Uma anuidade paga €8 000 no final de cada ano durante 15 anos. A taxa de juros é 8% ao ano. Encontre o valor presente PV da anuidade.
A = €8 000i = 8%n = 15
PV = €
2.Valor temporal do dinheiroDifícil
Um empréstimo de €25 000 é pago em prestações mensais iguais durante 3 anos. A taxa de juro é de 4,2 % ao ano, capitalizada mensalmente. Calcule a prestação mensal A.
P = €25 0004,2% / 12N = 36
A = €
3.VAL e TIRMédia
Um investimento de €75 000 gera estes fluxos no fim dos anos 1 a 3: €15 000, €32 000, €35 000. O custo do capital é de 10 %. Calcule o valor atual líquido NPV.
Um projeto custa €40 000 e devolve €28 000, €19 500, €25 500 no fim dos anos 1 a 3. Calcule a sua taxa interna de rendibilidade IRR em percentagem.
CF0 = −40 000CF1 = 28 000CF2 = 19 500CF3 = 25 500
IRR = %
5.Preço e rendimento de títulosMédia
Você compra um título com 4 anos até o vencimento (valor de face €1 000, cupom anual 8%) quando seu rendimento até o vencimento é 6%. Um ano depois, logo após receber o primeiro cupom, você o vende quando o rendimento até o vencimento é 7,5%. Encontre seu retorno no período de posse HPR em porcentagem.
F = €1 000cupom = 8%n = 4y0 = 6%y1 = 7,5%
HPR = %
6.Preço e rendimento de títulosDifícil
Um título com valor de face de €1 000 paga um cupom anual de 5% em dois pagamentos semestrais e vence em 3 anos. Ele é vendido a €1 072. Encontre seu rendimento até o vencimento YTM como taxa anual (o dobro do rendimento semestral), em porcentagem.
F = €1 000cupom = 5% (2×)n = 3P = €1 072
YTM = %
7.CAPM e WACCMédia
Uma empresa tem uma relação dívida/capital próprio (a valores de mercado) de 1,5. Seu custo do capital próprio é 13%, seu custo da dívida antes dos impostos é 3% e a alíquota de imposto é 30%. Encontre o WACC.
D/E = 1,5re = 13%rd = 3%T = 30%
WACC = %
8.CAPM e WACCDifícil
Uma empresa tem 1 000 000 ações a €44,00 cada e 20 000 títulos negociados a €1 050 cada. O custo da dívida antes dos impostos é 3% e a alíquota de imposto é 21%. O beta da ação é 0,6, a taxa livre de risco é 3% e o retorno do mercado é 8%. Calcule o WACC.
β = 0,6rf = 3%rm = 8%rd = 3%T = 21%
WACC = %
9.Estatística descritivaMédia
Calcule o desvio-padrão amostral s dos dados: 47, 32, 51, 29, 24, 57.
n = 6
s =
10.Estatística descritivaDifícil
Uma grandeza segue uma distribuição normal com média 50 e desvio-padrão 5. Que proporção P dos valores está abaixo de 42,5?
μ = 50σ = 5x = 42,5
P =
11.ProbabilidadesMédia
Para a distribuição mostrada, encontre a variância Var(X) de X.
x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0,15, 0,2, 0,2, 0,15, 0,3
Var(X) =
12.ProbabilidadesDifícil
Um jogo custa €2 para jogar. Você ganha €8 com probabilidade 0,25 e €40 com probabilidade 0,05; caso contrário, não ganha nada. A aposta não é devolvida. Encontre o ganho líquido esperado E(G) por jogo.
aposta = €2€8: p = 0,25€40: p = 0,05
E(G) = €
13.Distribuição normalMédia
Arraste z para que a área sombreada sob a curva normal padrão, à direita de z, seja 0,7939. Encontre z com duas casas decimais.
A = 0,7939
z =
14.Distribuição normalDifícil
Os notas de prova têm distribuição normal com média 65 pontos e desvio padrão 10 pontos. Arraste o ponto de corte para que os 15% superiores sombreados fiquem à direita dele. Encontre o ponto de corte x.
μ = 65 pontosσ = 10 pontos15%
x = pontos
15.Intervalos de confiançaMédia
Uma amostra de 16 itens tem média 25,5 e desvio-padrão s = 12. A população é aproximadamente normal. Calcule a margem de erro E de um intervalo de confiança de 95% para a média.
n = 16x̄ = 25,5s = 1295%t(15) = 2,131
E =
16.Intervalos de confiançaDifícil
O desvio-padrão da população é 9. Qual o tamanho de amostra n necessário para que um intervalo de confiança de 95% para a média tenha margem de erro de no máximo 2,5?
