Espera-se que um imóvel renda um aluguel líquido de €5 000 no próximo ano. Espera-se que o aluguel cresça 2,5% ao ano para sempre. O retorno exigido é 5,5% ao ano. Encontre o valor PV do imóvel hoje.
C1 = €5 000g = 2,5%r = 5,5%
PV = €
2.Valor temporal do dinheiroDifícil
Poupa €500 no fim de cada mês durante 21 anos. A conta rende 3 % ao ano, capitalizada mensalmente. Quanto poupou no fim? Calcule FV.
A = €5003% / 12N = 252
FV = €
3.VAL e TIRMédia
Um projeto custa €30 000 hoje e retorna €10 500 no final de cada ano durante 4 anos. O custo de capital é 12%. Suponha que os fluxos de caixa entrem de forma uniforme ao longo de cada ano. Encontre o período de payback descontado DPB em anos.
Um projeto custa €40 000 e devolve €15 000, €28 500 no fim dos anos 1 a 2. Calcule a sua taxa interna de rendibilidade IRR em percentagem.
CF0 = −40 000CF1 = 15 000CF2 = 28 500
IRR = %
5.Preço e rendimento de títulosMédia
Um título com valor de face de €1 000 paga um cupom anual de 3% e vence em 12 anos. Seu rendimento até o vencimento muda de 5,5% para 3,5%. Quanto ΔP varia o preço do título?
F = €1 000cupom = 3%n = 12y1 = 5,5%y2 = 3,5%
ΔP = €
6.Preço e rendimento de títulosDifícil
Um título é negociado a €1 065 com rendimento até o vencimento de 6% (capitalização anual) e duration de Macaulay de 11,5 anos. Use a duration modificada para estimar o novo preço P se o rendimento cair 25 pontos-base.
P0 = €1 065y = 6%D = 11,5Δy = −25 bp
P = €
7.CAPM e WACCMédia
Uma ação com beta de 0,8 tem retorno exigido de 8,4%. A taxa livre de risco é 4%. Que retorno esperado do mercado rm o CAPM implica?
β = 0,8re = 8,4%rf = 4%
rm = %
8.CAPM e WACCDifícil
Uma empresa tem 1 000 000 ações a €56,00 cada e 20 000 títulos negociados a €1 050 cada. O custo da dívida antes dos impostos é 4,5% e a alíquota de imposto é 28%. O beta da ação é 0,9, a taxa livre de risco é 1,5% e o retorno do mercado é 8%. Calcule o WACC.
β = 0,9rf = 1,5%rm = 8%rd = 4,5%T = 28%
WACC = %
9.Estatística descritivaMédia
Calcule o desvio-padrão amostral s dos dados: 42, 12, 45, 47, 26, 36.
n = 6
s =
10.Estatística descritivaDifícil
Uma grandeza segue uma distribuição normal com média 70 e desvio-padrão 5. Que proporção P dos valores está acima de 72?
μ = 70σ = 5x = 72
P =
11.ProbabilidadesMédia
De quantas maneiras N se pode escolher uma comissão de 2 pessoas num grupo de 15? A ordem não interessa.
n = 15k = 2
N =
12.ProbabilidadesDifícil
Um teste tem 7 perguntas de escolha múltipla. Uma estudante que responde ao acaso acerta cada uma com probabilidade 0,4, de forma independente. Qual é a probabilidade P de acertar exatamente 3?
n = 7p = 0,4k = 3
P =
13.Distribuição normalMédia
Arraste z para que a área sombreada entre −z e z sob a curva normal padrão seja 0,9736. Encontre z com duas casas decimais.
A = 0,9736
z =
14.Distribuição normalDifícil
Os durações de baterias têm distribuição normal com média 500 h e desvio padrão 40 h. Arraste o ponto de corte para que os 95% inferiores sombreados fiquem à esquerda dele. Encontre o ponto de corte x.
