Espera-se que um imóvel renda um aluguel líquido de €8 000 no próximo ano. Espera-se que o aluguel cresça 4% ao ano para sempre. O retorno exigido é 8% ao ano. Encontre o valor PV do imóvel hoje.
C1 = €8 000g = 4%r = 8%
PV = €
2.Valor temporal do dinheiroDifícil
Poupa €50 no fim de cada mês durante 21 anos. A conta rende 7,2 % ao ano, capitalizada mensalmente. Quanto poupou no fim? Calcule FV.
A = €507,2% / 12N = 252
FV = €
3.VAL e TIRMédia
Um investimento de €45 000 gera estes fluxos no fim dos anos 1 a 3: €13 000, €22 000, €16 000. O custo do capital é de 6 %. Calcule o valor atual líquido NPV.
Um projeto custa €20 000 e devolve €8 500, €13 000, €7 500 no fim dos anos 1 a 3. Calcule a sua taxa interna de rendibilidade IRR em percentagem.
CF0 = −20 000CF1 = 8 500CF2 = 13 000CF3 = 7 500
IRR = %
5.Preço e rendimento de títulosMédia
Um título com valor de face de €1 000 vence em 3 anos e paga cupons anuais. Ele é vendido a €1 042 quando o rendimento até o vencimento é 3,5%. Encontre a taxa de cupom c em porcentagem.
F = €1 000n = 3P = €1 042YTM = 3,5%
c = %
6.Preço e rendimento de títulosDifícil
Um título com valor de face de €1 000 e cupom anual de 3% vence em 7 anos e é vendido por €1 065. Calcule seu rendimento até o vencimento YTM em porcentagem.
F = €1 000cupom = 3%n = 7P = €1 065
YTM = %
7.CAPM e WACCMédia
Uma empresa tem uma relação dívida/capital próprio (a valores de mercado) de 0,5. Seu custo do capital próprio é 9%, seu custo da dívida antes dos impostos é 3,5% e a alíquota de imposto é 25%. Encontre o WACC.
D/E = 0,5re = 9%rd = 3,5%T = 25%
WACC = %
8.CAPM e WACCDifícil
Uma empresa tem capital próprio com valor de mercado de €10 000 000 e custo do capital próprio de 13%. Sua dívida consiste em 5 000 títulos (valor de face €1 000, cupom anual 6%, 11 anos até o vencimento) negociados a €1 040 cada. A alíquota de imposto é 21%. Encontre o WACC, usando o rendimento até o vencimento dos títulos como custo da dívida antes dos impostos.
Calcule o desvio-padrão amostral s dos dados: 18, 60, 50, 52, 16.
n = 5
s =
10.Estatística descritivaDifícil
As notas de um exame seguem uma distribuição normal com média 500 e desvio-padrão 75. Calcule a pontuação z z de uma nota de 575.
μ = 500σ = 75x = 575
z =
11.ProbabilidadesMédia
Para a distribuição mostrada, encontre a variância Var(X) de X.
x: 0, 1, 2, 3p(x): 0,35, 0,25, 0,05, 0,35
Var(X) =
12.ProbabilidadesDifícil
Um teste tem 5 perguntas de escolha múltipla. Uma estudante que responde ao acaso acerta cada uma com probabilidade 0,7, de forma independente. Qual é a probabilidade P de acertar exatamente 4?
n = 5p = 0,7k = 4
P =
13.Distribuição normalMédia
As massas de sacos seguem uma distribuição normal com média 250 g e desvio-padrão 5 g. Que fração está entre 242,25 e 251,25 g? Dê P em forma decimal.
μ = 250σ = 5x1 = 242,25x2 = 251,25
P =
14.Distribuição normalDifícil
As alturas de homens adultos seguem uma distribuição normal com média 178 cm e desvio-padrão 7 cm. Calcule o valor x abaixo do qual estão 80% delas (o percentil 80).
μ = 178σ = 7P = 80%
x = cm
15.Intervalos de confiançaMédia
Uma amostra de 8 itens tem média 98 e desvio-padrão s = 10. A população é aproximadamente normal. Calcule o limite superior do intervalo de confiança de 90% para a média.
n = 8x̄ = 98s = 1090%t(7) = 1,895
limite superior =
16.Intervalos de confiançaDifícil
O desvio-padrão da população é 14. Qual o tamanho de amostra n necessário para que um intervalo de confiança de 95% para a média tenha margem de erro de no máximo 0,5?