σ = 9E = 2,595%
n =
17.Testes de hipóteses e intervalos de confiançaMédia
16 funcionários fazem um teste de digitação antes e depois de um curso de treinamento. Para cada pessoa é registrada a diferença d = depois − antes (palavras por minuto). A diferença média é 2,93 e o desvio-padrão das diferenças é 6,9. Encontre a estatística do teste pareado t para H₀: μd = 0.
n = 16d̄ = 2,93sd = 6,9
t =
18.Testes de hipóteses e intervalos de confiançaDifícil
Um teste z unilateral de H₀: μ = 100 contra H₁: μ > 100 é feito com α = 0,05 e uma amostra de 100; o desvio-padrão é conhecido e vale 15. Na realidade a média é 101,5. Encontre o poder 1 − β do teste em porcentagem.
μ₀ = 100μ = 101,5σ = 15n = 100α = 0,05
1 − β = %
19.Regressão linear e correlaçãoMédia
A tabela dá 5 observações pareadas de x = gasto com publicidade em k€ e y = vendas em k€. Encontre o coeficiente de determinação r² da reta de mínimos quadrados.
n = 5
r² =
20.Regressão linear e correlaçãoDifícil
A tabela dá 6 observações pareadas de x = temperatura em °C e y = sorvetes vendidos. Use a reta de mínimos quadrados ŷ = a + b·x. Preveja ŷ para x = 19,5.
n = 6x = 19,5
ŷ =
3Soluções
1.Valor temporal do dinheiro
Resposta: PV = 68476 €
Valor temporal do dinheiro: o dinheiro hoje vale mais do que a mesma quantia no futuro, porque pode render juros. Com uma taxa i por período, um montante cresce para FV = PV·(1 + i)n. Uma série de pagamentos iguais (uma renda) avalia-se somando cada pagamento, o que dá as fórmulas das rendas.
Fator de anuidade
(1 − (1 + i)−n)/i = (1 − 0,3152)/0,08 = 8,559
Valor atual
PV = 8 000·8,559 = €68 475,83
Resposta
PV = €68 475,83
2.Valor temporal do dinheiro
Resposta: A = 740,3 €
Valor temporal do dinheiro: o dinheiro hoje vale mais do que a mesma quantia no futuro, porque pode render juros. Com uma taxa i por período, um montante cresce para FV = PV·(1 + i)n. Uma série de pagamentos iguais (uma renda) avalia-se somando cada pagamento, o que dá as fórmulas das rendas.
Taxa mensal e número de prestações
i = 0,042/12 = 0,0035
N = 12·3 = 36
Prestação
O valor atual de N pagamentos iguais A é A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Iguale-o ao empréstimo e resolva em ordem a A.
(1 + i)−N = 0,8818
A = 25 000·0,0035/(1 − 0,8818) = €740,33
Resposta
A = €740,33
3.VAL e TIR
Resposta: NPV = −8621 €
Valor atual líquido: desconte cada fluxo de caixa até hoje com a rendibilidade exigida r e some-os: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Um projeto com NPV > 0 rende mais do que r e cria valor. A taxa interna de rendibilidade (TIR) é a taxa para a qual NPV = 0.
Valor atual de cada fluxo
CF0 = −75 000
CF1/(1 + 0,1)1 = 15 000/1,1 = 13 636,36
CF2/(1 + 0,1)2 = 32 000/1,21 = 26 446,28
CF3/(1 + 0,1)3 = 35 000/1,331 = 26 296,02
Somar
NPV = €−8 621,34
Resposta
NPV = €−8 621,34
O VAL é negativo, logo o projeto rende menos do que a rendibilidade exigida.
4.VAL e TIR
Resposta: IRR = 38,46 %
Valor atual líquido: desconte cada fluxo de caixa até hoje com a rendibilidade exigida r e some-os: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Um projeto com NPV > 0 rende mais do que r e cria valor. A taxa interna de rendibilidade (TIR) é a taxa para a qual NPV = 0.
Enquadrar a TIR
O VAL desce quando a taxa sobe, por isso a TIR está entre uma taxa com VAL positivo e outra com VAL negativo.
NPV(35%) = 1 804,60
NPV(40%) = −758,02
Aproximar
A interpolação linear dá uma primeira estimativa; repeti-la (ou usar a função TIR de uma calculadora) dá a taxa exata.
Precificação de títulos: o preço de um título é o valor presente dos seus fluxos de caixa, descontados ao rendimento até o vencimento (YTM): os cupons formam uma anuidade e o valor de face é devolvido no vencimento. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando o rendimento está acima da taxa de cupom, o título é negociado abaixo do valor de face, e vice-versa.
