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1Fórmulas e métodos
Valor temporal do dinheiro
Valor futuro
FV = PV·(1 + i)n
Valor atual
PV = FV/(1 + i)n
Vários períodos por ano
i = r/m, N = m·n
Anuidade, valor atual
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Anuidade, valor futuro
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Método
Desenhe uma linha do tempo com cada fluxo de caixa e o momento em que ocorre.
Ajuste a taxa ao período: uma taxa mensal para pagamentos mensais.
Use FV = PV·(1 + i)ⁿ para valores únicos e as fórmulas de anuidade para pagamentos iguais.
Verifique o sinal e a ordem de grandeza da resposta.
VAL e TIR
Valor atual líquido
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Fluxos iguais
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Taxa interna de retorno
o r em que NPV = 0
Decisão
aceitar se NPV > 0 (ou IRR > retorno exigido)
Método
Liste todos os fluxos de caixa com o seu ano; o investimento no ano 0 é negativo.
Desconte cada fluxo de caixa: CFt/(1 + r)t.
Some-os para obter o VPL. Positivo significa que o projeto rende mais que r.
Para a TIR, encontre a taxa que zera o VPL por tentativa ou interpolação.
Preço e rendimento de títulos
Preço do título
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Semestral
C/2, y/2 e 2n períodos
Rendimento corrente
C/P
Preço e rendimento
rendimento sobe → preço cai
Método
Encontre o cupom por período e o rendimento por período.
Preço = valor presente dos cupons (uma anuidade) + valor presente do valor de face.
Para cupons semestrais use metade do cupom, metade do rendimento e o dobro de períodos.
Verificação: se o rendimento está acima da taxa de cupom, o preço fica abaixo do valor de face.
CAPM e WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Valor da empresa
V = E + D
Análise do ponto crítico
Margem de contribuição
CM = p − v
Quantidade crítica
QBE = FC/(p − v)
Lucro pretendido
Q = (FC + profit)/(p − v)
Lucro
π = (p − v)·Q − FC
Margem de segurança
(Q − QBE)/Q
2Exercícios
1.Valor temporal do dinheiroMédia
Precisa de €50 000 daqui a 2 anos. Uma conta rende 6 % ao ano, capitalizada mensalmente. Quanto tem de depositar hoje? Calcule o valor atual PV.
FV = €50 0006% / 12n = 2
PV = €
2.Valor temporal do dinheiroDifícil
Um empréstimo de €12 000 é pago em prestações mensais iguais durante 5 anos. A taxa de juro é de 3,6 % ao ano, capitalizada mensalmente. Calcule a prestação mensal A.
P = €12 0003,6% / 12N = 60
A = €
3.VAL e TIRMédia
Um projeto custa €40 000 hoje e retorna €17 500, €13 500, €11 500, €10 000, €10 500 no final dos anos 1 a 5. O custo de capital é 8%. Suponha que os fluxos de caixa entrem de forma uniforme ao longo de cada ano. Encontre o período de payback descontado DPB em anos.
Um projeto custa €10 000 e devolve €7 500, €5 500, €4 500 no fim dos anos 1 a 3. Calcule a sua taxa interna de rendibilidade IRR em percentagem.
CF0 = −10 000CF1 = 7 500CF2 = 5 500CF3 = 4 500
IRR = %
5.Preço e rendimento de títulosMédia
Você compra um título com 8 anos até o vencimento (valor de face €1 000, cupom anual 8%) quando seu rendimento até o vencimento é 4%. Um ano depois, logo após receber o primeiro cupom, você o vende quando o rendimento até o vencimento é 3%. Encontre seu retorno no período de posse HPR em porcentagem.
F = €1 000cupom = 8%n = 8y0 = 4%y1 = 3%
HPR = %
6.Preço e rendimento de títulosDifícil
Um título com valor de face de €1 000 e cupom anual de 8% vence em 8 anos e é vendido por €920. Calcule seu rendimento até o vencimento YTM em porcentagem.
F = €1 000cupom = 8%n = 8P = €920
YTM = %
7.CAPM e WACCMédia
Uma empresa tem capital próprio de €12 000 000 e dívida de €1 000 000. Seu custo do capital próprio é 11%, seu custo da dívida antes dos impostos é 4,5% e a alíquota de imposto é 28%. Calcule o WACC.
Uma empresa tem capital próprio com valor de mercado de €6 000 000 e custo do capital próprio de 12%. Sua dívida consiste em 5 000 títulos (valor de face €1 000, cupom anual 5%, 4 anos até o vencimento) negociados a €965 cada. A alíquota de imposto é 20%. Encontre o WACC, usando o rendimento até o vencimento dos títulos como custo da dívida antes dos impostos.
Um produto é vendido a €32 com custo variável de €12 por unidade. Os custos fixos são €80 000 por mês e o lucro é tributado a 20%. Quantas unidades Q devem ser vendidas por mês para obter €32 000 após os impostos?
p = €32v = €12F = €80 000T = 20%lucro após os impostos = €32 000
Q = unidades
10.Análise do ponto críticoDifícil
Uma empresa vende 3 000 unidades por mês a €26 cada, com custo variável de €6 por unidade e custos fixos de €30 000 por mês. O custo variável aumenta €5 por unidade e o preço continua o mesmo. Quantas unidades Q precisam agora ser vendidas por mês para manter o mesmo lucro?