σ = 14E = 0,595%
n =
17.Testes de hipóteses e intervalos de confiançaMédia
Duas linhas de produção fabricam a mesma peça. Linha 1: uma amostra de 40 peças tem comprimento médio de 118,5 mm, e o desvio-padrão conhecido da linha é 19 mm. Linha 2: uma amostra de 50 peças tem média de 128,9 mm, desvio-padrão conhecido de 17 mm. Encontre a estatística de teste z para H₀: μ₁ = μ₂, tomando a diferença como x̄₁ − x̄₂ (linha 1 menos linha 2).
18.Testes de hipóteses e intervalos de confiançaDifícil
Uma amostra de 64 medições tem média 74,6. O desvio-padrão da população é 5. Calcule o limite superior U do intervalo de confiança a 90 % para a média.
x̄ = 74,6σ = 5n = 6490%
U =
19.Regressão linear e correlaçãoMédia
A tabela dá 6 observações pareadas de x = gasto com publicidade em k€ e y = vendas em k€. As suas somas são dadas. Encontre o coeficiente de correlação de Pearson r a partir dessas somas.
A tabela dá 5 observações pareadas de x = horas de estudo e y = nota na prova. Use a reta de mínimos quadrados ŷ = a + b·x. Preveja ŷ para x = 8.
n = 5x = 8
ŷ =
3Soluções
1.Valor temporal do dinheiro
Resposta: PV = 200000 €
Valor temporal do dinheiro: o dinheiro hoje vale mais do que a mesma quantia no futuro, porque pode render juros. Com uma taxa i por período, um montante cresce para FV = PV·(1 + i)n. Uma série de pagamentos iguais (uma renda) avalia-se somando cada pagamento, o que dá as fórmulas das rendas.
Valor temporal do dinheiro: o dinheiro hoje vale mais do que a mesma quantia no futuro, porque pode render juros. Com uma taxa i por período, um montante cresce para FV = PV·(1 + i)n. Uma série de pagamentos iguais (uma renda) avalia-se somando cada pagamento, o que dá as fórmulas das rendas.
Valor atual líquido: desconte cada fluxo de caixa até hoje com a rendibilidade exigida r e some-os: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Um projeto com NPV > 0 rende mais do que r e cria valor. A taxa interna de rendibilidade (TIR) é a taxa para a qual NPV = 0.
Valor atual de cada fluxo
CF0 = −45 000
CF1/(1 + 0,06)1 = 13 000/1,06 = 12 264,15
CF2/(1 + 0,06)2 = 22 000/1,124 = 19 579,92
CF3/(1 + 0,06)3 = 16 000/1,191 = 13 433,91
Somar
NPV = €277,98
Resposta
NPV = €277,98
O VAL é positivo, logo o projeto rende mais do que a rendibilidade exigida.
4.VAL e TIR
Resposta: IRR = 21,45 %
Valor atual líquido: desconte cada fluxo de caixa até hoje com a rendibilidade exigida r e some-os: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Um projeto com NPV > 0 rende mais do que r e cria valor. A taxa interna de rendibilidade (TIR) é a taxa para a qual NPV = 0.
Enquadrar a TIR
O VAL desce quando a taxa sobe, por isso a TIR está entre uma taxa com VAL positivo e outra com VAL negativo.
NPV(20%) = 451,39
NPV(25%) = −1 040,00
Aproximar
A interpolação linear dá uma primeira estimativa; repeti-la (ou usar a função TIR de uma calculadora) dá a taxa exata.
Precificação de títulos: o preço de um título é o valor presente dos seus fluxos de caixa, descontados ao rendimento até o vencimento (YTM): os cupons formam uma anuidade e o valor de face é devolvido no vencimento. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando o rendimento está acima da taxa de cupom, o título é negociado abaixo do valor de face, e vice-versa.