Precificação de títulos: o preço de um título é o valor presente dos seus fluxos de caixa, descontados ao rendimento até o vencimento (YTM): os cupons formam uma anuidade e o valor de face é devolvido no vencimento. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando o rendimento está acima da taxa de cupom, o título é negociado abaixo do valor de face, e vice-versa.
Por período
C = €25,00, N = 6
Resolva numericamente
i = 1,247% por semestre
YTM
YTM = 2·1,247% = 2,494%
Resposta
YTM = 2,494%
7.CAPM e WACC
Resposta: WACC = 6,46 %
Custo de capital: o CAPM dá o retorno exigido pelos acionistas: re = rf + β·(rm − rf). O custo médio ponderado de capital combina capital próprio e dívida pelos seus valores de mercado: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), com V = E + D. Os juros são dedutíveis do imposto, daí o (1 − T).
Pesos a partir de D/E
E/V = 1/(1 + 1,5) = 0,4
D/V = 1,5/(1 + 1,5) = 0,6
WACC
WACC = 0,4·13% + 0,6·3%·(1 − 0,3) = 6,46%
Resposta
WACC = 6,46%
8.CAPM e WACC
Resposta: WACC = 4,827 %
Custo de capital: o CAPM dá o retorno exigido pelos acionistas: re = rf + β·(rm − rf). O custo médio ponderado de capital combina capital próprio e dívida pelos seus valores de mercado: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), com V = E + D. Os juros são dedutíveis do imposto, daí o (1 − T).
Valores de mercado
E = 1 000 000·€44,00 = €44 000 000
D = 20 000·€1 050 = €21 000 000
Custo do capital próprio (CAPM)
re = 3% + 0,6·5% = 6%
Pesos
V = €65 000 000, E/V = 0,6769, D/V = 0,3231
WACC
WACC = 0,6769·6% + 0,3231·3%·(1 − 0,21) = 4,827%
Resposta
WACC = 4,827%
9.Estatística descritiva
Resposta: s = 13,42
Estatística descritiva: a média é a soma a dividir por n; a mediana é o valor central dos dados ordenados (a média dos dois centrais se n for par). O desvio-padrão amostral é s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Uma pontuação z = (x − μ)/σ diz a quantos desvios-padrão da média está um valor.
Estatística descritiva: a média é a soma a dividir por n; a mediana é o valor central dos dados ordenados (a média dos dois centrais se n for par). O desvio-padrão amostral é s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Uma pontuação z = (x − μ)/σ diz a quantos desvios-padrão da média está um valor.
Padronizar
z = −1,5
Tabela da normal padrão
Φ(−1,5) = 0,06681
P = 0,06681
Resposta
P = 0,06681
11.Probabilidades
Resposta: Var(X) = 2,088
Variáveis aleatórias discretas: uma distribuição de probabilidade lista cada valor x que uma variável pode assumir com sua probabilidade p(x); as probabilidades ficam entre 0 e 1 e somam 1. O valor esperado (média) é E(X) = Σx·p(x), a média de longo prazo. A variância é Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², e o desvio padrão é σ = √Var(X). Para uma mudança linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) e σY = |a|·σX; somar uma constante não muda a dispersão.
Variáveis aleatórias discretas: uma distribuição de probabilidade lista cada valor x que uma variável pode assumir com sua probabilidade p(x); as probabilidades ficam entre 0 e 1 e somam 1. O valor esperado (média) é E(X) = Σx·p(x), a média de longo prazo. A variância é Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², e o desvio padrão é σ = √Var(X). Para uma mudança linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) e σY = |a|·σX; somar uma constante não muda a dispersão.
Resultados líquidos
G: 6 (p = 0,25), 38 (p = 0,05), −2 (p = 0,7)
Valor esperado
E(G) = 6·0,25 + 38·0,05 − 2·0,7 = 2 €
Resposta
E(G) = 2 €
Um valor positivo significa que você ganha dinheiro em média.
13.Distribuição normal
Resposta: z = −0,82
De uma área de volta a z: Φ(z) é a área à esquerda de z. Para uma área de cauda esquerda A, encontre na tabela o z com Φ(z) = A. Uma área de cauda direita A significa Φ(z) = 1 − A. Uma área central A entre −z e z deixa (1 − A)/2 em cada cauda, então Φ(z) = (1 + A)/2. Para um valor x, use x = μ + zσ.
