Circuitos Elétricos 2: circuitos CA: pacote de revisão

Forma polar: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ, com r = |z| e θ = arg z. De volta à forma retangular: a = r cos θ, b = r sin θ. O argumento exige o quadrante: θ = atan(b/a) somente quando a > 0; para a < 0 some ou subtraia 180°. Na forma polar a multiplicação é fácil: multiplique os módulos e some os argumentos; para a divisão, divida os módulos e subtraia os argumentos.

De Moivre e raízes: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ. A equação zⁿ = R∠φ tem exatamente n raízes, todas com módulo R^1/n, nos argumentos (φ + 360°·k)/n para k = 0, 1, …, n − 1: elas ficam igualmente espaçadas sobre uma circunferência, a 360°/n uma da outra. Uma equação quadrática z² + pz + q = 0 com p² < 4q tem as raízes complexas z = −p/2 ± j√(q − p²/4); um polinômio com coeficientes reais sempre tem suas raízes complexas em pares conjugados a ± jb.

Circuitos CA com fasores: resistores, indutores e capacitores têm impedâncias R, jωL e 1/(jωC), com ω = 2πf. Em série, as impedâncias se somam como resistências, mas como números complexos. Corrente e tensão rms seguem a lei de Ohm com |Z|.

Circuitos CA com fasores: resistores, indutores e capacitores têm impedâncias R, jωL e 1/(jωC), com ω = 2πf. Em série, as impedâncias se somam como resistências, mas como números complexos. Corrente e tensão rms seguem a lei de Ohm com |Z|.

Potência CA: a potência aparente S = V·I (VA) se divide em potência ativa P = S·cos φ (W), que realiza trabalho útil, e potência reativa Q = S·sin φ (var), que vai e volta entre fonte e carga. O fator de potência é cos φ. Um capacitor em paralelo fornece potência reativa localmente, então a corrente de linha cai para a mesma potência ativa.

Potência CA: a potência aparente S = V·I (VA) se divide em potência ativa P = S·cos φ (W), que realiza trabalho útil, e potência reativa Q = S·sin φ (var), que vai e volta entre fonte e carga. O fator de potência é cos φ. Um capacitor em paralelo fornece potência reativa localmente, então a corrente de linha cai para a mesma potência ativa.

Fator Q e largura de banda: em um circuito ressonante, Q = 2π·(energia armazenada)/(energia perdida por ciclo). No RLC série, Q = ω₀L/R = (1/R)√(L/C); no RLC paralelo, Q = R/(ω₀L) = R√(C/L). A largura de banda entre as frequências de meia potência f₁ e f₂ (em que a potência é a metade e a corrente ou a tensão é 1/√2 do pico) é BW = f₂ − f₁ = f₀/Q, que vale R/(2πL) em série e 1/(2πRC) em paralelo. A frequência de ressonância é a média geométrica f₀ = √(f₁f₂), e f_1,2 = f₀(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q)). As perdas também fazem a oscilação decair: no RLC série, a amplitude cai como e^−Rt/(2L).

Fator Q e largura de banda: em um circuito ressonante, Q = 2π·(energia armazenada)/(energia perdida por ciclo). No RLC série, Q = ω₀L/R = (1/R)√(L/C); no RLC paralelo, Q = R/(ω₀L) = R√(C/L). A largura de banda entre as frequências de meia potência f₁ e f₂ (em que a potência é a metade e a corrente ou a tensão é 1/√2 do pico) é BW = f₂ − f₁ = f₀/Q, que vale R/(2πL) em série e 1/(2πRC) em paralelo. A frequência de ressonância é a média geométrica f₀ = √(f₁f₂), e f_1,2 = f₀(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q)). As perdas também fazem a oscilação decair: no RLC série, a amplitude cai como e^−Rt/(2L).

Sistemas trifásicos equilibrados: em uma ligação Y (estrela) a tensão de linha é √3 vezes a tensão de fase, V_L = √3·V_ph, e a corrente de linha é igual à corrente de fase. Em uma ligação Δ (triângulo) a tensão de linha é igual à tensão de fase e a corrente de linha é √3 vezes a corrente de fase, I_L = √3·I_ph. A potência total é três vezes a potência de uma fase: P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ.

