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1Fórmulas e métodos
Valor temporal do dinheiro
Valor futuro
FV = PV·(1 + i)n
Valor atual
PV = FV/(1 + i)n
Vários períodos por ano
i = r/m, N = m·n
Anuidade, valor atual
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Anuidade, valor futuro
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Método
Desenhe uma linha do tempo com cada fluxo de caixa e o momento em que ocorre.
Ajuste a taxa ao período: uma taxa mensal para pagamentos mensais.
Use FV = PV·(1 + i)ⁿ para valores únicos e as fórmulas de anuidade para pagamentos iguais.
Verifique o sinal e a ordem de grandeza da resposta.
VAL e TIR
Valor atual líquido
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Fluxos iguais
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Taxa interna de retorno
o r em que NPV = 0
Decisão
aceitar se NPV > 0 (ou IRR > retorno exigido)
Método
Liste todos os fluxos de caixa com o seu ano; o investimento no ano 0 é negativo.
Desconte cada fluxo de caixa: CFt/(1 + r)t.
Some-os para obter o VPL. Positivo significa que o projeto rende mais que r.
Para a TIR, encontre a taxa que zera o VPL por tentativa ou interpolação.
Preço e rendimento de títulos
Preço do título
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Semestral
C/2, y/2 e 2n períodos
Rendimento corrente
C/P
Preço e rendimento
rendimento sobe → preço cai
Método
Encontre o cupom por período e o rendimento por período.
Preço = valor presente dos cupons (uma anuidade) + valor presente do valor de face.
Para cupons semestrais use metade do cupom, metade do rendimento e o dobro de períodos.
Verificação: se o rendimento está acima da taxa de cupom, o preço fica abaixo do valor de face.
CAPM e WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Valor da empresa
V = E + D
Análise do ponto crítico
Margem de contribuição
CM = p − v
Quantidade crítica
QBE = FC/(p − v)
Lucro pretendido
Q = (FC + profit)/(p − v)
Lucro
π = (p − v)·Q − FC
Margem de segurança
(Q − QBE)/Q
2Exercícios
1.Valor temporal do dinheiroMédia
Você investe €20 000 a 3% ao ano com capitalização contínua. Encontre o valor FV após 17 anos.
PV = €20 000r = 3%t = 17
FV = €
2.Valor temporal do dinheiroDifícil
Você toma emprestado €20 000 a 7,2% ao ano, capitalizados mensalmente, e paga €350 no final de cada mês. Quantos meses leva até o empréstimo ser quitado (o último pagamento pode ser menor)? Dê o número de pagamentos N.
P = €20 000A = €3507,2% / 12
N = pagamentos
3.VAL e TIRMédia
Um investimento de €75 000 gera estes fluxos no fim dos anos 1 a 4: €34 000, €19 000, €32 000, €29 000. O custo do capital é de 5 %. Calcule o valor atual líquido NPV.
Um projeto custa €10 000 e retorna €4 000, €3 500, €3 000 no final dos anos 1 a 3. Os fluxos de caixa podem ser reinvestidos ao custo de capital de 10%. Encontre a taxa interna de retorno modificada MIRR em porcentagem.
Um título com valor de face de €1 000 paga um cupom anual de 7% e vence em 4 anos. Seu rendimento até o vencimento muda de 5,5% para 6,5%. Quanto ΔP varia o preço do título?
F = €1 000cupom = 7%n = 4y1 = 5,5%y2 = 6,5%
ΔP = €
6.Preço e rendimento de títulosDifícil
Um título com valor de face de €1 000 e cupom anual de 4% vence em 5 anos e é vendido por €895. Calcule seu rendimento até o vencimento YTM em porcentagem.
F = €1 000cupom = 4%n = 5P = €895
YTM = %
7.CAPM e WACCMédia
Uma empresa tem uma relação dívida/capital próprio (a valores de mercado) de 0,5. Seu custo do capital próprio é 10%, seu custo da dívida antes dos impostos é 5% e a alíquota de imposto é 25%. Encontre o WACC.
D/E = 0,5re = 10%rd = 5%T = 25%
WACC = %
8.CAPM e WACCDifícil
Uma empresa tem 2 000 000 ações a €43,00 cada e 40 000 títulos negociados a €960 cada. O custo da dívida antes dos impostos é 6% e a alíquota de imposto é 20%. O beta da ação é 1,1, a taxa livre de risco é 2% e o retorno do mercado é 6%. Calcule o WACC.
β = 1,1rf = 2%rm = 6%rd = 6%T = 20%
WACC = %
9.Análise do ponto críticoMédia
Um produto vende-se a €14 por unidade com um custo variável de €4 por unidade. Os custos fixos são de €40 000 por mês. Quantas unidades Q é preciso vender por mês para ter um lucro de €2 000?
F = €40 000p = €14v = €4lucro = €2 000
Q = unidades
10.Análise do ponto críticoDifícil
Um produto vende-se a €51 por unidade, com custo variável de €45 por unidade e custos fixos de €12 000 por ano. As vendas orçamentadas são de 2 400 unidades. Calcule a margem de segurança MS em percentagem das vendas orçamentadas.
F = €12 000p = €51v = €45orçamento = 2 400
MS = %
3Soluções
1.Valor temporal do dinheiro
Resposta: FV = 33306 €
Valor temporal do dinheiro: o dinheiro hoje vale mais do que a mesma quantia no futuro, porque pode render juros. Com uma taxa i por período, um montante cresce para FV = PV·(1 + i)n. Uma série de pagamentos iguais (uma renda) avalia-se somando cada pagamento, o que dá as fórmulas das rendas.
