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1Fórmulas e métodos
Valor temporal do dinheiro
Valor futuro
FV = PV·(1 + i)n
Valor atual
PV = FV/(1 + i)n
Vários períodos por ano
i = r/m, N = m·n
Anuidade, valor atual
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Anuidade, valor futuro
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Método
Desenhe uma linha do tempo com cada fluxo de caixa e o momento em que ocorre.
Ajuste a taxa ao período: uma taxa mensal para pagamentos mensais.
Use FV = PV·(1 + i)ⁿ para valores únicos e as fórmulas de anuidade para pagamentos iguais.
Verifique o sinal e a ordem de grandeza da resposta.
VAL e TIR
Valor atual líquido
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Fluxos iguais
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Taxa interna de retorno
o r em que NPV = 0
Decisão
aceitar se NPV > 0 (ou IRR > retorno exigido)
Método
Liste todos os fluxos de caixa com o seu ano; o investimento no ano 0 é negativo.
Desconte cada fluxo de caixa: CFt/(1 + r)t.
Some-os para obter o VPL. Positivo significa que o projeto rende mais que r.
Para a TIR, encontre a taxa que zera o VPL por tentativa ou interpolação.
Preço e rendimento de títulos
Preço do título
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Semestral
C/2, y/2 e 2n períodos
Rendimento corrente
C/P
Preço e rendimento
rendimento sobe → preço cai
Método
Encontre o cupom por período e o rendimento por período.
Preço = valor presente dos cupons (uma anuidade) + valor presente do valor de face.
Para cupons semestrais use metade do cupom, metade do rendimento e o dobro de períodos.
Verificação: se o rendimento está acima da taxa de cupom, o preço fica abaixo do valor de face.
CAPM e WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Valor da empresa
V = E + D
Análise do ponto crítico
Margem de contribuição
CM = p − v
Quantidade crítica
QBE = FC/(p − v)
Lucro pretendido
Q = (FC + profit)/(p − v)
Lucro
π = (p − v)·Q − FC
Margem de segurança
(Q − QBE)/Q
2Exercícios
1.Valor temporal do dinheiroMédia
Um cartão de crédito cobra uma taxa de juros nominal de 15% ao ano, capitalizada mensalmente. Encontre a taxa efetiva anual EAR em porcentagem.
r = 15%m = 12
EAR = %
2.Valor temporal do dinheiroDifícil
Poupa €500 no fim de cada mês durante 25 anos. A conta rende 7,2 % ao ano, capitalizada mensalmente. Quanto poupou no fim? Calcule FV.
A = €5007,2% / 12N = 300
FV = €
3.VAL e TIRMédia
Uma máquina custa €30 000 hoje. Ela gera €10 500 no final de cada ano durante 3 anos e depois pode ser vendida por €6 000. O custo de capital é 10%. Encontre o valor presente líquido NPV.
C0 = €30 000CF = €10 500S = €6 000n = 3r = 10%
NPV = €
4.VAL e TIRDifícil
Um investimento de €20 000 retorna €8 500 no final de cada ano durante 3 anos. Encontre sua taxa interna de retorno IRR em porcentagem.
C0 = €20 000CF = €8 500n = 3
IRR = %
5.Preço e rendimento de títulosMédia
Um título com valor de face de €1 000 paga um cupom anual de 8% e vence em 7 anos. Seu rendimento até o vencimento muda de 4% para 5%. Quanto ΔP varia o preço do título?
F = €1 000cupom = 8%n = 7y1 = 4%y2 = 5%
ΔP = €
6.Preço e rendimento de títulosDifícil
Um título é negociado a €1 090 com rendimento até o vencimento de 7% (capitalização anual) e duration de Macaulay de 7,4 anos. Use a duration modificada para estimar o novo preço P se o rendimento subir 75 pontos-base.
P0 = €1 090y = 7%D = 7,4Δy = +75 bp
P = €
7.CAPM e WACCMédia
Uma empresa tem uma relação dívida/capital próprio (a valores de mercado) de 0,5. Seu custo do capital próprio é 11%, seu custo da dívida antes dos impostos é 3,5% e a alíquota de imposto é 20%. Encontre o WACC.
D/E = 0,5re = 11%rd = 3,5%T = 20%
WACC = %
8.CAPM e WACCDifícil
Uma empresa tem 2 000 000 ações a €33,50 cada e 20 000 títulos negociados a €1 000 cada. O custo da dívida antes dos impostos é 5% e a alíquota de imposto é 25,8%. O beta da ação é 1,8, a taxa livre de risco é 4% e o retorno do mercado é 10,5%. Calcule o WACC.
β = 1,8rf = 4%rm = 10,5%rd = 5%T = 25,8%
WACC = %
9.Análise do ponto críticoMédia
Um produto vende-se a €32 por unidade com um custo variável de €12 por unidade. Os custos fixos são de €80 000 por mês. Quantas unidades Q é preciso vender por mês para ter um lucro de €6 000?
