Prática de métodos quantitativos e renda fixa do CFA Level I: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 20 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Valor temporal do dinheiro

Valor futuro: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Valor atual: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Vários períodos por ano: i = r/m, N = m·n
Anuidade, valor atual: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Anuidade, valor futuro: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Método

Desenhe uma linha do tempo com cada fluxo de caixa e o momento em que ocorre.
Ajuste a taxa ao período: uma taxa mensal para pagamentos mensais.
Use FV = PV·(1 + i)ⁿ para valores únicos e as fórmulas de anuidade para pagamentos iguais.
Verifique o sinal e a ordem de grandeza da resposta.

VAL e TIR

Valor atual líquido: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Fluxos iguais: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Taxa interna de retorno: o r em que NPV = 0
Decisão: aceitar se NPV > 0 (ou IRR > retorno exigido)

Método

Liste todos os fluxos de caixa com o seu ano; o investimento no ano 0 é negativo.
Desconte cada fluxo de caixa: CF_t/(1 + r)^t.
Some-os para obter o VPL. Positivo significa que o projeto rende mais que r.
Para a TIR, encontre a taxa que zera o VPL por tentativa ou interpolação.

Preço e rendimento de títulos

Preço do título: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Semestral: C/2, y/2 e 2n períodos
Rendimento corrente: C/P
Preço e rendimento: rendimento sobe → preço cai

Método

Encontre o cupom por período e o rendimento por período.
Preço = valor presente dos cupons (uma anuidade) + valor presente do valor de face.
Para cupons semestrais use metade do cupom, metade do rendimento e o dobro de períodos.
Verificação: se o rendimento está acima da taxa de cupom, o preço fica abaixo do valor de face.

CAPM e WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Valor da empresa: V = E + D

Estatística descritiva

Média: x̄ = Σx/n
Desvio-padrão amostral: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: valor do meio dos dados ordenados
Pontuação z: z = (x − μ)/σ
Distribuição normal: 68% dentro de ±1σ, 95% dentro de ±2σ

Probabilidades

Complementar: P(not A) = 1 − P(A)
Regra da adição: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Eventos independentes: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Probabilidade condicional: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Distribuição normal

Pontuação z: z = (x − μ)/σ
Abaixo de x: P(X < x) = Φ(z)
Acima de x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Entre: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentil: x = μ + z·σ

Método

Converta o valor em um escore z: z = (x − μ)/σ.
Procure Φ(z), a área à esquerda de z.
Para a área à direita use 1 − Φ(z); para um intervalo subtraia as duas áreas à esquerda.
Para um percentil, faça o caminho inverso: encontre z para a área e depois x = μ + z·σ.

Intervalos de confiança

σ conhecido: x̄ ± z·σ/√n
σ desconhecido: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z crítico: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Tamanho da amostra: n = (z·σ/E)², rounded up

Método

Escolha entre z (σ populacional conhecido) e t (só o s amostral, com n − 1 graus de liberdade).
Encontre o valor crítico para o nível de confiança.
Margem de erro: E = valor crítico × desvio-padrão/√n.
Intervalo: x̄ ± E.

Testes de hipóteses e intervalos de confiança

Teste z para uma média: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Teste t para uma média: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Bilateral a 5%: rejeite H₀ se |z| > 1,96
Intervalo de confiança: x̄ ± z·σ/√n

Método

Enuncie H₀ e H₁ e decida se o teste é unilateral ou bilateral.
Calcule a estatística de teste: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), ou com s e t.
Compare com o valor crítico, ou encontre o valor-p.
Rejeite H₀ se a estatística estiver além do valor crítico (p abaixo de α) e enuncie a conclusão em palavras.

Regressão linear e correlação

Somas de quadrados: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Inclinação: b = S_xy/S_xx
Intercepto: a = ȳ − b·x̄
Correlação: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Resíduo: e = y − ŷ

2Exercícios

1.Valor temporal do dinheiroMédia

Uma anuidade paga €2 000 no final de cada ano durante 13 anos. A taxa de juros é 10% ao ano. Encontre o valor presente PV da anuidade.