μ = 500 hσ = 40 h95%
x = h
15.Intervalos de confiançaMédia
A pressão arterial de 6 pacientes é medida antes e depois de um tratamento. As diferenças d = antes − depois (mmHg) têm média 6,3 e desvio-padrão 3,4. Encontre a margem de erro E do intervalo de confiança de 99% para a diferença média.
n = 6d̄ = 6,3sd = 3,499%t(5) = 4,032
E = mmHg
16.Intervalos de confiançaDifícil
Os diâmetros de 16 eixos usinados têm desvio-padrão amostral de 4,1 µm. Supondo que os diâmetros tenham distribuição normal, encontre o limite superior σ do intervalo de confiança de 95% para o desvio-padrão populacional. Com gl = 15, 2,5% da distribuição χ² fica abaixo de 6,262 e 2,5% fica acima de 27,488.
n = 16s = 4,1 µmχ² = 6,262, 27,488
σ = µm
17.Testes de hipóteses e intervalos de confiançaMédia
Uma amostra de 16 estudantes tem nota média 107,9 e desvio-padrão amostral 15. Calcule a estatística de teste t para H₀: μ = 100.
μ₀ = 100x̄ = 107,9s = 15n = 16
t =
18.Testes de hipóteses e intervalos de confiançaDifícil
Que tamanho deve ter uma amostra para que o intervalo de confiança a 90 % para uma média tenha uma margem de erro de no máximo 0,5? O desvio-padrão é 8. Calcule o menor tamanho de amostra n.
σ = 8E = 0,590%
n =
19.Regressão linear e correlaçãoMédia
A tabela dá 6 observações pareadas de x = horas de estudo e y = nota na prova. Encontre o coeficiente de correlação de Pearson r.
n = 6
r =
20.Regressão linear e correlaçãoDifícil
A tabela dá 5 observações pareadas de x = carga em kN e y = alongamento em mm. Use a reta de mínimos quadrados ŷ = a + b·x. É feita uma nova observação (7, 18). Encontre o seu resíduo e = y − ŷ.
n = 5(7, 18)
e =
3Soluções
1.Valor temporal do dinheiro
Resposta: PV = 166667 €
Valor temporal do dinheiro: o dinheiro hoje vale mais do que a mesma quantia no futuro, porque pode render juros. Com uma taxa i por período, um montante cresce para FV = PV·(1 + i)n. Uma série de pagamentos iguais (uma renda) avalia-se somando cada pagamento, o que dá as fórmulas das rendas.
Valor temporal do dinheiro: o dinheiro hoje vale mais do que a mesma quantia no futuro, porque pode render juros. Com uma taxa i por período, um montante cresce para FV = PV·(1 + i)n. Uma série de pagamentos iguais (uma renda) avalia-se somando cada pagamento, o que dá as fórmulas das rendas.
Período de payback: o tempo até que os fluxos de caixa acumulados recuperem o investimento inicial. Supõe-se que o caixa entra de forma uniforme durante cada ano, então a última parte é uma fração de ano. O payback simples ignora o valor do dinheiro no tempo; o payback descontado usa os fluxos de caixa descontados.
Fluxos de caixa descontados e acumulados
ano 1: 10 500/1,12 = 9 375,00 → Σ = 9 375,00
ano 2: 10 500/1,254 = 8 370,54 → Σ = 17 745,54
ano 3: 10 500/1,405 = 7 473,69 → Σ = 25 219,23
ano 4: 10 500/1,574 = 6 672,94 → Σ = 31 892,17
Fração do último ano
DPB = 3 + 4 780,77/6 672,94 = 3,716
Resposta
DPB = 3,716 anos
O payback descontado é sempre mais longo que o payback simples (2,857 anos).
4.VAL e TIR
Resposta: IRR = 5,217 %
Valor atual líquido: desconte cada fluxo de caixa até hoje com a rendibilidade exigida r e some-os: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Um projeto com NPV > 0 rende mais do que r e cria valor. A taxa interna de rendibilidade (TIR) é a taxa para a qual NPV = 0.
Enquadrar a TIR
O VAL desce quando a taxa sobe, por isso a TIR está entre uma taxa com VAL positivo e outra com VAL negativo.
NPV(5%) = 136,05
NPV(10%) = −2 809,92
Aproximar
A interpolação linear dá uma primeira estimativa; repeti-la (ou usar a função TIR de uma calculadora) dá a taxa exata.
