Um cartão de crédito cobra uma taxa de juros nominal de 20% ao ano, capitalizada mensalmente. Encontre a taxa efetiva anual EAR em porcentagem.
r = 20%m = 12
EAR = %
2.Valor temporal do dinheiroDifícil
Poupa €250 no fim de cada mês durante 24 anos. A conta rende 3,6 % ao ano, capitalizada mensalmente. Quanto poupou no fim? Calcule FV.
A = €2503,6% / 12N = 288
FV = €
3.VAL e TIRMédia
Um investimento de €30 000 gera estes fluxos no fim dos anos 1 a 4: €8 000, €8 000, €11 000, €11 000. O custo do capital é de 9 %. Calcule o valor atual líquido NPV.
Um projeto custa €10 000 e devolve €6 500, €5 000, €4 500 no fim dos anos 1 a 3. Calcule a sua taxa interna de rendibilidade IRR em percentagem.
CF0 = −10 000CF1 = 6 500CF2 = 5 000CF3 = 4 500
IRR = %
5.Preço e rendimento de títulosMédia
Um título com valor de face de €1 000 paga um cupom anual de 4,5% em dois pagamentos semestrais e vence em 6 anos. O rendimento até o vencimento é de 7% ao ano. Calcule o preço P do título.
F = €1 000cupom = 4,5%YTM = 7%n = 6
P = €
6.Preço e rendimento de títulosDifícil
Um título com valor de face de €1 000 e cupom anual de 8% vence em 8 anos e é vendido por €870. Calcule seu rendimento até o vencimento YTM em porcentagem.
F = €1 000cupom = 8%n = 8P = €870
YTM = %
7.CAPM e WACCMédia
Uma empresa tem capital próprio de €5 000 000 e dívida de €1 000 000. Seu custo do capital próprio é 14%, seu custo da dívida antes dos impostos é 5% e a alíquota de imposto é 21%. Calcule o WACC.
As ações de uma empresa têm beta de 1,2 na sua relação dívida/capital próprio atual de 0,2. Ela planeja elevar a relação dívida/capital próprio para 1,25. A alíquota de imposto é 25%, a taxa livre de risco 1,5% e o prêmio de risco de mercado 6%. Encontre o custo do capital próprio re após a mudança.
As massas de sacos de cimento são independentes e normais com média 25 kg e desvio padrão 0,5 kg. Encontre a probabilidade P de a massa total de 12 deles ficar abaixo de 298,3 kg. Arredonde z para duas casas decimais.
μ = 25 kgσ = 0,5 kgn = 12< 298.3 kg
P =
14.Distribuição normalDifícil
As durações de baterias seguem uma distribuição normal com média 500 h e desvio-padrão 40 h. Calcule o valor x abaixo do qual estão 80% delas (o percentil 80).
μ = 500σ = 40P = 80%
x = h
15.Intervalos de confiançaMédia
Uma amostra de 7 itens tem média 70 e desvio-padrão s = 8. A população é aproximadamente normal. Calcule o limite superior do intervalo de confiança de 90% para a média.
n = 7x̄ = 70s = 890%t(6) = 1,943
limite superior =
16.Intervalos de confiançaDifícil
O desvio-padrão da população é 22. Qual o tamanho de amostra n necessário para que um intervalo de confiança de 90% para a média tenha margem de erro de no máximo 5?
σ = 22E = 590%
n =
17.Testes de hipóteses e intervalos de confiançaMédia
Duas linhas de produção fabricam a mesma peça. Linha 1: uma amostra de 30 peças tem comprimento médio de 48,5 mm, e o desvio-padrão conhecido da linha é 7 mm. Linha 2: uma amostra de 80 peças tem média de 54 mm, desvio-padrão conhecido de 15 mm. Encontre a estatística de teste z para H₀: μ₁ = μ₂, tomando a diferença como x̄₁ − x̄₂ (linha 1 menos linha 2).