A = €2 000i = 10%n = 13

PV = €

2.Valor temporal do dinheiroDifícil

Poupa €50 no fim de cada mês durante 5 anos. A conta rende 2,4 % ao ano, capitalizada mensalmente. Quanto poupou no fim? Calcule FV.

A = €502,4% / 12N = 60

FV = €

3.VAL e TIRMédia

Um investimento de €20 000 gera estes fluxos no fim dos anos 1 a 4: €7 000, €10 000, €6 000, €6 000. O custo do capital é de 5 %. Calcule o valor atual líquido NPV.

r = 5%CF₀ = −20 000CF₁ = 7 000CF₂ = 10 000CF₃ = 6 000CF₄ = 6 000

NPV = €

4.VAL e TIRDifícil

Um projeto custa €25 000 e devolve €11 500, €10 500, €9 500 no fim dos anos 1 a 3. Calcule a sua taxa interna de rendibilidade IRR em percentagem.

CF₀ = −25 000CF₁ = 11 500CF₂ = 10 500CF₃ = 9 500

IRR = %

5.Preço e rendimento de títulosMédia

Um título com valor de face de €1 000 paga um cupom anual de 7% em dois pagamentos semestrais e vence em 8 anos. O rendimento até o vencimento é de 5% ao ano. Calcule o preço P do título.

F = €1 000cupom = 7%YTM = 5%n = 8

P = €

6.Preço e rendimento de títulosDifícil

Um título com valor de face de €1 000 e cupom anual de 4% vence em 5 anos e é vendido por €915. Calcule seu rendimento até o vencimento YTM em porcentagem.

F = €1 000cupom = 4%n = 5P = €915

YTM = %

7.CAPM e WACCMédia

Uma empresa tem capital próprio no valor de €6 000 000 e dívida no valor de €4 000 000. Seu WACC é 6,84%, seu custo da dívida antes dos impostos é 5% e a alíquota de imposto é 28%. Encontre o custo do capital próprio r_e.

E = €6 000 000D = €4 000 000WACC = 6,84%r_d = 5%T = 28%

r_e = %

8.CAPM e WACCDifícil

Uma empresa tem 4 000 000 ações negociadas a €20,50; o valor contábil do seu patrimônio líquido é €32 800 000. Ela acaba de pagar um dividendo de €2,10 por ação, e os dividendos crescem 3% ao ano. Sua dívida tem valor de mercado de €65 600 000 e custo antes dos impostos de 4,5%. A alíquota de imposto é 28%. Encontre o WACC, usando o modelo de crescimento de dividendos para o custo do capital próprio.

N = 4 000 000P₀ = €20,50patrimônio contábil = €32 800 000D₀ = €2,10g = 3%D = €65 600 000r_d = 4,5%T = 28%

WACC = %

9.Estatística descritivaMédia

Calcule o desvio-padrão amostral s dos dados: 12, 41, 39, 58, 18, 29, 40.

n = 7

s =

10.Estatística descritivaDifícil

Uma grandeza segue uma distribuição normal com média 100 e desvio-padrão 8. Que proporção P dos valores está acima de 93,6?

μ = 100σ = 8x = 93,6

P =

11.ProbabilidadesMédia

De quantas maneiras N se pode escolher uma comissão de 3 pessoas num grupo de 6? A ordem não interessa.

n = 6k = 3

N =

12.ProbabilidadesDifícil

Testam-se 5 componentes e cada um avaria com probabilidade 0,7, de forma independente. Qual é a probabilidade P de avariar no máximo um?

n = 5p = 0,7

P =

13.Distribuição normalMédia

X é normal com média 250 g e desvio padrão 4 g; Y é independente e normal com média 500 g e desvio padrão 9 g. Encontre a probabilidade P de X + Y ser maior que 757,9 g. Arredonde z para duas casas decimais.

μ_X = 250, σ_X = 4μ_Y = 500, σ_Y = 9X + Y > 757,9 g

P =

14.Distribuição normalDifícil

As massas de sacos seguem uma distribuição normal com média 250 g e desvio-padrão 5 g. Calcule o valor x abaixo do qual estão 10% delas (o percentil 10).