Valor presente do valor de face
1000·(1 + 0,035)−3 = €901,94
Cupom
C = (1042 − 901,94)/2,802 = €49,99
Taxa de cupom
c = 49,99/1000 = 4,999%
Resposta
c = 4,999%
6.Preço e rendimento de títulos
Resposta: YTM = 1,996 %
Precificação de títulos: o preço de um título é o valor presente dos seus fluxos de caixa, descontados ao rendimento até o vencimento (YTM): os cupons formam uma anuidade e o valor de face é devolvido no vencimento. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando o rendimento está acima da taxa de cupom, o título é negociado abaixo do valor de face, e vice-versa.
Equação do rendimento
€1 065 = €30·(1 − (1 + y)⁻⁷)/y + €1 000/(1 + y)⁷
Resolva numericamente
P(1%) = €1 134,56, P(2%) = €1 064,72
YTM = 1,996%
Resposta
YTM = 1,996%
7.CAPM e WACC
Resposta: WACC = 6,875 %
Custo de capital: o CAPM dá o retorno exigido pelos acionistas: re = rf + β·(rm − rf). O custo médio ponderado de capital combina capital próprio e dívida pelos seus valores de mercado: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), com V = E + D. Os juros são dedutíveis do imposto, daí o (1 − T).
Custo de capital: o CAPM dá o retorno exigido pelos acionistas: re = rf + β·(rm − rf). O custo médio ponderado de capital combina capital próprio e dívida pelos seus valores de mercado: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), com V = E + D. Os juros são dedutíveis do imposto, daí o (1 − T).
Estatística descritiva: a média é a soma a dividir por n; a mediana é o valor central dos dados ordenados (a média dos dois centrais se n for par). O desvio-padrão amostral é s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Uma pontuação z = (x − μ)/σ diz a quantos desvios-padrão da média está um valor.
Estatística descritiva: a média é a soma a dividir por n; a mediana é o valor central dos dados ordenados (a média dos dois centrais se n for par). O desvio-padrão amostral é s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Uma pontuação z = (x − μ)/σ diz a quantos desvios-padrão da média está um valor.
Padronizar
z = (575 − 500)/75 = 1
Resposta
z = 1
11.Probabilidades
Resposta: Var(X) = 1,64
Variáveis aleatórias discretas: uma distribuição de probabilidade lista cada valor x que uma variável pode assumir com sua probabilidade p(x); as probabilidades ficam entre 0 e 1 e somam 1. O valor esperado (média) é E(X) = Σx·p(x), a média de longo prazo. A variância é Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², e o desvio padrão é σ = √Var(X). Para uma mudança linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) e σY = |a|·σX; somar uma constante não muda a dispersão.
Média
μ = 0·0,35 + 1·0,25 + 2·0,05 + 3·0,35 = 1,4
Média dos quadrados
E(X²) = 0·0,35 + 1·0,25 + 4·0,05 + 9·0,35 = 3,6
Variância
Var(X) = 3,6 − 1,4² = 1,64
Resposta
Var(X) = 1,64
12.Probabilidades
Resposta: P = 0,3601
Probabilidades: com resultados equiprováveis, P(A) = favoráveis/possíveis. Para acontecimentos independentes multiplica-se: P(A e B) = P(A)·P(B). O complementar ajuda muitas vezes: P(pelo menos um) = 1 − P(nenhum). Binomial: em n provas independentes com probabilidade de sucesso p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Fórmula binomial
P(X = 4) = 5·0,74·0,31 = 5·0,2401·0,3 = 0,3601
Resposta
P = 0,3601
13.Distribuição normal
Resposta: P = 0,5381
Distribuição normal: converta um valor x em uma pontuação z, z = (x − μ)/σ, que conta quantos desvios-padrão ele está da média. Uma tabela z (ou Φ(z)) dá a área à esquerda de z, que é P(X < x). A área à direita é 1 − Φ(z), e a área entre dois valores é a diferença entre as duas áreas.