18.Testes de hipóteses e intervalos de confiançaDifícil
Uma amostra de 81 medições tem média 122,2. O desvio-padrão da população é 20. Calcule o limite superior U do intervalo de confiança a 95 % para a média.
x̄ = 122,2σ = 20n = 8195%
U =
19.Regressão linear e correlaçãoMédia
A tabela dá 5 observações pareadas de x = carga em kN e y = alongamento em mm. Encontre o coeficiente de determinação r² da reta de mínimos quadrados.
n = 5
r² =
20.Regressão linear e correlaçãoDifícil
A tabela dá 6 observações pareadas de x = horas de estudo e y = nota na prova. Use a reta de mínimos quadrados ŷ = a + b·x. Para que valor x a reta prevê ŷ = 67?
n = 6ŷ = 67
x =
3Soluções
1.Valor temporal do dinheiro
Resposta: EAR = 21,94 %
Valor temporal do dinheiro: o dinheiro hoje vale mais do que a mesma quantia no futuro, porque pode render juros. Com uma taxa i por período, um montante cresce para FV = PV·(1 + i)n. Uma série de pagamentos iguais (uma renda) avalia-se somando cada pagamento, o que dá as fórmulas das rendas.
Taxa por período
r/m = 0,2/12 = 0,01667
Capitalize ao longo de um ano
EAR = (1 + 0,01667)12 − 1 = 1,219 − 1 = 21,94%
Resposta
EAR = 21,94%
A taxa efetiva anual é sempre maior que a taxa nominal quando os juros são capitalizados mais de uma vez por ano.
2.Valor temporal do dinheiro
Resposta: FV = 114130 €
Valor temporal do dinheiro: o dinheiro hoje vale mais do que a mesma quantia no futuro, porque pode render juros. Com uma taxa i por período, um montante cresce para FV = PV·(1 + i)n. Uma série de pagamentos iguais (uma renda) avalia-se somando cada pagamento, o que dá as fórmulas das rendas.
Valor atual líquido: desconte cada fluxo de caixa até hoje com a rendibilidade exigida r e some-os: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Um projeto com NPV > 0 rende mais do que r e cria valor. A taxa interna de rendibilidade (TIR) é a taxa para a qual NPV = 0.
Valor atual de cada fluxo
CF0 = −30 000
CF1/(1 + 0,09)1 = 8 000/1,09 = 7 339,45
CF2/(1 + 0,09)2 = 8 000/1,188 = 6 733,44
CF3/(1 + 0,09)3 = 11 000/1,295 = 8 494,02
CF4/(1 + 0,09)4 = 11 000/1,412 = 7 792,68
Somar
NPV = €359,59
Resposta
NPV = €359,59
O VAL é positivo, logo o projeto rende mais do que a rendibilidade exigida.
4.VAL e TIR
Resposta: IRR = 30,05 %
Valor atual líquido: desconte cada fluxo de caixa até hoje com a rendibilidade exigida r e some-os: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Um projeto com NPV > 0 rende mais do que r e cria valor. A taxa interna de rendibilidade (TIR) é a taxa para a qual NPV = 0.
Enquadrar a TIR
O VAL desce quando a taxa sobe, por isso a TIR está entre uma taxa com VAL positivo e outra com VAL negativo.
NPV(30%) = 6,83
NPV(35%) = −612,71
Aproximar
A interpolação linear dá uma primeira estimativa; repeti-la (ou usar a função TIR de uma calculadora) dá a taxa exata.
IRR ≈ 30 + 5·6,83/(6,83 − (−612,71)) = 30,06%
exato: NPV(30,05%) = 0 → IRR = 30,05%
Resposta
IRR = 30,05%
5.Preço e rendimento de títulos
Resposta: P = 879,2 €
Precificação de títulos: o preço de um título é o valor presente dos seus fluxos de caixa, descontados ao rendimento até o vencimento (YTM): os cupons formam uma anuidade e o valor de face é devolvido no vencimento. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando o rendimento está acima da taxa de cupom, o título é negociado abaixo do valor de face, e vice-versa.
Por período
C = €22,50, i = 0,035, N = 12
Valor presente dos cupons
€22,50·(1 − 0,6618)/0,035 = €217,43
Valor presente do valor de face
€1 000·0,6618 = €661,78
Preço
P = €879,21
Resposta
P = €879,21
O rendimento está acima da taxa de cupom, então o título é vendido com deságio.
6.Preço e rendimento de títulos
Resposta: YTM = 10,48 %
Precificação de títulos: o preço de um título é o valor presente dos seus fluxos de caixa, descontados ao rendimento até o vencimento (YTM): os cupons formam uma anuidade e o valor de face é devolvido no vencimento. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando o rendimento está acima da taxa de cupom, o título é negociado abaixo do valor de face, e vice-versa.
