Precisa de €25 000 daqui a 2 anos. Uma conta rende 5 % ao ano, capitalizada trimestralmente. Quanto tem de depositar hoje? Calcule o valor atual PV.
FV = €25 0005% / 4n = 2
PV = €
2.Valor temporal do dinheiroDifícil
Poupa €250 no fim de cada mês durante 27 anos. A conta rende 3 % ao ano, capitalizada mensalmente. Quanto poupou no fim? Calcule FV.
A = €2503% / 12N = 324
FV = €
3.VAL e TIRMédia
Um investimento de €60 000 gera estes fluxos no fim dos anos 1 a 4: €16 000, €22 000, €18 000, €12 000. O custo do capital é de 6 %. Calcule o valor atual líquido NPV.
Um investimento de €20 000 retorna €4 000 no final de cada ano durante 7 anos. Encontre sua taxa interna de retorno IRR em porcentagem.
C0 = €20 000CF = €4 000n = 7
IRR = %
5.Preço e rendimento de títulosMédia
Um título com valor de face de €1 000 vence em 3 anos e paga cupons anuais. Ele é vendido a €1 098 quando o rendimento até o vencimento é 3,5%. Encontre a taxa de cupom c em porcentagem.
F = €1 000n = 3P = €1 098YTM = 3,5%
c = %
6.Preço e rendimento de títulosDifícil
Um título com valor de face de €1 000 e cupom anual de 7% vence em 3 anos e é vendido por €1 025. Calcule seu rendimento até o vencimento YTM em porcentagem.
F = €1 000cupom = 7%n = 3P = €1 025
YTM = %
7.CAPM e WACCMédia
Uma empresa tem capital próprio de €10 000 000 e dívida de €5 000 000. Seu custo do capital próprio é 13%, seu custo da dívida antes dos impostos é 6% e a alíquota de imposto é 28%. Calcule o WACC.
O negócio de uma empresa tem beta desalavancado (dos ativos) de 0,9. Ela planeja uma relação dívida/capital próprio de 0,6. A alíquota de imposto é 30%, a taxa livre de risco é 1,5% e o prêmio de risco de mercado é 4%. Encontre o custo do capital próprio re na nova estrutura de capital.
βU = 0,9D/E = 0,6T = 30%rf = 1,5%rm − rf = 4%
re = %
9.Estatística descritivaMédia
Calcule o desvio-padrão amostral s dos dados: 14, 30, 44, 17, 28, 55, 21.
n = 7
s =
10.Estatística descritivaDifícil
Uma grandeza segue uma distribuição normal com média 70 e desvio-padrão 10. Que proporção P dos valores está abaixo de 55?
μ = 70σ = 10x = 55
P =
11.ProbabilidadesMédia
Para a distribuição mostrada, encontre o desvio padrão σ de X.
x: 10, 20, 30, 40p(x): 0,2, 0,2, 0,25, 0,35
σ =
12.ProbabilidadesDifícil
Um jogo custa €2 para jogar. Você ganha €4 com probabilidade 0,2 e €20 com probabilidade 0,02; caso contrário, não ganha nada. A aposta não é devolvida. Encontre o ganho líquido esperado E(G) por jogo.
aposta = €2€4: p = 0,2€20: p = 0,02
E(G) = €
13.Distribuição normalMédia
As durações de entregas seguem uma distribuição normal com média 32 min e desvio-padrão 6 min. Que fração está entre 23,3 e 33,2 min? Dê P em forma decimal.
μ = 32σ = 6x1 = 23,3x2 = 33,2
P =
14.Distribuição normalDifícil
Os pontuações de QI têm distribuição normal com média 100 pontos e desvio padrão 15 pontos. Arraste o ponto de corte para que os 40% superiores sombreados fiquem à direita dele. Encontre o ponto de corte x.
μ = 100 pontosσ = 15 pontos40%
x = pontos
15.Intervalos de confiançaMédia
Uma amostra de 8 itens tem média 12 e desvio-padrão s = 16,5. A população é aproximadamente normal. Calcule o limite superior do intervalo de confiança de 90% para a média.
n = 8x̄ = 12s = 16,590%t(7) = 1,895
limite superior =
16.Intervalos de confiançaDifícil
O desvio-padrão da população é 10. Qual o tamanho de amostra n necessário para que um intervalo de confiança de 95% para a média tenha margem de erro de no máximo 3?
