ponto de corte x.
μ = 250 gσ = 5 g20%
x = g
15.Intervalos de confiançaMédia
Uma amostra de 21 itens tem média 23 e desvio-padrão s = 9. A população é aproximadamente normal. Calcule o limite superior do intervalo de confiança de 99% para a média.
n = 21x̄ = 23s = 999%t(20) = 2,845
limite superior =
16.Intervalos de confiançaDifícil
O desvio-padrão da população é 14. Qual o tamanho de amostra n necessário para que um intervalo de confiança de 90% para a média tenha margem de erro de no máximo 2,5?
σ = 14E = 2,590%
n =
17.Testes de hipóteses e intervalos de confiançaMédia
Uma amostra de 100 estudantes tem nota média 51,44 e desvio-padrão amostral 12. Calcule a estatística de teste t para H₀: μ = 50.
μ₀ = 50x̄ = 51,44s = 12n = 100
t =
18.Testes de hipóteses e intervalos de confiançaDifícil
Em um ensaio, 50 de 200 pacientes com o tratamento A se recuperam, e 25 de 80 pacientes com o tratamento B. Usando a proporção combinada, encontre a estatística de teste z para H₀: p₁ = p₂.
x₁ = 50n₁ = 200x₂ = 25n₂ = 80
z =
19.Regressão linear e correlaçãoMédia
A tabela dá 6 observações pareadas de x = idade do carro em anos e y = preço em k€. Encontre o coeficiente de determinação r² da reta de mínimos quadrados.
n = 6
r² =
20.Regressão linear e correlaçãoDifícil
A tabela dá 6 observações pareadas de x = gasto com publicidade em k€ e y = vendas em k€. Use a reta de mínimos quadrados ŷ = a + b·x. É feita uma nova observação (5,5, 67). Encontre o seu resíduo e = y − ŷ.
n = 6(5,5, 67)
e =
3Soluções
1.Valor temporal do dinheiro
Resposta: PV = 100000 €
Valor temporal do dinheiro: o dinheiro hoje vale mais do que a mesma quantia no futuro, porque pode render juros. Com uma taxa i por período, um montante cresce para FV = PV·(1 + i)n. Uma série de pagamentos iguais (uma renda) avalia-se somando cada pagamento, o que dá as fórmulas das rendas.
Valor temporal do dinheiro: o dinheiro hoje vale mais do que a mesma quantia no futuro, porque pode render juros. Com uma taxa i por período, um montante cresce para FV = PV·(1 + i)n. Uma série de pagamentos iguais (uma renda) avalia-se somando cada pagamento, o que dá as fórmulas das rendas.
Valor atual líquido: desconte cada fluxo de caixa até hoje com a rendibilidade exigida r e some-os: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Um projeto com NPV > 0 rende mais do que r e cria valor. A taxa interna de rendibilidade (TIR) é a taxa para a qual NPV = 0.
Valor atual líquido: desconte cada fluxo de caixa até hoje com a rendibilidade exigida r e some-os: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Um projeto com NPV > 0 rende mais do que r e cria valor. A taxa interna de rendibilidade (TIR) é a taxa para a qual NPV = 0.
O VAL é negativo, logo o projeto rende menos do que a rendibilidade exigida.
5.Preço e rendimento de títulos
Resposta: ΔP = −109,1 €
Precificação de títulos: o preço de um título é o valor presente dos seus fluxos de caixa, descontados ao rendimento até o vencimento (YTM): os cupons formam uma anuidade e o valor de face é devolvido no vencimento. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando o rendimento está acima da taxa de cupom, o título é negociado abaixo do valor de face, e vice-versa.
Precificação de títulos: o preço de um título é o valor presente dos seus fluxos de caixa, descontados ao rendimento até o vencimento (YTM): os cupons formam uma anuidade e o valor de face é devolvido no vencimento. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando o rendimento está acima da taxa de cupom, o título é negociado abaixo do valor de face, e vice-versa.