μ = 250σ = 5P = 10%

x = g

15.Intervalos de confiançaMédia

A pressão arterial de 11 pacientes é medida antes e depois de um tratamento. As diferenças d = antes − depois (mmHg) têm média 5,2 e desvio-padrão 1,3. Encontre a margem de erro E do intervalo de confiança de 99% para a diferença média.

n = 11d̄ = 5,2s_d = 1,399%t(10) = 3,169

E = mmHg

16.Intervalos de confiançaDifícil

O desvio-padrão da população é 18. Qual o tamanho de amostra n necessário para que um intervalo de confiança de 90% para a média tenha margem de erro de no máximo 4?

σ = 18E = 490%

n =

17.Testes de hipóteses e intervalos de confiançaMédia

Uma amostra de 64 estudantes tem nota média 97,3 e desvio-padrão amostral 12. Calcule a estatística de teste t para H₀: μ = 100.

μ₀ = 100x̄ = 97,3s = 12n = 64

t =

18.Testes de hipóteses e intervalos de confiançaDifícil

Uma amostra de 25 medições tem média 50,2. O desvio-padrão da população é 4. Calcule o limite superior U do intervalo de confiança a 95 % para a média.

x̄ = 50,2σ = 4n = 2595%

U =

19.Regressão linear e correlaçãoMédia

A tabela dá 5 observações pareadas de x = horas de estudo e y = nota na prova. As suas somas são dadas. Encontre o coeficiente de correlação de Pearson r a partir dessas somas.

n = 5Σx = 35Σy = 410Σx² = 285Σy² = 34792Σxy = 3082

r =

20.Regressão linear e correlaçãoDifícil

A tabela dá 5 observações pareadas de x = temperatura em °C e y = sorvetes vendidos. Use a reta de mínimos quadrados ŷ = a + b·x. Para que valor x a reta prevê ŷ = 93?

n = 5ŷ = 93

x =

3Soluções

1.Valor temporal do dinheiro

Resposta: PV = 14207 €

Valor temporal do dinheiro: o dinheiro hoje vale mais do que a mesma quantia no futuro, porque pode render juros. Com uma taxa i por período, um montante cresce para FV = PV·(1 + i)ⁿ. Uma série de pagamentos iguais (uma renda) avalia-se somando cada pagamento, o que dá as fórmulas das rendas.

Fator de anuidade

(1 − (1 + i)⁻ⁿ)/i = (1 − 0,2897)/0,1 = 7,103

Valor atual

PV = 2 000·7,103 = €14 206,71

Resposta

PV = €14 206,71

2.Valor temporal do dinheiro

Resposta: FV = 3184 €

Taxa mensal e número de depósitos

i = 0,024/12 = 0,002

N = 12·5 = 60

Valor futuro dos depósitos

FV = A·((1 + i)^N − 1)/i = 50·(1,127 − 1)/0,002 = €3 184,04

Resposta

FV = €3 184,04

Pôs €3 000 do seu bolso; o resto são juros.

3.VAL e TIR

Resposta: NPV = 5856 €

Valor atual líquido: desconte cada fluxo de caixa até hoje com a rendibilidade exigida r e some-os: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Um projeto com NPV > 0 rende mais do que r e cria valor. A taxa interna de rendibilidade (TIR) é a taxa para a qual NPV = 0.

Valor atual de cada fluxo

CF₀ = −20 000

CF₁/(1 + 0,05)¹ = 7 000/1,05 = 6 666,67

CF₂/(1 + 0,05)² = 10 000/1,103 = 9 070,29

CF₃/(1 + 0,05)³ = 6 000/1,158 = 5 183,03

CF₄/(1 + 0,05)⁴ = 6 000/1,216 = 4 936,21

Somar

NPV = €5 856,20

Resposta

NPV = €5 856,20

O VAL é positivo, logo o projeto rende mais do que a rendibilidade exigida.

4.VAL e TIR

Resposta: IRR = 12,96 %

Enquadrar a TIR

O VAL desce quando a taxa sobe, por isso a TIR está entre uma taxa com VAL positivo e outra com VAL negativo.

NPV(10%) = 1 269,72

NPV(15%) = −814,09

Aproximar

A interpolação linear dá uma primeira estimativa; repeti-la (ou usar a função TIR de uma calculadora) dá a taxa exata.