Expoente
r·t = 0,03·17 = 0,51
e0,51 = 1,665
Valor futuro
FV = 20 000·1,665 = €33 305,82
Resposta
FV = €33 305,82
2.Valor temporal do dinheiro
Resposta: N = 71 pagamentos
Valor temporal do dinheiro: o dinheiro hoje vale mais do que a mesma quantia no futuro, porque pode render juros. Com uma taxa i por período, um montante cresce para FV = PV·(1 + i)n. Uma série de pagamentos iguais (uma renda) avalia-se somando cada pagamento, o que dá as fórmulas das rendas.
Reorganize a fórmula da anuidade
i = 0,006
(1 + i)−N = 1 − 20 000·0,006/350 = 0,6571
Resolver com logaritmos
N = −ln(0,6571)/ln(1,006) = 70,19
Arredonde para cima até pagamentos inteiros
70 pagamentos completos deixam um pequeno saldo, que o último pagamento, menor, quita.
N = 71
Resposta
N = 71 pagamentos
3.VAL e TIR
Resposta: NPV = 26116 €
Valor atual líquido: desconte cada fluxo de caixa até hoje com a rendibilidade exigida r e some-os: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Um projeto com NPV > 0 rende mais do que r e cria valor. A taxa interna de rendibilidade (TIR) é a taxa para a qual NPV = 0.
Valor atual de cada fluxo
CF0 = −75 000
CF1/(1 + 0,05)1 = 34 000/1,05 = 32 380,95
CF2/(1 + 0,05)2 = 19 000/1,103 = 17 233,56
CF3/(1 + 0,05)3 = 32 000/1,158 = 27 642,80
CF4/(1 + 0,05)4 = 29 000/1,216 = 23 858,37
Somar
NPV = €26 115,69
Resposta
NPV = €26 115,69
O VAL é positivo, logo o projeto rende mais do que a rendibilidade exigida.
4.VAL e TIR
Resposta: MIRR = 5,343 %
TIR modificada: capitalize cada entrada até o final do projeto à taxa de reinvestimento (normalmente o custo de capital) para obter o valor terminal TV. A TIRM é a taxa que transforma o investimento inicial em TV: MIRR = (TV/C₀)^(1/n) − 1.
Valor terminal das entradas
4 000·1,12 = 4 840,00
3 500·1,11 = 3 850,00
3 000·1,10 = 3 000,00
TV = 11 690,00
MIRR
MIRR = (11 690,00/10 000)1/3 − 1 = 5,343%
Resposta
MIRR = 5,343%
5.Preço e rendimento de títulos
Resposta: ΔP = −35,45 €
Precificação de títulos: o preço de um título é o valor presente dos seus fluxos de caixa, descontados ao rendimento até o vencimento (YTM): os cupons formam uma anuidade e o valor de face é devolvido no vencimento. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando o rendimento está acima da taxa de cupom, o título é negociado abaixo do valor de face, e vice-versa.
Precificação de títulos: o preço de um título é o valor presente dos seus fluxos de caixa, descontados ao rendimento até o vencimento (YTM): os cupons formam uma anuidade e o valor de face é devolvido no vencimento. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando o rendimento está acima da taxa de cupom, o título é negociado abaixo do valor de face, e vice-versa.
Equação do rendimento
€895 = €40·(1 − (1 + y)⁻⁵)/y + €1 000/(1 + y)⁵
Resolva numericamente
P(6%) = €915,75, P(7%) = €876,99
YTM = 6,529%
Resposta
YTM = 6,529%
7.CAPM e WACC
Resposta: WACC = 7,917 %
Custo de capital: o CAPM dá o retorno exigido pelos acionistas: re = rf + β·(rm − rf). O custo médio ponderado de capital combina capital próprio e dívida pelos seus valores de mercado: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), com V = E + D. Os juros são dedutíveis do imposto, daí o (1 − T).
Pesos a partir de D/E
E/V = 1/(1 + 0,5) = 0,6667
D/V = 0,5/(1 + 0,5) = 0,3333
WACC
WACC = 0,6667·10% + 0,3333·5%·(1 − 0,25) = 7,917%
Resposta
WACC = 7,917%
8.CAPM e WACC
Resposta: WACC = 5,906 %
Custo de capital: o CAPM dá o retorno exigido pelos acionistas: re = rf + β·(rm − rf). O custo médio ponderado de capital combina capital próprio e dívida pelos seus valores de mercado: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), com V = E + D. Os juros são dedutíveis do imposto, daí o (1 − T).
Valores de mercado
E = 2 000 000·€43,00 = €86 000 000
D = 40 000·€960 = €38 400 000
Custo do capital próprio (CAPM)
re = 2% + 1,1·4% = 6,4%
Pesos
V = €124 400 000, E/V = 0,6913, D/V = 0,3087
WACC
WACC = 0,6913·6,4% + 0,3087·6%·(1 − 0,2) = 5,906%
Resposta
WACC = 5,906%
9.Análise do ponto crítico
Resposta: Q = 4200 unidades
Custo-volume-resultado: cada unidade vendida gera uma margem de contribuição, preço menos custo variável unitário. Resultado = Q·(p − v) − F, onde F é o custo fixo. No ponto crítico o resultado é zero, logo Q = F/(p − v).
Custo-volume-resultado: cada unidade vendida gera uma margem de contribuição, preço menos custo variável unitário. Resultado = Q·(p − v) − F, onde F é o custo fixo. No ponto crítico o resultado é zero, logo Q = F/(p − v).