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1Fórmulas e métodos
Valor temporal do dinheiro
Valor futuro
FV = PV·(1 + i)n
Valor atual
PV = FV/(1 + i)n
Vários períodos por ano
i = r/m, N = m·n
Anuidade, valor atual
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Anuidade, valor futuro
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Método
Desenhe uma linha do tempo com cada fluxo de caixa e o momento em que ocorre.
Ajuste a taxa ao período: uma taxa mensal para pagamentos mensais.
Use FV = PV·(1 + i)ⁿ para valores únicos e as fórmulas de anuidade para pagamentos iguais.
Verifique o sinal e a ordem de grandeza da resposta.
VAL e TIR
Valor atual líquido
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Fluxos iguais
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Taxa interna de retorno
o r em que NPV = 0
Decisão
aceitar se NPV > 0 (ou IRR > retorno exigido)
Método
Liste todos os fluxos de caixa com o seu ano; o investimento no ano 0 é negativo.
Desconte cada fluxo de caixa: CFt/(1 + r)t.
Some-os para obter o VPL. Positivo significa que o projeto rende mais que r.
Para a TIR, encontre a taxa que zera o VPL por tentativa ou interpolação.
Preço e rendimento de títulos
Preço do título
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Semestral
C/2, y/2 e 2n períodos
Rendimento corrente
C/P
Preço e rendimento
rendimento sobe → preço cai
Método
Encontre o cupom por período e o rendimento por período.
Preço = valor presente dos cupons (uma anuidade) + valor presente do valor de face.
Para cupons semestrais use metade do cupom, metade do rendimento e o dobro de períodos.
Verificação: se o rendimento está acima da taxa de cupom, o preço fica abaixo do valor de face.
CAPM e WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Valor da empresa
V = E + D
Análise do ponto crítico
Margem de contribuição
CM = p − v
Quantidade crítica
QBE = FC/(p − v)
Lucro pretendido
Q = (FC + profit)/(p − v)
Lucro
π = (p − v)·Q − FC
Margem de segurança
(Q − QBE)/Q
2Exercícios
1.Valor temporal do dinheiroMédia
Um cartão de crédito cobra uma taxa de juros nominal de 18% ao ano, capitalizada mensalmente. Encontre a taxa efetiva anual EAR em porcentagem.
r = 18%m = 12
EAR = %
2.Valor temporal do dinheiroDifícil
Você deposita €5 000 no início de cada ano durante 15 anos, sendo o primeiro depósito hoje. A conta rende 5% ao ano. Quanto há na conta no final do ano 15? Encontre FV.
A = €5 000i = 5%n = 15
FV = €
3.VAL e TIRMédia
Um projeto custa €40 000 hoje e retorna €16 500, €14 000, €16 500, €10 000 no final dos anos 1 a 4. O custo de capital é 10%. Suponha que os fluxos de caixa entrem de forma uniforme ao longo de cada ano. Encontre o período de payback descontado DPB em anos.
Um projeto custa €10 000 e devolve €7 500, €4 500, €7 500 no fim dos anos 1 a 3. Calcule a sua taxa interna de rendibilidade IRR em percentagem.
CF0 = −10 000CF1 = 7 500CF2 = 4 500CF3 = 7 500
IRR = %
5.Preço e rendimento de títulosMédia
Um título com valor de face de €1 000 paga um cupom anual de 3% em dois pagamentos semestrais e vence em 7 anos. O rendimento até o vencimento é de 8% ao ano. Calcule o preço P do título.
F = €1 000cupom = 3%YTM = 8%n = 7
P = €
6.Preço e rendimento de títulosDifícil
Um título com valor de face de €1 000 paga um cupom anual de 7% em dois pagamentos semestrais e vence em 11 anos. Ele é vendido a €1 430. Encontre seu rendimento até o vencimento YTM como taxa anual (o dobro do rendimento semestral), em porcentagem.