Área à esquerda de z
Φ(z) = 1 − 0,7939 = 0,2061
Leia a tabela de z ao contrário
Encontre 0,2061 dentro da tabela e leia z.
z = −0,82
Resposta
z = −0,82
14.Distribuição normal
Resposta: x = 75,4 pontos
De uma área de volta a z: Φ(z) é a área à esquerda de z. Para uma área de cauda esquerda A, encontre na tabela o z com Φ(z) = A. Uma área de cauda direita A significa Φ(z) = 1 − A. Uma área central A entre −z e z deixa (1 − A)/2 em cada cauda, então Φ(z) = (1 + A)/2. Para um valor x, use x = μ + zσ.
Área à esquerda
Φ(z) = 0,85
z da tabela
z ≈ 1,04
De volta às unidades originais
x = 65 + 1,04·10 = 75,4 pontos
Resposta
x = 75,4 pontos
15.Intervalos de confiança
Resposta: E = 6,393
Intervalo de confiança para uma média: x̄ ± margem de erro. Com σ populacional conhecido, a margem é z·σ/√n; tendo apenas o desvio-padrão amostral s, use t com n − 1 graus de liberdade: t·s/√n. Valores críticos: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Para obter uma margem E ou menor, você precisa de n ≥ (z·σ/E)², arredondado para cima.
Valor crítico
df = n − 1 = 15, t = 2,131
Margem de erro
E = 2,131·12/√16 = 6,393
Resposta
E = 6,393
16.Intervalos de confiança
Resposta: n = 50
Intervalo de confiança para uma média: x̄ ± margem de erro. Com σ populacional conhecido, a margem é z·σ/√n; tendo apenas o desvio-padrão amostral s, use t com n − 1 graus de liberdade: t·s/√n. Valores críticos: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Para obter uma margem E ou menor, você precisa de n ≥ (z·σ/E)², arredondado para cima.
Resolver em ordem a n
n = (1,96·9/2,5)² = 49,79
Arredondar para cima
O tamanho da amostra é um número inteiro, e arredondar para baixo deixaria a margem grande demais.
n = 50
Resposta
n = 50
17.Testes de hipóteses e intervalos de confiança
Resposta: t = 1,699
Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).
Erro-padrão da diferença média
SE = 6,9/√16 = 1,725
Estatística de teste
t = 2,93/1,725 = 1,699
Resposta
t = 1,699
Com gl = 15, o valor crítico bilateral a 5% é 2,131; |t| é menor, então H₀ não é rejeitada.
18.Testes de hipóteses e intervalos de confiança
Resposta: 1 − β = 25,95 %
Poder de um teste: poder = 1 − β é a probabilidade de rejeitar H₀ quando ela é falsa. Encontre o limite x̄c a partir de μ₀ e z_α, depois calcule a probabilidade de cair além de x̄c usando a média verdadeira: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).
Média amostral crítica
SE = 15/√100 = 1,5
x̄c = 100 + 1,645·1,5 = 102,5
z sob a média verdadeira
z = (102,5 − 101,5)/1,5 = 0,645
Potência
poder = P(Z > 0,645) = 25,95%
1 − β = 25,95%
Resposta
1 − β = 25,95%
19.Regressão linear e correlação
Resposta: r² = 0,966
Regressão por mínimos quadrados: com x̄ e ȳ as médias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), a reta ŷ = a + b·x tem inclinação b = Sxy/Sxx e intercepto a = ȳ − b·x̄, então ela sempre passa por (x̄, ȳ). O coeficiente de correlação de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) fica entre −1 e 1; r² é a fração da variação de y explicada pela reta.
Médias
x̄ = 35/5 = 7
ȳ = 209/5 = 41,8
Somas de quadrados e de produtos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 100
Syy = Σ(y − ȳ)² = 258,8
Coeficiente de determinação
r² = 100²/(40·258,8) = 0,966
Resposta
r² = 0,966
Cerca de 96,6% da variação de y é explicada pela reta.
20.Regressão linear e correlação
Resposta: ŷ = 104,3
Regressão por mínimos quadrados: com x̄ e ȳ as médias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), a reta ŷ = a + b·x tem inclinação b = Sxy/Sxx e intercepto a = ȳ − b·x̄, então ela sempre passa por (x̄, ȳ). O coeficiente de correlação de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) fica entre −1 e 1; r² é a fração da variação de y explicada pela reta.
Médias
x̄ = 135/6 = 22,5
ȳ = 720/6 = 120
Somas de quadrados e de produtos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 157,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 825
Reta de regressão
b = 825/157,5 = 5,238
a = 120 − 5,238·22,5 = 2,143
ŷ = 2,143 + 5,238·x
Previsão
ŷ = 2,143 + 5,238·19,5 = 104,3
Resposta
ŷ = 104,3
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