Equação do rendimento
€870 = €80·(1 − (1 + y)⁻⁸)/y + €1 000/(1 + y)⁸
Resolva numericamente
P(10%) = €893,30, P(11%) = €845,62
YTM = 10,48%
Resposta
YTM = 10,48%
7.CAPM e WACC
Resposta: WACC = 12,33 %
Custo de capital: o CAPM dá o retorno exigido pelos acionistas: re = rf + β·(rm − rf). O custo médio ponderado de capital combina capital próprio e dívida pelos seus valores de mercado: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), com V = E + D. Os juros são dedutíveis do imposto, daí o (1 − T).
Pesos
V = €6 000 000, E/V = 0,8333, D/V = 0,1667
WACC
WACC = 0,8333·14% + 0,1667·5%·(1 − 0,21) = 12,33%
Resposta
WACC = 12,33%
8.CAPM e WACC
Resposta: re = 13,63 %
Beta alavancado (Hamada): a dívida torna o capital próprio mais arriscado. βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E), onde βU é o beta do negócio sem dívida. Para levar um beta a outra estrutura de capital, primeiro desalavanque-o e depois realavanque-o com o novo D/E.
Desalavanque o beta
βU = 1,2/(1 + 0,75·0,2) = 1,043
Realavanque com o novo D/E
βL = 1,043·(1 + 0,75·1,25) = 2,022
Custo do capital próprio (CAPM)
re = 1,5% + 2,022·6% = 13,63%
Resposta
re = 13,63%
9.Estatística descritiva
Resposta: s = 15,35
Estatística descritiva: a média é a soma a dividir por n; a mediana é o valor central dos dados ordenados (a média dos dois centrais se n for par). O desvio-padrão amostral é s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Uma pontuação z = (x − μ)/σ diz a quantos desvios-padrão da média está um valor.
Estatística descritiva: a média é a soma a dividir por n; a mediana é o valor central dos dados ordenados (a média dos dois centrais se n for par). O desvio-padrão amostral é s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Uma pontuação z = (x − μ)/σ diz a quantos desvios-padrão da média está um valor.
Padronizar
z = −0,5
Tabela da normal padrão
Φ(−0,5) = 0,3085
P = 0,3085
Resposta
P = 0,3085
11.Probabilidades
Resposta: σ = 1,203
Variáveis aleatórias discretas: uma distribuição de probabilidade lista cada valor x que uma variável pode assumir com sua probabilidade p(x); as probabilidades ficam entre 0 e 1 e somam 1. O valor esperado (média) é E(X) = Σx·p(x), a média de longo prazo. A variância é Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², e o desvio padrão é σ = √Var(X). Para uma mudança linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) e σY = |a|·σX; somar uma constante não muda a dispersão.
Média
μ = 0·0,25 + 1·0,3 + 2·0,1 + 3·0,35 = 1,55
Média dos quadrados
E(X²) = 0·0,25 + 1·0,3 + 4·0,1 + 9·0,35 = 3,85
Variância
Var(X) = 3,85 − 1,55² = 1,448
σ = √1,448 = 1,203
Resposta
σ = 1,203
12.Probabilidades
Resposta: σY = 33,24
Variáveis aleatórias discretas: uma distribuição de probabilidade lista cada valor x que uma variável pode assumir com sua probabilidade p(x); as probabilidades ficam entre 0 e 1 e somam 1. O valor esperado (média) é E(X) = Σx·p(x), a média de longo prazo. A variância é Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², e o desvio padrão é σ = √Var(X). Para uma mudança linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) e σY = |a|·σX; somar uma constante não muda a dispersão.
Dispersão de X
μ = 28,5, Var(X) = 122,8, σX = 11,08
Mudança linear
σY = |3|·11,08 = 33,24
Resposta
σY = 33,24
A média de fato se desloca: E(Y) = 3·28,5 + 10 = 95,5.
13.Distribuição normal
Resposta: P = 0,1635
Somas e diferenças de variáveis normais: se X e Y são independentes e normais, X + Y e X − Y também são normais. As médias se somam ou se subtraem: E(X ± Y) = μX ± μY. As variâncias sempre se somam, também em uma diferença: Var(X ± Y) = σX² + σY², portanto σ = √(σX² + σY²). Os desvios padrão nunca se somam diretamente. O total de n itens independentes com a mesma distribuição tem média n·μ e desvio padrão σ·√n. Depois padronize como de costume: z = (x − média)/σ e leia Φ(z).