σ = 10E = 395%
n =
17.Testes de hipóteses e intervalos de confiançaMédia
6 funcionários fazem um teste de digitação antes e depois de um curso de treinamento. Para cada pessoa é registrada a diferença d = depois − antes (palavras por minuto). A diferença média é −2,2 e o desvio-padrão das diferenças é 3. Encontre a estatística do teste pareado t para H₀: μd = 0.
n = 6d̄ = −2,2sd = 3
t =
18.Testes de hipóteses e intervalos de confiançaDifícil
Um teste z unilateral com α = 0,05 deve detectar um deslocamento da média de 4 unidades com poder de 90%. O desvio-padrão é 9. Encontre o tamanho mínimo da amostra n.
α = 0,05poder = 90%δ = 4σ = 9zα = 1,645zβ = 1,282
n =
19.Regressão linear e correlaçãoMédia
A tabela dá 6 observações pareadas de x = temperatura em °C e y = sorvetes vendidos. As suas somas são dadas. Encontre o coeficiente de correlação de Pearson r a partir dessas somas.
A tabela dá 5 observações pareadas de x = idade do carro em anos e y = preço em k€. Use a reta de mínimos quadrados ŷ = a + b·x. Preveja ŷ para x = 3,5.
n = 5x = 3,5
ŷ =
3Soluções
1.Valor temporal do dinheiro
Resposta: PV = 22635 €
Valor temporal do dinheiro: o dinheiro hoje vale mais do que a mesma quantia no futuro, porque pode render juros. Com uma taxa i por período, um montante cresce para FV = PV·(1 + i)n. Uma série de pagamentos iguais (uma renda) avalia-se somando cada pagamento, o que dá as fórmulas das rendas.
Taxa e número de períodos
i = 0,05/4 = 0,0125
N = 4·2 = 8
Valor atual
PV = FV/(1 + i)N = 25 000/1,104 = €22 634,96
Resposta
PV = €22 634,96
2.Valor temporal do dinheiro
Resposta: FV = 124564 €
Valor temporal do dinheiro: o dinheiro hoje vale mais do que a mesma quantia no futuro, porque pode render juros. Com uma taxa i por período, um montante cresce para FV = PV·(1 + i)n. Uma série de pagamentos iguais (uma renda) avalia-se somando cada pagamento, o que dá as fórmulas das rendas.
Valor atual líquido: desconte cada fluxo de caixa até hoje com a rendibilidade exigida r e some-os: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Um projeto com NPV > 0 rende mais do que r e cria valor. A taxa interna de rendibilidade (TIR) é a taxa para a qual NPV = 0.
Valor atual de cada fluxo
CF0 = −60 000
CF1/(1 + 0,06)1 = 16 000/1,06 = 15 094,34
CF2/(1 + 0,06)2 = 22 000/1,124 = 19 579,92
CF3/(1 + 0,06)3 = 18 000/1,191 = 15 113,15
CF4/(1 + 0,06)4 = 12 000/1,262 = 9 505,12
Somar
NPV = €−707,47
Resposta
NPV = €−707,47
O VAL é negativo, logo o projeto rende menos do que a rendibilidade exigida.
4.VAL e TIR
Resposta: IRR = 9,196 %
Valor atual líquido: desconte cada fluxo de caixa até hoje com a rendibilidade exigida r e some-os: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Um projeto com NPV > 0 rende mais do que r e cria valor. A taxa interna de rendibilidade (TIR) é a taxa para a qual NPV = 0.
Fator de anuidade necessário
(1 − (1 + i)−7)/i = 20 000/4 000 = 5
Resolver para a taxa
O fator de anuidade diminui quando a taxa aumenta; delimite a taxa e vá estreitando o intervalo.
i = 9%: 5,033
i = 10%: 4,868
IRR = 9,196%
Resposta
IRR = 9,196%
5.Preço e rendimento de títulos
Resposta: c = 6,998 %
Precificação de títulos: o preço de um título é o valor presente dos seus fluxos de caixa, descontados ao rendimento até o vencimento (YTM): os cupons formam uma anuidade e o valor de face é devolvido no vencimento. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando o rendimento está acima da taxa de cupom, o título é negociado abaixo do valor de face, e vice-versa.