Sistemas trifásicos equilibrados: em uma ligação Y (estrela) a tensão de linha é √3 vezes a tensão de fase, V_L = √3·V_ph, e a corrente de linha é igual à corrente de fase. Em uma ligação Δ (triângulo) a tensão de linha é igual à tensão de fase e a corrente de linha é √3 vezes a corrente de fase, I_L = √3·I_ph. A potência total é três vezes a potência de uma fase: P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ. Correção do fator de potência: os capacitores fornecem potência reativa localmente, Q_C = P·(tan φ₁ − tan φ₂). Cada um dos três capacitores fornece Q_C/3 = V²·ω·C, onde V é a tensão sobre aquele capacitor: V_L em um banco em Δ, V_L/√3 em um banco em Y.

Transitórios de primeira ordem: em um circuito com um capacitor ou um indutor, toda tensão e corrente vai exponencialmente do valor inicial ao valor final: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, com τ = RC ou τ = L/R. Depois de cerca de 5τ o circuito se estabiliza.

Transitórios de primeira ordem: em um circuito com um capacitor ou um indutor, toda tensão e corrente vai exponencialmente do valor inicial ao valor final: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, com τ = RC ou τ = L/R. Depois de cerca de 5τ o circuito se estabiliza.

Teorema de Thévenin: qualquer rede linear de dois terminais se comporta como uma única fonte de tensão V_th em série com uma resistência R_th. O teorema de Norton dá a mesma rede como uma fonte de corrente I_N = V_th/R_th em paralelo com R_th.

Teorema de Thévenin: qualquer rede linear de dois terminais se comporta como uma única fonte de tensão V_th em série com uma resistência R_th. O teorema de Norton dá a mesma rede como uma fonte de corrente I_N = V_th/R_th em paralelo com R_th.

Resposta em frequência: substitua s = jω na função de transferência. O módulo em decibéis é 20·log₁₀|H(jω)| e a fase é a soma dos ângulos dos fatores do numerador menos os do denominador. Um filtro RC ou RL de primeira ordem tem sua frequência de corte (−3 dB) em ω_c = 1/(RC) ou R/L, e f_c = ω_c/(2π); um filtro passa-baixas dá |H| = 1/√(1 + (ω/ω_c)²) e φ = −atan(ω/ω_c). No diagrama de Bode assintótico (de retas), cada polo inclina o módulo para baixo em 20 dB/década na sua frequência de canto, cada zero o inclina para cima em 20 dB/década, e um integrador 1/s dá −20 dB/década em todas as frequências. Cruzamento de ganho ω_c: |L(jω)| = 1 (0 dB); margem de fase MF = 180° + ∠L(jω_c). Cruzamento de fase ω₁₈₀: ∠L(jω) = −180°; margem de ganho MG = −20·log₁₀|L(jω₁₈₀)| dB. A malha fechada é estável quando as duas margens são positivas.

Resposta em frequência: substitua s = jω na função de transferência. O módulo em decibéis é 20·log₁₀|H(jω)| e a fase é a soma dos ângulos dos fatores do numerador menos os do denominador. Um filtro RC ou RL de primeira ordem tem sua frequência de corte (−3 dB) em ω_c = 1/(RC) ou R/L, e f_c = ω_c/(2π); um filtro passa-baixas dá |H| = 1/√(1 + (ω/ω_c)²) e φ = −atan(ω/ω_c). No diagrama de Bode assintótico (de retas), cada polo inclina o módulo para baixo em 20 dB/década na sua frequência de canto, cada zero o inclina para cima em 20 dB/década, e um integrador 1/s dá −20 dB/década em todas as frequências. Cruzamento de ganho ω_c: |L(jω)| = 1 (0 dB); margem de fase MF = 180° + ∠L(jω_c). Cruzamento de fase ω₁₈₀: ∠L(jω) = −180°; margem de ganho MG = −20·log₁₀|L(jω₁₈₀)| dB. A malha fechada é estável quando as duas margens são positivas.