F = €1 000cupom = 7% (2×)n = 11P = €1 430
YTM = %
7.CAPM e WACCMédia
Uma empresa tem capital próprio de €2 000 000 e dívida de €5 000 000. Seu custo do capital próprio é 12%, seu custo da dívida antes dos impostos é 7% e a alíquota de imposto é 25%. Calcule o WACC.
O negócio de uma empresa tem beta desalavancado (dos ativos) de 1,1. Ela planeja uma relação dívida/capital próprio de 1,5. A alíquota de imposto é 20%, a taxa livre de risco é 1% e o prêmio de risco de mercado é 6%. Encontre o custo do capital próprio re na nova estrutura de capital.
βU = 1,1D/E = 1,5T = 20%rf = 1%rm − rf = 6%
re = %
9.Análise do ponto críticoMédia
Um produto pode ser fabricado de duas maneiras. O método A tem custos fixos de €20 000 por ano e custo variável de €12 por unidade. O método B, mais automatizado, tem custos fixos de €24 500 por ano e custo variável de €9 por unidade. Em que volume anual Q os dois métodos custam o mesmo?
FA = €20 000vA = €12FB = €24 500vB = €9
Q = unidades
10.Análise do ponto críticoDifícil
Uma empresa vende 2 500 unidades por mês a €20 cada, com custo variável de €12 por unidade e custos fixos de €8 000 por mês. O custo variável aumenta €3 por unidade e o preço continua o mesmo. Quantas unidades Q precisam agora ser vendidas por mês para manter o mesmo lucro?
Q = 2 500p = €20v = €12 → €15F = €8 000
Q = unidades
3Soluções
1.Valor temporal do dinheiro
Resposta: EAR = 19,56 %
Valor temporal do dinheiro: o dinheiro hoje vale mais do que a mesma quantia no futuro, porque pode render juros. Com uma taxa i por período, um montante cresce para FV = PV·(1 + i)n. Uma série de pagamentos iguais (uma renda) avalia-se somando cada pagamento, o que dá as fórmulas das rendas.
Taxa por período
r/m = 0,18/12 = 0,015
Capitalize ao longo de um ano
EAR = (1 + 0,015)12 − 1 = 1,196 − 1 = 19,56%
Resposta
EAR = 19,56%
A taxa efetiva anual é sempre maior que a taxa nominal quando os juros são capitalizados mais de uma vez por ano.
2.Valor temporal do dinheiro
Resposta: FV = 113287 €
Valor temporal do dinheiro: o dinheiro hoje vale mais do que a mesma quantia no futuro, porque pode render juros. Com uma taxa i por período, um montante cresce para FV = PV·(1 + i)n. Uma série de pagamentos iguais (uma renda) avalia-se somando cada pagamento, o que dá as fórmulas das rendas.
Fator de anuidade postecipada
((1 + 0,05)15 − 1)/0,05 = 21,58
Anuidade antecipada
Cada depósito fica investido um ano a mais.
FV = 5 000·21,58·1,05 = €113 287,46
Resposta
FV = €113 287,46
3.VAL e TIR
Resposta: DPB = 3,151 anos
Período de payback: o tempo até que os fluxos de caixa acumulados recuperem o investimento inicial. Supõe-se que o caixa entra de forma uniforme durante cada ano, então a última parte é uma fração de ano. O payback simples ignora o valor do dinheiro no tempo; o payback descontado usa os fluxos de caixa descontados.
Fluxos de caixa descontados e acumulados
ano 1: 16 500/1,1 = 15 000,00 → Σ = 15 000,00
ano 2: 14 000/1,21 = 11 570,25 → Σ = 26 570,25
ano 3: 16 500/1,331 = 12 396,69 → Σ = 38 966,94
ano 4: 10 000/1,464 = 6 830,13 → Σ = 45 797,08
Fração do último ano
DPB = 3 + 1 033,06/6 830,13 = 3,151
Resposta
DPB = 3,151 anos
O payback descontado é sempre mais longo que o payback simples (2,576 anos).
4.VAL e TIR
Resposta: IRR = 43,08 %
Valor atual líquido: desconte cada fluxo de caixa até hoje com a rendibilidade exigida r e some-os: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Um projeto com NPV > 0 rende mais do que r e cria valor. A taxa interna de rendibilidade (TIR) é a taxa para a qual NPV = 0.