Distribuição normal: converta um valor x em uma pontuação z, z = (x − μ)/σ, que conta quantos desvios-padrão ele está da média. Uma tabela z (ou Φ(z)) dá a área à esquerda de z, que é P(X < x). A área à direita é 1 − Φ(z), e a área entre dois valores é a diferença entre as duas áreas.
z do percentil
Φ(z) = 0,8 → z = 0,8416
De volta a x
x = 178 + 0,8416·7 = 183,89 cm
Resposta
x = 183,89 cm
15.Intervalos de confiança
Resposta: limite superior = 104,7
Intervalo de confiança para uma média: x̄ ± margem de erro. Com σ populacional conhecido, a margem é z·σ/√n; tendo apenas o desvio-padrão amostral s, use t com n − 1 graus de liberdade: t·s/√n. Valores críticos: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Para obter uma margem E ou menor, você precisa de n ≥ (z·σ/E)², arredondado para cima.
Valor crítico
df = n − 1 = 7, t = 1,895
Margem de erro
E = 1,895·10/√8 = 6,7
Intervalo
98 ± 6,7 → [91,3, 104,7]
Resposta
limite superior = 104,7
16.Intervalos de confiança
Resposta: n = 3012
Intervalo de confiança para uma média: x̄ ± margem de erro. Com σ populacional conhecido, a margem é z·σ/√n; tendo apenas o desvio-padrão amostral s, use t com n − 1 graus de liberdade: t·s/√n. Valores críticos: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Para obter uma margem E ou menor, você precisa de n ≥ (z·σ/E)², arredondado para cima.
Resolver em ordem a n
n = (1,96·14/0,5)² = 3012
Arredondar para cima
O tamanho da amostra é um número inteiro, e arredondar para baixo deixaria a margem grande demais.
n = 3012
Resposta
n = 3012
17.Testes de hipóteses e intervalos de confiança
Resposta: z = −2,703
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Erro-padrão da diferença
SE = √(19²/40 + 17²/50) = √14,8 = 3,848
Estatística de teste
z = (118,5 − 128,9)/3,848 = −2,703
Resposta
z = −2,703
|z| > 1,96, então H₀ é rejeitada ao nível de 5% (bilateral).
18.Testes de hipóteses e intervalos de confiança
Resposta: U = 75,63
Teste a uma média: a estatística de teste mede a quantos erros-padrão a média amostral está do valor afirmado em H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) quando σ é conhecido, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) quando é estimado pela amostra. Um intervalo de confiança é x̄ ± (valor crítico)·(erro-padrão).
Margem de erro
E = 1,645·5/√64 = 1,028
Limite do intervalo
U = 74,6 + 1,028 = 75,63
Resposta
U = 75,63
19.Regressão linear e correlação
Resposta: r = 0,9935
Regressão por mínimos quadrados: com x̄ e ȳ as médias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), a reta ŷ = a + b·x tem inclinação b = Sxy/Sxx e intercepto a = ȳ − b·x̄, então ela sempre passa por (x̄, ȳ). O coeficiente de correlação de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) fica entre −1 e 1; r² é a fração da variação de y explicada pela reta.
Somas centradas
Sxy = 3170 − 42·397/6 = 391
Sxx = 364 − 42²/6 = 70
Syy = 28481 − 397²/6 = 2213
Coeficiente de correlação
r = 391/√(70·2213) = 0,9935
Resposta
r = 0,9935
20.Regressão linear e correlação
Resposta: ŷ = 79,4
Regressão por mínimos quadrados: com x̄ e ȳ as médias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), a reta ŷ = a + b·x tem inclinação b = Sxy/Sxx e intercepto a = ȳ − b·x̄, então ela sempre passa por (x̄, ȳ). O coeficiente de correlação de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) fica entre −1 e 1; r² é a fração da variação de y explicada pela reta.
Médias
x̄ = 35/5 = 7
ȳ = 369/5 = 73,8
Somas de quadrados e de produtos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 224
Reta de regressão
b = 224/40 = 5,6
a = 73,8 − 5,6·7 = 34,6
ŷ = 34,6 + 5,6·x
Previsão
ŷ = 34,6 + 5,6·8 = 79,4
Resposta
ŷ = 79,4
Este é um material de prática independente. O ExamProblems não é afiliado nem endossado pela organização que aplica este exame, e o nome do exame é usado apenas para descrever o conteúdo. CFA® and Chartered Financial Analyst® são marcas de CFA Institute, que não é afiliado ao ExamProblems, não o endossa nem garante a sua exatidão.