Precificação de títulos: o preço de um título é o valor presente dos seus fluxos de caixa, descontados ao rendimento até o vencimento (YTM): os cupons formam uma anuidade e o valor de face é devolvido no vencimento. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando o rendimento está acima da taxa de cupom, o título é negociado abaixo do valor de face, e vice-versa.
Duration: a duration de Macaulay é o prazo médio ponderado em que um título paga seus fluxos de caixa, usando como pesos os valores presentes dos fluxos de caixa: D = Σ t·PVₜ/P. A duration modificada D/(1 + y) estima a variação percentual do preço para uma pequena variação do rendimento: %ΔP ≈ −Dmod·Δy.
Duration modificada
Dmod = 11,5/1,06 = 10,85
Variação estimada do preço
%ΔP ≈ −10,85·(−0,0025) = 2,712%
P ≈ 1065·(1 + 0,02712) = €1 093,89
Resposta
P = €1 093,89
A duration é uma estimativa linear; para grandes variações de rendimento a convexidade torna o preço real um pouco mais alto.
7.CAPM e WACC
Resposta: rm = 9,5 %
Custo de capital: o CAPM dá o retorno exigido pelos acionistas: re = rf + β·(rm − rf). O custo médio ponderado de capital combina capital próprio e dívida pelos seus valores de mercado: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), com V = E + D. Os juros são dedutíveis do imposto, daí o (1 − T).
Prêmio de risco de mercado
rm − rf = (8,4% − 4%)/0,8 = 5,5%
Retorno do mercado
rm = 4% + 5,5% = 9,5%
Resposta
rm = 9,5%
8.CAPM e WACC
Resposta: WACC = 6,229 %
Custo de capital: o CAPM dá o retorno exigido pelos acionistas: re = rf + β·(rm − rf). O custo médio ponderado de capital combina capital próprio e dívida pelos seus valores de mercado: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), com V = E + D. Os juros são dedutíveis do imposto, daí o (1 − T).
Estatística descritiva: a média é a soma a dividir por n; a mediana é o valor central dos dados ordenados (a média dos dois centrais se n for par). O desvio-padrão amostral é s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Uma pontuação z = (x − μ)/σ diz a quantos desvios-padrão da média está um valor.
Estatística descritiva: a média é a soma a dividir por n; a mediana é o valor central dos dados ordenados (a média dos dois centrais se n for par). O desvio-padrão amostral é s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Uma pontuação z = (x − μ)/σ diz a quantos desvios-padrão da média está um valor.
Padronizar
z = 0,4
Tabela da normal padrão
Φ(0,4) = 0,6554
P = 1 − 0,6554 = 0,3446
Resposta
P = 0,3446
11.Probabilidades
Resposta: N = 105
Probabilidades: com resultados equiprováveis, P(A) = favoráveis/possíveis. Para acontecimentos independentes multiplica-se: P(A e B) = P(A)·P(B). O complementar ajuda muitas vezes: P(pelo menos um) = 1 − P(nenhum). Binomial: em n provas independentes com probabilidade de sucesso p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Combinações
C(15, 2) = (15·14)/(2·1) = 105
Resposta
N = 105
12.Probabilidades
Resposta: P = 0,2903
Probabilidades: com resultados equiprováveis, P(A) = favoráveis/possíveis. Para acontecimentos independentes multiplica-se: P(A e B) = P(A)·P(B). O complementar ajuda muitas vezes: P(pelo menos um) = 1 − P(nenhum). Binomial: em n provas independentes com probabilidade de sucesso p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
De uma área de volta a z: Φ(z) é a área à esquerda de z. Para uma área de cauda esquerda A, encontre na tabela o z com Φ(z) = A. Uma área de cauda direita A significa Φ(z) = 1 − A. Uma área central A entre −z e z deixa (1 − A)/2 em cada cauda, então Φ(z) = (1 + A)/2. Para um valor x, use x = μ + zσ.
Área à esquerda de z
Φ(z) = (1 + 0,9736)/2 = 0,9868
Leia a tabela de z ao contrário
Encontre 0,9868 dentro da tabela e leia z.
z = 2,22
Resposta
z = 2,22
14.Distribuição normal
Resposta: x = 566 h
De uma área de volta a z: Φ(z) é a área à esquerda de z. Para uma área de cauda esquerda A, encontre na tabela o z com Φ(z) = A. Uma área de cauda direita A significa Φ(z) = 1 − A. Uma área central A entre −z e z deixa (1 − A)/2 em cada cauda, então Φ(z) = (1 + A)/2. Para um valor x, use x = μ + zσ.
