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1Fórmulas e métodos
Valor temporal do dinheiro
Valor futuro
FV = PV·(1 + i)n
Valor atual
PV = FV/(1 + i)n
Vários períodos por ano
i = r/m, N = m·n
Anuidade, valor atual
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Anuidade, valor futuro
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Método
Desenhe uma linha do tempo com cada fluxo de caixa e o momento em que ocorre.
Ajuste a taxa ao período: uma taxa mensal para pagamentos mensais.
Use FV = PV·(1 + i)ⁿ para valores únicos e as fórmulas de anuidade para pagamentos iguais.
Verifique o sinal e a ordem de grandeza da resposta.
VAL e TIR
Valor atual líquido
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Fluxos iguais
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Taxa interna de retorno
o r em que NPV = 0
Decisão
aceitar se NPV > 0 (ou IRR > retorno exigido)
Método
Liste todos os fluxos de caixa com o seu ano; o investimento no ano 0 é negativo.
Desconte cada fluxo de caixa: CFt/(1 + r)t.
Some-os para obter o VPL. Positivo significa que o projeto rende mais que r.
Para a TIR, encontre a taxa que zera o VPL por tentativa ou interpolação.
Preço e rendimento de títulos
Preço do título
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Semestral
C/2, y/2 e 2n períodos
Rendimento corrente
C/P
Preço e rendimento
rendimento sobe → preço cai
Método
Encontre o cupom por período e o rendimento por período.
Preço = valor presente dos cupons (uma anuidade) + valor presente do valor de face.
Para cupons semestrais use metade do cupom, metade do rendimento e o dobro de períodos.
Verificação: se o rendimento está acima da taxa de cupom, o preço fica abaixo do valor de face.
CAPM e WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Valor da empresa
V = E + D
Análise do ponto crítico
Margem de contribuição
CM = p − v
Quantidade crítica
QBE = FC/(p − v)
Lucro pretendido
Q = (FC + profit)/(p − v)
Lucro
π = (p − v)·Q − FC
Margem de segurança
(Q − QBE)/Q
2Exercícios
1.Valor temporal do dinheiroMédia
Investe €12 000 a uma taxa nominal de 5 % ao ano, capitalizada trimestralmente. Calcule o valor FV do investimento ao fim de 2 anos.
PV = €12 0005% / 4n = 2
FV = €
2.Valor temporal do dinheiroDifícil
Um empréstimo de €10 000 é pago em prestações mensais iguais ao longo de 6 anos a 3% ao ano, capitalizados mensalmente. Quanto de juros I é pago no total durante a vida do empréstimo?
P = €10 0003% / 12N = 72
I = €
3.VAL e TIRMédia
Uma máquina custa €50 000 hoje. Ela gera €8 500 no final de cada ano durante 8 anos e depois pode ser vendida por €7 500. O custo de capital é 12%. Encontre o valor presente líquido NPV.
C0 = €50 000CF = €8 500S = €7 500n = 8r = 12%
NPV = €
4.VAL e TIRDifícil
Um projeto custa €40 000 e devolve €21 000, €21 000, €23 000 no fim dos anos 1 a 3. Calcule a sua taxa interna de rendibilidade IRR em percentagem.
CF0 = −40 000CF1 = 21 000CF2 = 21 000CF3 = 23 000
IRR = %
5.Preço e rendimento de títulosMédia
Um título com valor de face de €1 000 paga um cupom anual de 5% em dois pagamentos semestrais e vence em 4 anos. O rendimento até o vencimento é de 4% ao ano. Calcule o preço P do título.
F = €1 000cupom = 5%YTM = 4%n = 4
P = €
6.Preço e rendimento de títulosDifícil
Um título com 12 anos até o vencimento (valor de face €1 000, cupom anual 8%) é vendido a €1 079. O emissor pode resgatá-lo antecipadamente daqui a 4 anos a um preço de resgate de €1 080. Encontre o rendimento até o resgate antecipado YTC em porcentagem.
F = €1 000cupom = 8%P = €1 079preço de resgate = €1 080resgate em 4 anos
YTC = %
7.CAPM e WACCMédia
Uma empresa tem capital próprio no valor de €10 000 000 e dívida no valor de €1 000 000. Seu WACC é 12,1%, seu custo da dívida antes dos impostos é 4,5% e a alíquota de imposto é 30%. Encontre o custo do capital próprio re.
Uma empresa tem 4 000 000 ações a €50,00 cada e 10 000 títulos negociados a €960 cada. O custo da dívida antes dos impostos é 4,5% e a alíquota de imposto é 28%. O beta da ação é 1,3, a taxa livre de risco é 4% e o retorno do mercado é 8%. Calcule o WACC.
β = 1,3rf = 4%rm = 8%rd = 4,5%T = 28%
WACC = %
9.Análise do ponto críticoMédia
Um produto é vendido a €20 com custo variável de €15 por unidade. Os custos fixos são €2 500 por mês e o lucro é tributado a 20%. Quantas unidades Q devem ser vendidas por mês para obter €1 500 após os impostos?
p = €20v = €15F = €2 500T = 20%lucro após os impostos = €1 500
Q = unidades
10.Análise do ponto críticoDifícil
Uma empresa vende 2 400 unidades por mês a €23 cada, com custo variável de €20 por unidade e custos fixos de €3 600 por mês. O custo variável aumenta €1 por unidade e o preço continua o mesmo. Quantas unidades Q precisam agora ser vendidas por mês para manter o mesmo lucro?