IRR ≈ 10 + 5·1 269,72/(1 269,72 − (−814,09)) = 13,05%

exato: NPV(12,96%) = 0 → IRR = 12,96%

Resposta

IRR = 12,96%

5.Preço e rendimento de títulos

Resposta: P = 1131 €

Precificação de títulos: o preço de um título é o valor presente dos seus fluxos de caixa, descontados ao rendimento até o vencimento (YTM): os cupons formam uma anuidade e o valor de face é devolvido no vencimento. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando o rendimento está acima da taxa de cupom, o título é negociado abaixo do valor de face, e vice-versa.

Por período

C = €35,00, i = 0,025, N = 16

Valor presente dos cupons

€35,00·(1 − 0,6736)/0,025 = €456,93

Valor presente do valor de face

€1 000·0,6736 = €673,62

Preço

P = €1 130,55

Resposta

P = €1 130,55

O rendimento está abaixo da taxa de cupom, então o título é vendido com ágio.

6.Preço e rendimento de títulos

Resposta: YTM = 6,019 %

Equação do rendimento

€915 = €40·(1 − (1 + y)⁻⁵)/y + €1 000/(1 + y)⁵

Resolva numericamente

P(6%) = €915,75, P(7%) = €876,99

YTM = 6,019%

Resposta

YTM = 6,019%

7.CAPM e WACC

Resposta: r_e = 9 %

Custo de capital: o CAPM dá o retorno exigido pelos acionistas: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). O custo médio ponderado de capital combina capital próprio e dívida pelos seus valores de mercado: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), com V = E + D. Os juros são dedutíveis do imposto, daí o (1 − T).

Pesos

V = €10 000 000, E/V = 0,6, D/V = 0,4

Parte da dívida no WACC

0,4·5%·(1 − 0,28) = 1,44%

Custo do capital próprio

r_e = (6,84% − 1,44%)/0,6 = 9%

Resposta

r_e = 9%

8.CAPM e WACC

Resposta: WACC = 8,968 %

Custo do capital próprio

D₁ = 2,1·1,03 = €2,16

r_e = 2,163/20,5 + 0,03 = 13,55%

Valores de mercado

E = 4 000 000·€20,50 = €82 000 000

V = €147 600 000, E/V = 0,5556, D/V = 0,4444

WACC

WACC = 0,5556·13,55% + 0,4444·4,5%·(1 − 0,28) = 8,968%

Resposta

WACC = 8,968%

9.Estatística descritiva

Resposta: s = 15,55

Estatística descritiva: a média é a soma a dividir por n; a mediana é o valor central dos dados ordenados (a média dos dois centrais se n for par). O desvio-padrão amostral é s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Uma pontuação z = (x − μ)/σ diz a quantos desvios-padrão da média está um valor.

Média

x̄ = 237/7 = 33,86

Desvios ao quadrado

Σ(x − x̄)² = (−21,86)² + 7,143² + 5,143² + 24,14² + (−15,86)² + (−4,857)² + 6,143² = 1451

Desvio-padrão

s = √(1451/6) = 15,55

Resposta

s = 15,55

10.Estatística descritiva

Resposta: P = 0,7881

Padronizar

z = −0,8

Tabela da normal padrão

Φ(−0,8) = 0,2119

P = 1 − 0,2119 = 0,7881

Resposta

P = 0,7881

11.Probabilidades

Resposta: N = 20

Probabilidades: com resultados equiprováveis, P(A) = favoráveis/possíveis. Para acontecimentos independentes multiplica-se: P(A e B) = P(A)·P(B). O complementar ajuda muitas vezes: P(pelo menos um) = 1 − P(nenhum). Binomial: em n provas independentes com probabilidade de sucesso p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Combinações

C(6, 3) = (6·5·4)/(3·2·1) = 20

Resposta

N = 20

12.Probabilidades

Resposta: P = 0,03078

Zero e uma avaria

P(X = 0) = 0,3⁵ = 0,00243

P(X = 1) = 5·0,7·0,3⁴ = 0,02835

Some

P = 0,00243 + 0,02835 = 0,03078

Resposta

P = 0,03078

13.Distribuição normal

Resposta: P = 0,2119

Somas e diferenças de variáveis normais: se X e Y são independentes e normais, X + Y e X − Y também são normais. As médias se somam ou se subtraem: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. As variâncias sempre se somam, também em uma diferença: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², portanto σ = √(σ_X² + σ_Y²). Os desvios padrão nunca se somam diretamente. O total de n itens independentes com a mesma distribuição tem média n·μ e desvio padrão σ·√n. Depois padronize como de costume: z = (x − média)/σ e leia Φ(z).