Área à esquerda
Φ(z) = 0,95
z da tabela
z ≈ 1,64
De volta às unidades originais
x = 500 + 1,64·40 = 566 h
Resposta
x = 566 h
15.Intervalos de confiança
Resposta: E = 5,597 mmHg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Valor crítico
df = 5, t = 4,032
Margem de erro
E = 4,032·3,4/√6 = 5,597
Resposta
E = 5,597 mmHg
16.Intervalos de confiança
Resposta: σ = 6,346 µm
Intervalo para uma variância: (n − 1)s²/σ² tem distribuição χ² com n − 1 graus de liberdade. O intervalo de 95% para σ² vai de (n − 1)s² dividido pelo valor superior de χ² (2,5% acima dele) até (n − 1)s² dividido pelo valor inferior de χ² (2,5% abaixo dele); o intervalo para σ é a raiz quadrada dos dois limites. Ele não é simétrico em torno de s.
Soma de quadrados
(n − 1)s² = 15·4,1² = 252,1
Limites para σ²
252,1/27,488 = 9,173
252,1/6,262 = 40,27
Limite para σ
σ = √40,27 = 6,346 µm
Resposta
σ = 6,346 µm
Intervalo de 95% para σ: [3,029, 6,346] µm.
17.Testes de hipóteses e intervalos de confiança
Resposta: t = 2,107
Teste a uma média: a estatística de teste mede a quantos erros-padrão a média amostral está do valor afirmado em H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) quando σ é conhecido, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) quando é estimado pela amostra. Um intervalo de confiança é x̄ ± (valor crítico)·(erro-padrão).
Erro-padrão
SE = 15/√16 = 15/4 = 3,75
Estatística de teste
t = (107,9 − 100)/3,75 = 2,107
Resposta
t = 2,107
t0,025; df = 15 = 2,131
|t| < 2.131, então H₀ não é rejeitada ao nível de 5% (bilateral).
18.Testes de hipóteses e intervalos de confiança
Resposta: n = 693
Teste a uma média: a estatística de teste mede a quantos erros-padrão a média amostral está do valor afirmado em H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) quando σ é conhecido, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) quando é estimado pela amostra. Um intervalo de confiança é x̄ ± (valor crítico)·(erro-padrão).
Resolver em ordem a n
n = (1,645·8/0,5)² = 692,7
Arredondar para cima
n = 693
Resposta
n = 693
19.Regressão linear e correlação
Resposta: r = 0,9834
Regressão por mínimos quadrados: com x̄ e ȳ as médias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), a reta ŷ = a + b·x tem inclinação b = Sxy/Sxx e intercepto a = ȳ − b·x̄, então ela sempre passa por (x̄, ȳ). O coeficiente de correlação de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) fica entre −1 e 1; r² é a fração da variação de y explicada pela reta.
Médias
x̄ = 36/6 = 6
ȳ = 391/6 = 65,17
Somas de quadrados e de produtos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 329
Syy = Σ(y − ȳ)² = 1599
Coeficiente de correlação
r = 329/√(70·1599) = 0,9834
Resposta
r = 0,9834
20.Regressão linear e correlação
Resposta: e = 4,6
Regressão por mínimos quadrados: com x̄ e ȳ as médias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), a reta ŷ = a + b·x tem inclinação b = Sxy/Sxx e intercepto a = ȳ − b·x̄, então ela sempre passa por (x̄, ȳ). O coeficiente de correlação de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) fica entre −1 e 1; r² é a fração da variação de y explicada pela reta.
Médias
x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 60/5 = 12
Somas de quadrados e de produtos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 56
Reta de regressão
b = 56/40 = 1,4
a = 12 − 1,4·6 = 3,6
ŷ = 3,6 + 1,4·x
Valor previsto
ŷ = 3,6 + 1,4·7 = 13,4
Resíduo
e = 18 − 13,4 = 4,6
Resposta
e = 4,6
O ponto está acima da reta.
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