Q = 2 400p = €23v = €20 → €21F = €3 600
Q = unidades
3Soluções
1.Valor temporal do dinheiro
Resposta: FV = 13254 €
Valor temporal do dinheiro: o dinheiro hoje vale mais do que a mesma quantia no futuro, porque pode render juros. Com uma taxa i por período, um montante cresce para FV = PV·(1 + i)n. Uma série de pagamentos iguais (uma renda) avalia-se somando cada pagamento, o que dá as fórmulas das rendas.
Valor temporal do dinheiro: o dinheiro hoje vale mais do que a mesma quantia no futuro, porque pode render juros. Com uma taxa i por período, um montante cresce para FV = PV·(1 + i)n. Uma série de pagamentos iguais (uma renda) avalia-se somando cada pagamento, o que dá as fórmulas das rendas.
Prestação mensal
i = 0,0025, N = 72
A = 10 000·0,0025/(1 − (1 + 0,0025)−72) = €151,94
Juros totais
I = N·A − P = 72·151,9 − 10 000 = €939,45
Resposta
I = €939,45
3.VAL e TIR
Resposta: NPV = −4746 €
Valor atual líquido: desconte cada fluxo de caixa até hoje com a rendibilidade exigida r e some-os: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Um projeto com NPV > 0 rende mais do que r e cria valor. A taxa interna de rendibilidade (TIR) é a taxa para a qual NPV = 0.
Valor presente dos fluxos de caixa anuais
8 500·4,968 = 42 224,94
Valor presente do valor residual
7 500/2,476 = 3 029,12
NPV
NPV = −50 000 + 42 224,94 + 3 029,12 = −€4 745,94
Resposta
NPV = −€4 745,94
4.VAL e TIR
Resposta: IRR = 28,33 %
Valor atual líquido: desconte cada fluxo de caixa até hoje com a rendibilidade exigida r e some-os: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Um projeto com NPV > 0 rende mais do que r e cria valor. A taxa interna de rendibilidade (TIR) é a taxa para a qual NPV = 0.
Enquadrar a TIR
O VAL desce quando a taxa sobe, por isso a TIR está entre uma taxa com VAL positivo e outra com VAL negativo.
NPV(25%) = 2 016,00
NPV(30%) = −951,30
Aproximar
A interpolação linear dá uma primeira estimativa; repeti-la (ou usar a função TIR de uma calculadora) dá a taxa exata.
Precificação de títulos: o preço de um título é o valor presente dos seus fluxos de caixa, descontados ao rendimento até o vencimento (YTM): os cupons formam uma anuidade e o valor de face é devolvido no vencimento. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando o rendimento está acima da taxa de cupom, o título é negociado abaixo do valor de face, e vice-versa.
Por período
C = €25,00, i = 0,02, N = 8
Valor presente dos cupons
€25,00·(1 − 0,8535)/0,02 = €183,14
Valor presente do valor de face
€1 000·0,8535 = €853,49
Preço
P = €1 036,63
Resposta
P = €1 036,63
O rendimento está abaixo da taxa de cupom, então o título é vendido com ágio.
6.Preço e rendimento de títulos
Resposta: YTC = 7,435 %
Precificação de títulos: o preço de um título é o valor presente dos seus fluxos de caixa, descontados ao rendimento até o vencimento (YTM): os cupons formam uma anuidade e o valor de face é devolvido no vencimento. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando o rendimento está acima da taxa de cupom, o título é negociado abaixo do valor de face, e vice-versa.
Equação do rendimento
1079 = 80·(1 − (1 + y)−4)/y + 1080/(1 + y)4
Resolva numericamente
y = 7%: €1 094,90
y = 8%: €1 058,80
YTC = 7,435%
Resposta
YTC = 7,435%
O rendimento até o vencimento é 7,005%. Investidores em um título com ágio esperam que ele seja resgatado antecipadamente, então o rendimento até o resgate, menor, é o mais realista.
7.CAPM e WACC
Resposta: re = 12,99 %
Custo de capital: o CAPM dá o retorno exigido pelos acionistas: re = rf + β·(rm − rf). O custo médio ponderado de capital combina capital próprio e dívida pelos seus valores de mercado: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), com V = E + D. Os juros são dedutíveis do imposto, daí o (1 − T).
Pesos
V = €11 000 000, E/V = 0,9091, D/V = 0,09091
Parte da dívida no WACC
0,09091·4,5%·(1 − 0,3) = 0,2864%
Custo do capital próprio
re = (12,1% − 0,2864%)/0,9091 = 12,99%
Resposta
re = 12,99%
8.CAPM e WACC
Resposta: WACC = 8,927 %
Custo de capital: o CAPM dá o retorno exigido pelos acionistas: re = rf + β·(rm − rf). O custo médio ponderado de capital combina capital próprio e dívida pelos seus valores de mercado: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), com V = E + D. Os juros são dedutíveis do imposto, daí o (1 − T).
Custo-volume-resultado: cada unidade vendida gera uma margem de contribuição, preço menos custo variável unitário. Resultado = Q·(p − v) − F, onde F é o custo fixo. No ponto crítico o resultado é zero, logo Q = F/(p − v).
Lucro antes dos impostos necessário
1 500/(1 − 0,2) = €1 875
Unidades necessárias
Q = (2 500 + 1 875)/5 = 875
Resposta
Q = 875 unidades
10.Análise do ponto crítico
Resposta: Q = 3600 unidades
Custo-volume-resultado: cada unidade vendida gera uma margem de contribuição, preço menos custo variável unitário. Resultado = Q·(p − v) − F, onde F é o custo fixo. No ponto crítico o resultado é zero, logo Q = F/(p − v).