Valor presente do valor de face
1000·(1 + 0,035)−3 = €901,94
Cupom
C = (1098 − 901,94)/2,802 = €69,98
Taxa de cupom
c = 69,98/1000 = 6,998%
Resposta
c = 6,998%
6.Preço e rendimento de títulos
Resposta: YTM = 6,064 %
Precificação de títulos: o preço de um título é o valor presente dos seus fluxos de caixa, descontados ao rendimento até o vencimento (YTM): os cupons formam uma anuidade e o valor de face é devolvido no vencimento. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando o rendimento está acima da taxa de cupom, o título é negociado abaixo do valor de face, e vice-versa.
Equação do rendimento
€1 025 = €70·(1 − (1 + y)⁻³)/y + €1 000/(1 + y)³
Resolva numericamente
P(6%) = €1 026,73, P(7%) = €1 000,00
YTM = 6,064%
Resposta
YTM = 6,064%
7.CAPM e WACC
Resposta: WACC = 10,11 %
Custo de capital: o CAPM dá o retorno exigido pelos acionistas: re = rf + β·(rm − rf). O custo médio ponderado de capital combina capital próprio e dívida pelos seus valores de mercado: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), com V = E + D. Os juros são dedutíveis do imposto, daí o (1 − T).
Pesos
V = €15 000 000, E/V = 0,6667, D/V = 0,3333
WACC
WACC = 0,6667·13% + 0,3333·6%·(1 − 0,28) = 10,11%
Resposta
WACC = 10,11%
8.CAPM e WACC
Resposta: re = 6,612 %
Beta alavancado (Hamada): a dívida torna o capital próprio mais arriscado. βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E), onde βU é o beta do negócio sem dívida. Para levar um beta a outra estrutura de capital, primeiro desalavanque-o e depois realavanque-o com o novo D/E.
Beta alavancado
βL = 0,9·(1 + 0,7·0,6) = 1,278
Custo do capital próprio (CAPM)
re = 1,5% + 1,278·4% = 6,612%
Resposta
re = 6,612%
9.Estatística descritiva
Resposta: s = 14,89
Estatística descritiva: a média é a soma a dividir por n; a mediana é o valor central dos dados ordenados (a média dos dois centrais se n for par). O desvio-padrão amostral é s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Uma pontuação z = (x − μ)/σ diz a quantos desvios-padrão da média está um valor.
Estatística descritiva: a média é a soma a dividir por n; a mediana é o valor central dos dados ordenados (a média dos dois centrais se n for par). O desvio-padrão amostral é s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Uma pontuação z = (x − μ)/σ diz a quantos desvios-padrão da média está um valor.
Padronizar
z = −1,5
Tabela da normal padrão
Φ(−1,5) = 0,06681
P = 0,06681
Resposta
P = 0,06681
11.Probabilidades
Resposta: σ = 11,35
Variáveis aleatórias discretas: uma distribuição de probabilidade lista cada valor x que uma variável pode assumir com sua probabilidade p(x); as probabilidades ficam entre 0 e 1 e somam 1. O valor esperado (média) é E(X) = Σx·p(x), a média de longo prazo. A variância é Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², e o desvio padrão é σ = √Var(X). Para uma mudança linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) e σY = |a|·σX; somar uma constante não muda a dispersão.
Variáveis aleatórias discretas: uma distribuição de probabilidade lista cada valor x que uma variável pode assumir com sua probabilidade p(x); as probabilidades ficam entre 0 e 1 e somam 1. O valor esperado (média) é E(X) = Σx·p(x), a média de longo prazo. A variância é Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², e o desvio padrão é σ = √Var(X). Para uma mudança linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) e σY = |a|·σX; somar uma constante não muda a dispersão.
Resultados líquidos
G: 2 (p = 0,2), 18 (p = 0,02), −2 (p = 0,78)
Valor esperado
E(G) = 2·0,2 + 18·0,02 − 2·0,78 = −0,8 €
Resposta
E(G) = −0,8 €
Um valor negativo significa que você perde dinheiro em média.
13.Distribuição normal
Resposta: P = 0,5057
Distribuição normal: converta um valor x em uma pontuação z, z = (x − μ)/σ, que conta quantos desvios-padrão ele está da média. Uma tabela z (ou Φ(z)) dá a área à esquerda de z, que é P(X < x). A área à direita é 1 − Φ(z), e a área entre dois valores é a diferença entre as duas áreas.
