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1Fórmulas e métodos
Valor temporal do dinheiro
Valor futuro
FV = PV·(1 + i)n
Valor atual
PV = FV/(1 + i)n
Vários períodos por ano
i = r/m, N = m·n
Anuidade, valor atual
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Anuidade, valor futuro
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Método
Desenhe uma linha do tempo com cada fluxo de caixa e o momento em que ocorre.
Ajuste a taxa ao período: uma taxa mensal para pagamentos mensais.
Use FV = PV·(1 + i)ⁿ para valores únicos e as fórmulas de anuidade para pagamentos iguais.
Verifique o sinal e a ordem de grandeza da resposta.
VAL e TIR
Valor atual líquido
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Fluxos iguais
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Taxa interna de retorno
o r em que NPV = 0
Decisão
aceitar se NPV > 0 (ou IRR > retorno exigido)
Método
Liste todos os fluxos de caixa com o seu ano; o investimento no ano 0 é negativo.
Desconte cada fluxo de caixa: CFt/(1 + r)t.
Some-os para obter o VPL. Positivo significa que o projeto rende mais que r.
Para a TIR, encontre a taxa que zera o VPL por tentativa ou interpolação.
Preço e rendimento de títulos
Preço do título
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Semestral
C/2, y/2 e 2n períodos
Rendimento corrente
C/P
Preço e rendimento
rendimento sobe → preço cai
Método
Encontre o cupom por período e o rendimento por período.
Preço = valor presente dos cupons (uma anuidade) + valor presente do valor de face.
Para cupons semestrais use metade do cupom, metade do rendimento e o dobro de períodos.
Verificação: se o rendimento está acima da taxa de cupom, o preço fica abaixo do valor de face.
CAPM e WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Valor da empresa
V = E + D
Análise do ponto crítico
Margem de contribuição
CM = p − v
Quantidade crítica
QBE = FC/(p − v)
Lucro pretendido
Q = (FC + profit)/(p − v)
Lucro
π = (p − v)·Q − FC
Margem de segurança
(Q − QBE)/Q
2Exercícios
1.Valor temporal do dinheiroMédia
Um cartão de crédito cobra uma taxa de juros nominal de 16% ao ano, capitalizada semestralmente. Encontre a taxa efetiva anual EAR em porcentagem.
r = 16%m = 2
EAR = %
2.Valor temporal do dinheiroDifícil
Um empréstimo de €250 000 é pago em prestações mensais iguais durante 30 anos. A taxa de juro é de 6 % ao ano, capitalizada mensalmente. Calcule a prestação mensal A.
P = €250 0006% / 12N = 360
A = €
3.VAL e TIRMédia
Um investimento de €60 000 gera estes fluxos no fim dos anos 1 a 4: €17 000, €16 000, €24 000, €20 000. O custo do capital é de 7,000000000000001 %. Calcule o valor atual líquido NPV.
O projeto A custa €20 000 e retorna €11 000, €8 000, €4 500 no final dos anos 1 a 3. O projeto B custa €30 000 e retorna €8 000, €11 500, €16 500. Encontre a taxa de Fisher (ponto de interseção) r* na qual os dois projetos têm o mesmo VPL, em porcentagem.
Um título com valor de face de €1 000 paga um cupom anual de 8% em dois pagamentos semestrais e vence em 8 anos. O rendimento até o vencimento é de 3,5% ao ano. Calcule o preço P do título.
F = €1 000cupom = 8%YTM = 3,5%n = 8
P = €
6.Preço e rendimento de títulosDifícil
Um título com valor de face de €1 000 paga um cupom anual de 7% e vence em 5 anos. O rendimento até o vencimento é 4%. Encontre a duration de Macaulay D em anos.
F = €1 000cupom = 7%n = 5YTM = 4%
D = anos
7.CAPM e WACCMédia
Uma empresa tem capital próprio de €5 000 000 e dívida de €2 000 000. Seu custo do capital próprio é 13%, seu custo da dívida antes dos impostos é 4% e a alíquota de imposto é 25%. Calcule o WACC.
Uma empresa tem 1 000 000 ações a €23,00 cada e 40 000 títulos negociados a €960 cada. O custo da dívida antes dos impostos é 6% e a alíquota de imposto é 28%. O beta da ação é 1,3, a taxa livre de risco é 4% e o retorno do mercado é 11%. Calcule o WACC.
β = 1,3rf = 4%rm = 11%rd = 6%T = 28%
WACC = %
9.Análise do ponto críticoMédia
Um produto vende-se a €8 por unidade com um custo variável de €6 por unidade. Os custos fixos são de €8 000 por mês. Quantas unidades Q é preciso vender por mês para ter um lucro de €6 000?
F = €8 000p = €8v = €6lucro = €6 000
Q = unidades
10.Análise do ponto críticoDifícil
Um produto vende-se a €11 por unidade, com custo variável de €6 por unidade e custos fixos de €2 500 por ano. As vendas orçamentadas são de 580 unidades. Calcule a margem de segurança MS em percentagem das vendas orçamentadas.
F = €2 500p = €11v = €6orçamento = 580
MS = %
3Soluções
1.Valor temporal do dinheiro
Resposta: EAR = 16,64 %
Valor temporal do dinheiro: o dinheiro hoje vale mais do que a mesma quantia no futuro, porque pode render juros. Com uma taxa i por período, um montante cresce para FV = PV·(1 + i)n. Uma série de pagamentos iguais (uma renda) avalia-se somando cada pagamento, o que dá as fórmulas das rendas.
Taxa por período
r/m = 0,16/2 = 0,08
Capitalize ao longo de um ano
EAR = (1 + 0,08)2 − 1 = 1,166 − 1 = 16,64%
Resposta
EAR = 16,64%
A taxa efetiva anual é sempre maior que a taxa nominal quando os juros são capitalizados mais de uma vez por ano.