Distribuição do total
μT = 300 kg, σT = 0,5·√12 = 1,732 kg
Padronizar
z = (298,3 − 300)/1,732 = −0,98
Probabilidades
P = Φ(−0,98) = 0,1635
Resposta
P = 0,1635
14.Distribuição normal
Resposta: x = 533,7 h
Distribuição normal: converta um valor x em uma pontuação z, z = (x − μ)/σ, que conta quantos desvios-padrão ele está da média. Uma tabela z (ou Φ(z)) dá a área à esquerda de z, que é P(X < x). A área à direita é 1 − Φ(z), e a área entre dois valores é a diferença entre as duas áreas.
z do percentil
Φ(z) = 0,8 → z = 0,8416
De volta a x
x = 500 + 0,8416·40 = 533,66 h
Resposta
x = 533,66 h
15.Intervalos de confiança
Resposta: limite superior = 75,88
Intervalo de confiança para uma média: x̄ ± margem de erro. Com σ populacional conhecido, a margem é z·σ/√n; tendo apenas o desvio-padrão amostral s, use t com n − 1 graus de liberdade: t·s/√n. Valores críticos: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Para obter uma margem E ou menor, você precisa de n ≥ (z·σ/E)², arredondado para cima.
Valor crítico
df = n − 1 = 6, t = 1,943
Margem de erro
E = 1,943·8/√7 = 5,875
Intervalo
70 ± 5,875 → [64,12, 75,88]
Resposta
limite superior = 75,88
16.Intervalos de confiança
Resposta: n = 53
Intervalo de confiança para uma média: x̄ ± margem de erro. Com σ populacional conhecido, a margem é z·σ/√n; tendo apenas o desvio-padrão amostral s, use t com n − 1 graus de liberdade: t·s/√n. Valores críticos: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Para obter uma margem E ou menor, você precisa de n ≥ (z·σ/E)², arredondado para cima.
Resolver em ordem a n
n = (1,645·22/5)² = 52,39
Arredondar para cima
O tamanho da amostra é um número inteiro, e arredondar para baixo deixaria a margem grande demais.
n = 53
Resposta
n = 53
17.Testes de hipóteses e intervalos de confiança
Resposta: z = −2,608
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Erro-padrão da diferença
SE = √(7²/30 + 15²/80) = √4,446 = 2,109
Estatística de teste
z = (48,5 − 54)/2,109 = −2,608
Resposta
z = −2,608
|z| > 1,96, então H₀ é rejeitada ao nível de 5% (bilateral).
18.Testes de hipóteses e intervalos de confiança
Resposta: U = 126,6
Teste a uma média: a estatística de teste mede a quantos erros-padrão a média amostral está do valor afirmado em H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) quando σ é conhecido, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) quando é estimado pela amostra. Um intervalo de confiança é x̄ ± (valor crítico)·(erro-padrão).
Margem de erro
E = 1,96·20/√81 = 4,356
Limite do intervalo
U = 122,2 + 4,356 = 126,6
Resposta
U = 126,6
19.Regressão linear e correlação
Resposta: r² = 0,9887
Regressão por mínimos quadrados: com x̄ e ȳ as médias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), a reta ŷ = a + b·x tem inclinação b = Sxy/Sxx e intercepto a = ȳ − b·x̄, então ela sempre passa por (x̄, ȳ). O coeficiente de correlação de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) fica entre −1 e 1; r² é a fração da variação de y explicada pela reta.
Médias
x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 67/5 = 13,4
Somas de quadrados e de produtos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 62
Syy = Σ(y − ȳ)² = 97,2
Coeficiente de determinação
r² = 62²/(40·97,2) = 0,9887
Resposta
r² = 0,9887
Cerca de 98,87% da variação de y é explicada pela reta.
20.Regressão linear e correlação
Resposta: x = 6,444
Regressão por mínimos quadrados: com x̄ e ȳ as médias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), a reta ŷ = a + b·x tem inclinação b = Sxy/Sxx e intercepto a = ȳ − b·x̄, então ela sempre passa por (x̄, ȳ). O coeficiente de correlação de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) fica entre −1 e 1; r² é a fração da variação de y explicada pela reta.