Q = 3 000p = €26v = €6 → €11F = €30 000
Q = unidades
3Soluções
1.Valor temporal do dinheiro
Resposta: PV = 44359 €
Valor temporal do dinheiro: o dinheiro hoje vale mais do que a mesma quantia no futuro, porque pode render juros. Com uma taxa i por período, um montante cresce para FV = PV·(1 + i)n. Uma série de pagamentos iguais (uma renda) avalia-se somando cada pagamento, o que dá as fórmulas das rendas.
Taxa e número de períodos
i = 0,06/12 = 0,005
N = 12·2 = 24
Valor atual
PV = FV/(1 + i)N = 50 000/1,127 = €44 359,28
Resposta
PV = €44 359,28
2.Valor temporal do dinheiro
Resposta: A = 218,8 €
Valor temporal do dinheiro: o dinheiro hoje vale mais do que a mesma quantia no futuro, porque pode render juros. Com uma taxa i por período, um montante cresce para FV = PV·(1 + i)n. Uma série de pagamentos iguais (uma renda) avalia-se somando cada pagamento, o que dá as fórmulas das rendas.
Taxa mensal e número de prestações
i = 0,036000000000000004/12 = 0,003
N = 12·5 = 60
Prestação
O valor atual de N pagamentos iguais A é A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Iguale-o ao empréstimo e resolva em ordem a A.
(1 + i)−N = 0,8355
A = 12 000·0,003/(1 − 0,8355) = €218,84
Resposta
A = €218,84
3.VAL e TIR
Resposta: DPB = 3,421 anos
Período de payback: o tempo até que os fluxos de caixa acumulados recuperem o investimento inicial. Supõe-se que o caixa entra de forma uniforme durante cada ano, então a última parte é uma fração de ano. O payback simples ignora o valor do dinheiro no tempo; o payback descontado usa os fluxos de caixa descontados.
Fluxos de caixa descontados e acumulados
ano 1: 17 500/1,08 = 16 203,70 → Σ = 16 203,70
ano 2: 13 500/1,166 = 11 574,07 → Σ = 27 777,78
ano 3: 11 500/1,26 = 9 129,07 → Σ = 36 906,85
ano 4: 10 000/1,36 = 7 350,30 → Σ = 44 257,15
Fração do último ano
DPB = 3 + 3 093,15/7 350,30 = 3,421
Resposta
DPB = 3,421 anos
O payback descontado é sempre mais longo que o payback simples (2,783 anos).
4.VAL e TIR
Resposta: IRR = 38,3 %
Valor atual líquido: desconte cada fluxo de caixa até hoje com a rendibilidade exigida r e some-os: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Um projeto com NPV > 0 rende mais do que r e cria valor. A taxa interna de rendibilidade (TIR) é a taxa para a qual NPV = 0.
Enquadrar a TIR
O VAL desce quando a taxa sobe, por isso a TIR está entre uma taxa com VAL positivo e outra com VAL negativo.
NPV(35%) = 402,38
NPV(40%) = −196,79
Aproximar
A interpolação linear dá uma primeira estimativa; repeti-la (ou usar a função TIR de uma calculadora) dá a taxa exata.
IRR ≈ 35 + 5·402,38/(402,38 − (−196,79)) = 38,36%
exato: NPV(38,3%) = 0 → IRR = 38,3%
Resposta
IRR = 38,3%
5.Preço e rendimento de títulos
Resposta: HPR = 9,628 %
Precificação de títulos: o preço de um título é o valor presente dos seus fluxos de caixa, descontados ao rendimento até o vencimento (YTM): os cupons formam uma anuidade e o valor de face é devolvido no vencimento. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando o rendimento está acima da taxa de cupom, o título é negociado abaixo do valor de face, e vice-versa.
Precificação de títulos: o preço de um título é o valor presente dos seus fluxos de caixa, descontados ao rendimento até o vencimento (YTM): os cupons formam uma anuidade e o valor de face é devolvido no vencimento. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando o rendimento está acima da taxa de cupom, o título é negociado abaixo do valor de face, e vice-versa.
Equação do rendimento
€920 = €80·(1 − (1 + y)⁻⁸)/y + €1 000/(1 + y)⁸
Resolva numericamente
P(9%) = €944,65, P(10%) = €893,30
YTM = 9,471%
Resposta
YTM = 9,471%
7.CAPM e WACC
Resposta: WACC = 10,4 %
Custo de capital: o CAPM dá o retorno exigido pelos acionistas: re = rf + β·(rm − rf). O custo médio ponderado de capital combina capital próprio e dívida pelos seus valores de mercado: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), com V = E + D. Os juros são dedutíveis do imposto, daí o (1 − T).
Custo de capital: o CAPM dá o retorno exigido pelos acionistas: re = rf + β·(rm − rf). O custo médio ponderado de capital combina capital próprio e dívida pelos seus valores de mercado: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), com V = E + D. Os juros são dedutíveis do imposto, daí o (1 − T).
Custo-volume-resultado: cada unidade vendida gera uma margem de contribuição, preço menos custo variável unitário. Resultado = Q·(p − v) − F, onde F é o custo fixo. No ponto crítico o resultado é zero, logo Q = F/(p − v).
Lucro antes dos impostos necessário
32 000/(1 − 0,2) = €40 000
Unidades necessárias
Q = (80 000 + 40 000)/20 = 6 000
Resposta
Q = 6 000 unidades
10.Análise do ponto crítico
Resposta: Q = 4000 unidades
Custo-volume-resultado: cada unidade vendida gera uma margem de contribuição, preço menos custo variável unitário. Resultado = Q·(p − v) − F, onde F é o custo fixo. No ponto crítico o resultado é zero, logo Q = F/(p − v).