Por período
C = €25,00, N = 16
Resolva numericamente
i = 1,999% por semestre
YTM
YTM = 2·1,999% = 3,998%
Resposta
YTM = 3,998%
7.CAPM e WACC
Resposta: WACC = 10,64 %
Custo de capital: o CAPM dá o retorno exigido pelos acionistas: re = rf + β·(rm − rf). O custo médio ponderado de capital combina capital próprio e dívida pelos seus valores de mercado: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), com V = E + D. Os juros são dedutíveis do imposto, daí o (1 − T).
Pesos a partir de D/E
E/V = 1/(1 + 0,4) = 0,7143
D/V = 0,4/(1 + 0,4) = 0,2857
WACC
WACC = 0,7143·13% + 0,2857·6%·(1 − 0,21) = 10,64%
Resposta
WACC = 10,64%
8.CAPM e WACC
Resposta: re = 8,071 %
Beta alavancado (Hamada): a dívida torna o capital próprio mais arriscado. βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E), onde βU é o beta do negócio sem dívida. Para levar um beta a outra estrutura de capital, primeiro desalavanque-o e depois realavanque-o com o novo D/E.
Desalavanque o beta
βU = 1,1/(1 + 0,8·0,5) = 0,7857
Realavanque com o novo D/E
βL = 0,7857·(1 + 0,8·1,25) = 1,571
Custo do capital próprio (CAPM)
re = 1% + 1,571·4,5% = 8,071%
Resposta
re = 8,071%
9.Estatística descritiva
Resposta: s = 17,1
Estatística descritiva: a média é a soma a dividir por n; a mediana é o valor central dos dados ordenados (a média dos dois centrais se n for par). O desvio-padrão amostral é s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Uma pontuação z = (x − μ)/σ diz a quantos desvios-padrão da média está um valor.
Estatística descritiva: a média é a soma a dividir por n; a mediana é o valor central dos dados ordenados (a média dos dois centrais se n for par). O desvio-padrão amostral é s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Uma pontuação z = (x − μ)/σ diz a quantos desvios-padrão da média está um valor.
Padronizar
z = 1,5
Tabela da normal padrão
Φ(1,5) = 0,9332
P = 0,9332
Resposta
P = 0,9332
11.Probabilidades
Resposta: P = 0,7209
Probabilidades: com resultados equiprováveis, P(A) = favoráveis/possíveis. Para acontecimentos independentes multiplica-se: P(A e B) = P(A)·P(B). O complementar ajuda muitas vezes: P(pelo menos um) = 1 − P(nenhum). Binomial: em n provas independentes com probabilidade de sucesso p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Complementar
P(nenhum seis) = (5/6)7 = 0,2791
P = 1 − 0,2791 = 0,7209
Resposta
P = 0,7209
12.Probabilidades
Resposta: σY = 115,8
Variáveis aleatórias discretas: uma distribuição de probabilidade lista cada valor x que uma variável pode assumir com sua probabilidade p(x); as probabilidades ficam entre 0 e 1 e somam 1. O valor esperado (média) é E(X) = Σx·p(x), a média de longo prazo. A variância é Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², e o desvio padrão é σ = √Var(X). Para uma mudança linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) e σY = |a|·σX; somar uma constante não muda a dispersão.
Dispersão de X
μ = 24, Var(X) = 134, σX = 11,58
Mudança linear
σY = |10|·11,58 = 115,8
Resposta
σY = 115,8
A média de fato se desloca: E(Y) = 10·24 + 10 = 250.
13.Distribuição normal
Resposta: z = 1,78
De uma área de volta a z: Φ(z) é a área à esquerda de z. Para uma área de cauda esquerda A, encontre na tabela o z com Φ(z) = A. Uma área de cauda direita A significa Φ(z) = 1 − A. Uma área central A entre −z e z deixa (1 − A)/2 em cada cauda, então Φ(z) = (1 + A)/2. Para um valor x, use x = μ + zσ.
Área à esquerda de z
Φ(z) = (1 + 0,9249)/2 = 0,9625
Leia a tabela de z ao contrário
Encontre 0,9625 dentro da tabela e leia z.
z = 1,78
Resposta
z = 1,78
14.Distribuição normal
Resposta: x = 254,2 g
De uma área de volta a z: Φ(z) é a área à esquerda de z. Para uma área de cauda esquerda A, encontre na tabela o z com Φ(z) = A. Uma área de cauda direita A significa Φ(z) = 1 − A. Uma área central A entre −z e z deixa (1 − A)/2 em cada cauda, então Φ(z) = (1 + A)/2. Para um valor x, use x = μ + zσ.