F = €80 000p = €32v = €12lucro = €6 000
Q = unidades
10.Análise do ponto críticoDifícil
Um produto vende-se a €16 por unidade, com custo variável de €12 por unidade e custos fixos de €2 000 por ano. As vendas orçamentadas são de 700 unidades. Calcule a margem de segurança MS em percentagem das vendas orçamentadas.
F = €2 000p = €16v = €12orçamento = 700
MS = %
3Soluções
1.Valor temporal do dinheiro
Resposta: EAR = 16,08 %
Valor temporal do dinheiro: o dinheiro hoje vale mais do que a mesma quantia no futuro, porque pode render juros. Com uma taxa i por período, um montante cresce para FV = PV·(1 + i)n. Uma série de pagamentos iguais (uma renda) avalia-se somando cada pagamento, o que dá as fórmulas das rendas.
Taxa por período
r/m = 0,15/12 = 0,0125
Capitalize ao longo de um ano
EAR = (1 + 0,0125)12 − 1 = 1,161 − 1 = 16,08%
Resposta
EAR = 16,08%
A taxa efetiva anual é sempre maior que a taxa nominal quando os juros são capitalizados mais de uma vez por ano.
2.Valor temporal do dinheiro
Resposta: FV = 418100 €
Valor temporal do dinheiro: o dinheiro hoje vale mais do que a mesma quantia no futuro, porque pode render juros. Com uma taxa i por período, um montante cresce para FV = PV·(1 + i)n. Uma série de pagamentos iguais (uma renda) avalia-se somando cada pagamento, o que dá as fórmulas das rendas.
Valor atual líquido: desconte cada fluxo de caixa até hoje com a rendibilidade exigida r e some-os: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Um projeto com NPV > 0 rende mais do que r e cria valor. A taxa interna de rendibilidade (TIR) é a taxa para a qual NPV = 0.
Valor presente dos fluxos de caixa anuais
10 500·2,487 = 26 111,95
Valor presente do valor residual
6 000/1,331 = 4 507,89
NPV
NPV = −30 000 + 26 111,95 + 4 507,89 = €619,83
Resposta
NPV = €619,83
4.VAL e TIR
Resposta: IRR = 13,21 %
Valor atual líquido: desconte cada fluxo de caixa até hoje com a rendibilidade exigida r e some-os: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Um projeto com NPV > 0 rende mais do que r e cria valor. A taxa interna de rendibilidade (TIR) é a taxa para a qual NPV = 0.
Fator de anuidade necessário
(1 − (1 + i)−3)/i = 20 000/8 500 = 2,353
Resolver para a taxa
O fator de anuidade diminui quando a taxa aumenta; delimite a taxa e vá estreitando o intervalo.
i = 13%: 2,361
i = 14%: 2,322
IRR = 13,21%
Resposta
IRR = 13,21%
5.Preço e rendimento de títulos
Resposta: ΔP = −66,49 €
Precificação de títulos: o preço de um título é o valor presente dos seus fluxos de caixa, descontados ao rendimento até o vencimento (YTM): os cupons formam uma anuidade e o valor de face é devolvido no vencimento. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando o rendimento está acima da taxa de cupom, o título é negociado abaixo do valor de face, e vice-versa.
Duration: a duration de Macaulay é o prazo médio ponderado em que um título paga seus fluxos de caixa, usando como pesos os valores presentes dos fluxos de caixa: D = Σ t·PVₜ/P. A duration modificada D/(1 + y) estima a variação percentual do preço para uma pequena variação do rendimento: %ΔP ≈ −Dmod·Δy.
Duration modificada
Dmod = 7,4/1,07 = 6,916
Variação estimada do preço
%ΔP ≈ −6,916·(0,0075) = −5,187%
P ≈ 1090·(1 − 0,05187) = €1 033,46
Resposta
P = €1 033,46
A duration é uma estimativa linear; para grandes variações de rendimento a convexidade torna o preço real um pouco mais alto.
7.CAPM e WACC
Resposta: WACC = 8,267 %
Custo de capital: o CAPM dá o retorno exigido pelos acionistas: re = rf + β·(rm − rf). O custo médio ponderado de capital combina capital próprio e dívida pelos seus valores de mercado: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), com V = E + D. Os juros são dedutíveis do imposto, daí o (1 − T).
Custo de capital: o CAPM dá o retorno exigido pelos acionistas: re = rf + β·(rm − rf). O custo médio ponderado de capital combina capital próprio e dívida pelos seus valores de mercado: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), com V = E + D. Os juros são dedutíveis do imposto, daí o (1 − T).
Custo-volume-resultado: cada unidade vendida gera uma margem de contribuição, preço menos custo variável unitário. Resultado = Q·(p − v) − F, onde F é o custo fixo. No ponto crítico o resultado é zero, logo Q = F/(p − v).
Custo-volume-resultado: cada unidade vendida gera uma margem de contribuição, preço menos custo variável unitário. Resultado = Q·(p − v) − F, onde F é o custo fixo. No ponto crítico o resultado é zero, logo Q = F/(p − v).