Pontuações z
z₁ = (23,3 − 32)/6 = −1,45
z₂ = (33,2 − 32)/6 = 0,2
Área entre os valores
P = Φ(0,2) − Φ(−1,45) = 0,5793 − 0,07353 = 0,5057
Resposta
P = 0,5057
14.Distribuição normal
Resposta: x = 103,8 pontos
De uma área de volta a z: Φ(z) é a área à esquerda de z. Para uma área de cauda esquerda A, encontre na tabela o z com Φ(z) = A. Uma área de cauda direita A significa Φ(z) = 1 − A. Uma área central A entre −z e z deixa (1 − A)/2 em cada cauda, então Φ(z) = (1 + A)/2. Para um valor x, use x = μ + zσ.
Área à esquerda
Φ(z) = 0,6
z da tabela
z ≈ 0,25
De volta às unidades originais
x = 100 + 0,25·15 = 103,8 pontos
Resposta
x = 103,8 pontos
15.Intervalos de confiança
Resposta: limite superior = 23,05
Intervalo de confiança para uma média: x̄ ± margem de erro. Com σ populacional conhecido, a margem é z·σ/√n; tendo apenas o desvio-padrão amostral s, use t com n − 1 graus de liberdade: t·s/√n. Valores críticos: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Para obter uma margem E ou menor, você precisa de n ≥ (z·σ/E)², arredondado para cima.
Valor crítico
df = n − 1 = 7, t = 1,895
Margem de erro
E = 1,895·16,5/√8 = 11,05
Intervalo
12 ± 11,05 → [0,9453, 23,05]
Resposta
limite superior = 23,05
16.Intervalos de confiança
Resposta: n = 43
Intervalo de confiança para uma média: x̄ ± margem de erro. Com σ populacional conhecido, a margem é z·σ/√n; tendo apenas o desvio-padrão amostral s, use t com n − 1 graus de liberdade: t·s/√n. Valores críticos: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Para obter uma margem E ou menor, você precisa de n ≥ (z·σ/E)², arredondado para cima.
Resolver em ordem a n
n = (1,96·10/3)² = 42,68
Arredondar para cima
O tamanho da amostra é um número inteiro, e arredondar para baixo deixaria a margem grande demais.
n = 43
Resposta
n = 43
17.Testes de hipóteses e intervalos de confiança
Resposta: t = −1,796
Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).
Erro-padrão da diferença média
SE = 3/√6 = 1,225
Estatística de teste
t = −2,2/1,225 = −1,796
Resposta
t = −1,796
Com gl = 5, o valor crítico bilateral a 5% é 2,571; |t| é menor, então H₀ não é rejeitada.
18.Testes de hipóteses e intervalos de confiança
Resposta: n = 44
Tamanho de amostra para um teste: para detectar um deslocamento real δ com poder 1 − β em um teste z unilateral ao nível α, o erro-padrão deve satisfazer δ = (z_α + z_β)·σ/√n, então n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², arredondado para cima.
Resolver em ordem a n
n = ((1,645 + 1,282)·9/4)² = 43,37
Arredondar para cima
n = 44
Resposta
n = 44
19.Regressão linear e correlação
Resposta: r = 0,965
Regressão por mínimos quadrados: com x̄ e ȳ as médias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), a reta ŷ = a + b·x tem inclinação b = Sxy/Sxx e intercepto a = ȳ − b·x̄, então ela sempre passa por (x̄, ȳ). O coeficiente de correlação de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) fica entre −1 e 1; r² é a fração da variação de y explicada pela reta.
Somas centradas
Sxy = 10692 − 114·543/6 = 375
Sxx = 2236 − 114²/6 = 70
Syy = 51299 − 543²/6 = 2158
Coeficiente de correlação
r = 375/√(70·2158) = 0,965
Resposta
r = 0,965
20.Regressão linear e correlação
Resposta: ŷ = 20,05
Regressão por mínimos quadrados: com x̄ e ȳ as médias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), a reta ŷ = a + b·x tem inclinação b = Sxy/Sxx e intercepto a = ȳ − b·x̄, então ela sempre passa por (x̄, ȳ). O coeficiente de correlação de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) fica entre −1 e 1; r² é a fração da variação de y explicada pela reta.
Médias
x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 105/5 = 21
Somas de quadrados e de produtos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −19
Reta de regressão
b = −19/10 = −1,9
a = 21 − (−1,9)·3 = 26,7
ŷ = 26,7 − 1,9·x
Previsão
ŷ = 26,7 + (−1,9)·3,5 = 20,05
Resposta
ŷ = 20,05
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