Área à esquerda
Φ(z) = 0,8
z da tabela
z ≈ 0,84
De volta às unidades originais
x = 250 + 0,84·5 = 254,2 g
Resposta
x = 254,2 g
15.Intervalos de confiança
Resposta: limite superior = 28,59
Intervalo de confiança para uma média: x̄ ± margem de erro. Com σ populacional conhecido, a margem é z·σ/√n; tendo apenas o desvio-padrão amostral s, use t com n − 1 graus de liberdade: t·s/√n. Valores críticos: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Para obter uma margem E ou menor, você precisa de n ≥ (z·σ/E)², arredondado para cima.
Valor crítico
df = n − 1 = 20, t = 2,845
Margem de erro
E = 2,845·9/√21 = 5,587
Intervalo
23 ± 5,587 → [17,41, 28,59]
Resposta
limite superior = 28,59
16.Intervalos de confiança
Resposta: n = 85
Intervalo de confiança para uma média: x̄ ± margem de erro. Com σ populacional conhecido, a margem é z·σ/√n; tendo apenas o desvio-padrão amostral s, use t com n − 1 graus de liberdade: t·s/√n. Valores críticos: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Para obter uma margem E ou menor, você precisa de n ≥ (z·σ/E)², arredondado para cima.
Resolver em ordem a n
n = (1,645·14/2,5)² = 84,86
Arredondar para cima
O tamanho da amostra é um número inteiro, e arredondar para baixo deixaria a margem grande demais.
n = 85
Resposta
n = 85
17.Testes de hipóteses e intervalos de confiança
Resposta: t = 1,2
Teste a uma média: a estatística de teste mede a quantos erros-padrão a média amostral está do valor afirmado em H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) quando σ é conhecido, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) quando é estimado pela amostra. Um intervalo de confiança é x̄ ± (valor crítico)·(erro-padrão).
Erro-padrão
SE = 12/√100 = 12/10 = 1,2
Estatística de teste
t = (51,44 − 50)/1,2 = 1,2
Resposta
t = 1,2
t0,025; df = 99 = 1,984
|t| < 1.984, então H₀ não é rejeitada ao nível de 5% (bilateral).
18.Testes de hipóteses e intervalos de confiança
Resposta: z = −1,067
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Proporções amostrais
p̂₁ = 50/200 = 0,25
p̂₂ = 25/80 = 0,3125
p̂ = 75/280 = 0,2679
Erro-padrão sob H₀
SE = √(0,2679·0,7321·(1/200 + 1/80)) = 0,05858
Estatística de teste
z = (0,25 − 0,3125)/0,05858 = −1,067
Resposta
z = −1,067
|z| < 1,96, então H₀ não é rejeitada ao nível de 5% (bilateral).
19.Regressão linear e correlação
Resposta: r² = 0,9485
Regressão por mínimos quadrados: com x̄ e ȳ as médias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), a reta ŷ = a + b·x tem inclinação b = Sxy/Sxx e intercepto a = ȳ − b·x̄, então ela sempre passa por (x̄, ȳ). O coeficiente de correlação de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) fica entre −1 e 1; r² é a fração da variação de y explicada pela reta.
Médias
x̄ = 21/6 = 3,5
ȳ = 108/6 = 18
Somas de quadrados e de produtos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −45
Syy = Σ(y − ȳ)² = 122
Coeficiente de determinação
r² = −45²/(17,5·122) = 0,9485
Resposta
r² = 0,9485
Cerca de 94,85% da variação de y é explicada pela reta.
20.Regressão linear e correlação
Resposta: e = −3,976
Regressão por mínimos quadrados: com x̄ e ȳ as médias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), a reta ŷ = a + b·x tem inclinação b = Sxy/Sxx e intercepto a = ȳ − b·x̄, então ela sempre passa por (x̄, ȳ). O coeficiente de correlação de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) fica entre −1 e 1; r² é a fração da variação de y explicada pela reta.