Distribuição da soma

μ = 750 g, σ = √(4² + 9²) = 9,849 g

Padronizar

z = (757,9 − 750)/9,849 = 0,8

Cauda superior

P = 1 − Φ(0,8) = 1 − 0,7881 = 0,2119

Resposta

P = 0,2119

14.Distribuição normal

Resposta: x = 243,6 g

Distribuição normal: converta um valor x em uma pontuação z, z = (x − μ)/σ, que conta quantos desvios-padrão ele está da média. Uma tabela z (ou Φ(z)) dá a área à esquerda de z, que é P(X < x). A área à direita é 1 − Φ(z), e a área entre dois valores é a diferença entre as duas áreas.

z do percentil

Φ(z) = 0,1 → z = −1,282

De volta a x

x = 250 + −1,282·5 = 243,59 g

Resposta

x = 243,59 g

15.Intervalos de confiança

Resposta: E = 1,242 mmHg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Valor crítico

df = 10, t = 3,169

Margem de erro

E = 3,169·1,3/√11 = 1,242

Resposta

E = 1,242 mmHg

16.Intervalos de confiança

Resposta: n = 55

Intervalo de confiança para uma média: x̄ ± margem de erro. Com σ populacional conhecido, a margem é z·σ/√n; tendo apenas o desvio-padrão amostral s, use t com n − 1 graus de liberdade: t·s/√n. Valores críticos: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Para obter uma margem E ou menor, você precisa de n ≥ (z·σ/E)², arredondado para cima.

Resolver em ordem a n

n = (1,645·18/4)² = 54,8

Arredondar para cima

O tamanho da amostra é um número inteiro, e arredondar para baixo deixaria a margem grande demais.

n = 55

Resposta

n = 55

17.Testes de hipóteses e intervalos de confiança

Resposta: t = −1,8

Teste a uma média: a estatística de teste mede a quantos erros-padrão a média amostral está do valor afirmado em H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) quando σ é conhecido, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) quando é estimado pela amostra. Um intervalo de confiança é x̄ ± (valor crítico)·(erro-padrão).

Erro-padrão

SE = 12/√64 = 12/8 = 1,5

Estatística de teste

t = (97,3 − 100)/1,5 = −1,8

Resposta

t = −1,8

t_{0,025; df = 63} = 1,998

|t| < 1.998, então H₀ não é rejeitada ao nível de 5% (bilateral).

18.Testes de hipóteses e intervalos de confiança

Resposta: U = 51,77

Margem de erro

E = 1,96·4/√25 = 1,568

Limite do intervalo

U = 50,2 + 1,568 = 51,77

Resposta

U = 51,77

19.Regressão linear e correlação

Resposta: r = 0,9791

Regressão por mínimos quadrados: com x̄ e ȳ as médias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), a reta ŷ = a + b·x tem inclinação b = Sxy/Sxx e intercepto a = ȳ − b·x̄, então ela sempre passa por (x̄, ȳ). O coeficiente de correlação de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) fica entre −1 e 1; r² é a fração da variação de y explicada pela reta.

Somas centradas

S_xy = 3082 − 35·410/5 = 212

S_xx = 285 − 35²/5 = 40

S_yy = 34792 − 410²/5 = 1172

Coeficiente de correlação

r = 212/√(40·1172) = 0,9791

Resposta

r = 0,9791

20.Regressão linear e correlação

Resposta: x = 22,93

Médias

x̄ = 100/5 = 20

ȳ = 386/5 = 77,2

Somas de quadrados e de produtos

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 216

Reta de regressão

b = 216/40 = 5,4

a = 77,2 − 5,4·20 = −30,8

ŷ = −30,8 + 5,4·x

Resolver para x

x = (93 − (−30,8))/5,4 = 22,93

Resposta

x = 22,93

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