2.Valor temporal do dinheiro
Resposta: A = 1499 €
Valor temporal do dinheiro: o dinheiro hoje vale mais do que a mesma quantia no futuro, porque pode render juros. Com uma taxa i por período, um montante cresce para FV = PV·(1 + i)n. Uma série de pagamentos iguais (uma renda) avalia-se somando cada pagamento, o que dá as fórmulas das rendas.
Taxa mensal e número de prestações
i = 0,06/12 = 0,005
N = 12·30 = 360
Prestação
O valor atual de N pagamentos iguais A é A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Iguale-o ao empréstimo e resolva em ordem a A.
(1 + i)−N = 0,166
A = 250 000·0,005/(1 − 0,166) = €1 498,88
Resposta
A = €1 498,88
3.VAL e TIR
Resposta: NPV = 4712 €
Valor atual líquido: desconte cada fluxo de caixa até hoje com a rendibilidade exigida r e some-os: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Um projeto com NPV > 0 rende mais do que r e cria valor. A taxa interna de rendibilidade (TIR) é a taxa para a qual NPV = 0.
Valor atual de cada fluxo
CF0 = −60 000
CF1/(1 + 0,07)1 = 17 000/1,07 = 15 887,85
CF2/(1 + 0,07)2 = 16 000/1,145 = 13 975,02
CF3/(1 + 0,07)3 = 24 000/1,225 = 19 591,15
CF4/(1 + 0,07)4 = 20 000/1,311 = 15 257,90
Somar
NPV = €4 711,92
Resposta
NPV = €4 711,92
O VAL é positivo, logo o projeto rende mais do que a rendibilidade exigida.
4.VAL e TIR
Resposta: r* = 7,16 %
Taxa de interseção (taxa de Fisher): a taxa de desconto na qual dois projetos têm o mesmo VPL. Ela é a TIR da diferença entre seus fluxos de caixa (B − A). Abaixo dela, o projeto com fluxos de caixa maiores e mais tardios tem o VPL mais alto; acima dela, o outro vence.
Diferença dos fluxos de caixa
ΔCF0 = −30 000 − (−20 000) = −10 000
ΔCF1 = 8 000 − 11 000 = −3 000
ΔCF2 = 11 500 − 8 000 = 3 500
ΔCF3 = 16 500 − 4 500 = 12 000
TIR da diferença
NPVΔ(7%) = 48,87
NPVΔ(8%) = −251,11
r* = 7,16%
Resposta
r* = 7,16%
Verificação: a 7,16% os dois VPLs valem €888,46.
5.Preço e rendimento de títulos
Resposta: P = 1312 €
Precificação de títulos: o preço de um título é o valor presente dos seus fluxos de caixa, descontados ao rendimento até o vencimento (YTM): os cupons formam uma anuidade e o valor de face é devolvido no vencimento. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando o rendimento está acima da taxa de cupom, o título é negociado abaixo do valor de face, e vice-versa.
Por período
C = €40,00, i = 0,0175, N = 16
Valor presente dos cupons
€40,00·(1 − 0,7576)/0,0175 = €554,02
Valor presente do valor de face
€1 000·0,7576 = €757,62
Preço
P = €1 311,64
Resposta
P = €1 311,64
O rendimento está abaixo da taxa de cupom, então o título é vendido com ágio.
6.Preço e rendimento de títulos
Resposta: D = 4,429 anos
Duration: a duration de Macaulay é o prazo médio ponderado em que um título paga seus fluxos de caixa, usando como pesos os valores presentes dos fluxos de caixa: D = Σ t·PVₜ/P. A duration modificada D/(1 + y) estima a variação percentual do preço para uma pequena variação do rendimento: %ΔP ≈ −Dmod·Δy.
Valor atual de cada fluxo
t = 1: 70/1,04 = 67,31, t·PV = 67,31
t = 2: 70/1,082 = 64,72, t·PV = 129,44
t = 3: 70/1,125 = 62,23, t·PV = 186,69
t = 4: 70/1,17 = 59,84, t·PV = 239,35
t = 5: 1070/1,217 = 879,46, t·PV = 4 397,31
Duration
P = 1 133,55
D = 5 020,09/1 133,55 = 4,429
Resposta
D = 4,429 anos
7.CAPM e WACC
Resposta: WACC = 10,14 %
Custo de capital: o CAPM dá o retorno exigido pelos acionistas: re = rf + β·(rm − rf). O custo médio ponderado de capital combina capital próprio e dívida pelos seus valores de mercado: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), com V = E + D. Os juros são dedutíveis do imposto, daí o (1 − T).
Pesos
V = €7 000 000, E/V = 0,7143, D/V = 0,2857
WACC
WACC = 0,7143·13% + 0,2857·4%·(1 − 0,25) = 10,14%
Resposta
WACC = 10,14%
8.CAPM e WACC
Resposta: WACC = 7,609 %
Custo de capital: o CAPM dá o retorno exigido pelos acionistas: re = rf + β·(rm − rf). O custo médio ponderado de capital combina capital próprio e dívida pelos seus valores de mercado: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), com V = E + D. Os juros são dedutíveis do imposto, daí o (1 − T).
Custo-volume-resultado: cada unidade vendida gera uma margem de contribuição, preço menos custo variável unitário. Resultado = Q·(p − v) − F, onde F é o custo fixo. No ponto crítico o resultado é zero, logo Q = F/(p − v).
Custo-volume-resultado: cada unidade vendida gera uma margem de contribuição, preço menos custo variável unitário. Resultado = Q·(p − v) − F, onde F é o custo fixo. No ponto crítico o resultado é zero, logo Q = F/(p − v).