Enquadrar a TIR
O VAL desce quando a taxa sobe, por isso a TIR está entre uma taxa com VAL positivo e outra com VAL negativo.
NPV(40%) = 386,30
NPV(45%) = −227,15
Aproximar
A interpolação linear dá uma primeira estimativa; repeti-la (ou usar a função TIR de uma calculadora) dá a taxa exata.
IRR ≈ 40 + 5·386,30/(386,30 − (−227,15)) = 43,15%
exato: NPV(43,08%) = 0 → IRR = 43,08%
Resposta
IRR = 43,08%
5.Preço e rendimento de títulos
Resposta: P = 735,9 €
Precificação de títulos: o preço de um título é o valor presente dos seus fluxos de caixa, descontados ao rendimento até o vencimento (YTM): os cupons formam uma anuidade e o valor de face é devolvido no vencimento. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando o rendimento está acima da taxa de cupom, o título é negociado abaixo do valor de face, e vice-versa.
Por período
C = €15,00, i = 0,04, N = 14
Valor presente dos cupons
€15,00·(1 − 0,5775)/0,04 = €158,45
Valor presente do valor de face
€1 000·0,5775 = €577,48
Preço
P = €735,92
Resposta
P = €735,92
O rendimento está acima da taxa de cupom, então o título é vendido com deságio.
6.Preço e rendimento de títulos
Resposta: YTM = 2,504 %
Precificação de títulos: o preço de um título é o valor presente dos seus fluxos de caixa, descontados ao rendimento até o vencimento (YTM): os cupons formam uma anuidade e o valor de face é devolvido no vencimento. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando o rendimento está acima da taxa de cupom, o título é negociado abaixo do valor de face, e vice-versa.
Por período
C = €35,00, N = 22
Resolva numericamente
i = 1,252% por semestre
YTM
YTM = 2·1,252% = 2,504%
Resposta
YTM = 2,504%
7.CAPM e WACC
Resposta: WACC = 7,179 %
Custo de capital: o CAPM dá o retorno exigido pelos acionistas: re = rf + β·(rm − rf). O custo médio ponderado de capital combina capital próprio e dívida pelos seus valores de mercado: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), com V = E + D. Os juros são dedutíveis do imposto, daí o (1 − T).
Pesos
V = €7 000 000, E/V = 0,2857, D/V = 0,7143
WACC
WACC = 0,2857·12% + 0,7143·7%·(1 − 0,25) = 7,179%
Resposta
WACC = 7,179%
8.CAPM e WACC
Resposta: re = 15,52 %
Beta alavancado (Hamada): a dívida torna o capital próprio mais arriscado. βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E), onde βU é o beta do negócio sem dívida. Para levar um beta a outra estrutura de capital, primeiro desalavanque-o e depois realavanque-o com o novo D/E.
Beta alavancado
βL = 1,1·(1 + 0,8·1,5) = 2,42
Custo do capital próprio (CAPM)
re = 1% + 2,42·6% = 15,52%
Resposta
re = 15,52%
9.Análise do ponto crítico
Resposta: Q = 1500 unidades
Custo-volume-resultado: cada unidade vendida gera uma margem de contribuição, preço menos custo variável unitário. Resultado = Q·(p − v) − F, onde F é o custo fixo. No ponto crítico o resultado é zero, logo Q = F/(p − v).
Custos totais iguais
20 000 + 12Q = 24 500 + 9Q
Resolver para Q
Q = (24 500 − 20 000)/(12 − 9) = 1 500
Resposta
Q = 1 500 unidades
Abaixo desse volume o método A é mais barato; acima dele o método automatizado B é mais barato.
10.Análise do ponto crítico
Resposta: Q = 4000 unidades
Custo-volume-resultado: cada unidade vendida gera uma margem de contribuição, preço menos custo variável unitário. Resultado = Q·(p − v) − F, onde F é o custo fixo. No ponto crítico o resultado é zero, logo Q = F/(p − v).