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1Fórmulas e métodos
Valor temporal do dinheiro
Valor futuro
FV = PV·(1 + i)n
Valor atual
PV = FV/(1 + i)n
Vários períodos por ano
i = r/m, N = m·n
Anuidade, valor atual
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Anuidade, valor futuro
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Método
Desenhe uma linha do tempo com cada fluxo de caixa e o momento em que ocorre.
Ajuste a taxa ao período: uma taxa mensal para pagamentos mensais.
Use FV = PV·(1 + i)ⁿ para valores únicos e as fórmulas de anuidade para pagamentos iguais.
Verifique o sinal e a ordem de grandeza da resposta.
VAL e TIR
Valor atual líquido
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Fluxos iguais
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Taxa interna de retorno
o r em que NPV = 0
Decisão
aceitar se NPV > 0 (ou IRR > retorno exigido)
Método
Liste todos os fluxos de caixa com o seu ano; o investimento no ano 0 é negativo.
Desconte cada fluxo de caixa: CFt/(1 + r)t.
Some-os para obter o VPL. Positivo significa que o projeto rende mais que r.
Para a TIR, encontre a taxa que zera o VPL por tentativa ou interpolação.
Preço e rendimento de títulos
Preço do título
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Semestral
C/2, y/2 e 2n períodos
Rendimento corrente
C/P
Preço e rendimento
rendimento sobe → preço cai
Método
Encontre o cupom por período e o rendimento por período.
Preço = valor presente dos cupons (uma anuidade) + valor presente do valor de face.
Para cupons semestrais use metade do cupom, metade do rendimento e o dobro de períodos.
Verificação: se o rendimento está acima da taxa de cupom, o preço fica abaixo do valor de face.
CAPM e WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Valor da empresa
V = E + D
Análise do ponto crítico
Margem de contribuição
CM = p − v
Quantidade crítica
QBE = FC/(p − v)
Lucro pretendido
Q = (FC + profit)/(p − v)
Lucro
π = (p − v)·Q − FC
Margem de segurança
(Q − QBE)/Q
2Exercícios
1.Valor temporal do dinheiroMédia
Uma anuidade paga €2 000 no final de cada ano durante 13 anos. A taxa de juros é 7% ao ano. Encontre o valor presente PV da anuidade.
A = €2 000i = 7%n = 13
PV = €
2.Valor temporal do dinheiroDifícil
Um empréstimo de €25 000 é pago em prestações mensais iguais durante 3 anos. A taxa de juro é de 7,2 % ao ano, capitalizada mensalmente. Calcule a prestação mensal A.
P = €25 0007,2% / 12N = 36
A = €
3.VAL e TIRMédia
Um investimento de €30 000 gera estes fluxos no fim dos anos 1 a 3: €14 000, €14 000, €8 000. O custo do capital é de 7,000000000000001 %. Calcule o valor atual líquido NPV.
Um investimento de €25 000 retorna €4 000 no final de cada ano durante 10 anos. Encontre sua taxa interna de retorno IRR em porcentagem.
C0 = €25 000CF = €4 000n = 10
IRR = %
5.Preço e rendimento de títulosMédia
Um título com valor de face de €1 000 paga um cupom anual de 7% em dois pagamentos semestrais e vence em 9 anos. O rendimento até o vencimento é de 6% ao ano. Calcule o preço P do título.
F = €1 000cupom = 7%YTM = 6%n = 9
P = €
6.Preço e rendimento de títulosDifícil
Um título com valor de face de €1 000 paga um cupom anual de 4% em dois pagamentos semestrais e vence em 5 anos. Ele é vendido a €956. Encontre seu rendimento até o vencimento YTM como taxa anual (o dobro do rendimento semestral), em porcentagem.
F = €1 000cupom = 4% (2×)n = 5P = €956
YTM = %
7.CAPM e WACCMédia
Uma empresa tem capital próprio de €3 000 000 e dívida de €4 000 000. Seu custo do capital próprio é 12%, seu custo da dívida antes dos impostos é 6% e a alíquota de imposto é 25%. Calcule o WACC.
O negócio de uma empresa tem beta desalavancado (dos ativos) de 0,6. Ela planeja uma relação dívida/capital próprio de 1. A alíquota de imposto é 30%, a taxa livre de risco é 4% e o prêmio de risco de mercado é 6%. Encontre o custo do capital próprio re na nova estrutura de capital.
βU = 0,6D/E = 1T = 30%rf = 4%rm − rf = 6%
re = %
9.Análise do ponto críticoMédia
Um produto pode ser fabricado de duas maneiras. O método A tem custos fixos de €25 000 por ano e custo variável de €18 por unidade. O método B, mais automatizado, tem custos fixos de €31 000 por ano e custo variável de €14 por unidade. Em que volume anual Q os dois métodos custam o mesmo?
FA = €25 000vA = €18FB = €31 000vB = €14
Q = unidades
10.Análise do ponto críticoDifícil
Um produto vende-se a €8 por unidade, com custo variável de €6 por unidade e custos fixos de €8 000 por ano. As vendas orçamentadas são de 7 200 unidades. Calcule a margem de segurança MS em percentagem das vendas orçamentadas.
F = €8 000p = €8v = €6orçamento = 7 200
MS = %
3Soluções
1.Valor temporal do dinheiro
Resposta: PV = 16715 €
Valor temporal do dinheiro: o dinheiro hoje vale mais do que a mesma quantia no futuro, porque pode render juros. Com uma taxa i por período, um montante cresce para FV = PV·(1 + i)n. Uma série de pagamentos iguais (uma renda) avalia-se somando cada pagamento, o que dá as fórmulas das rendas.
Fator de anuidade
(1 − (1 + i)−n)/i = (1 − 0,415)/0,07 = 8,358
Valor atual
PV = 2 000·8,358 = €16 715,30
Resposta
PV = €16 715,30
2.Valor temporal do dinheiro
Resposta: A = 774,2 €
Valor temporal do dinheiro: o dinheiro hoje vale mais do que a mesma quantia no futuro, porque pode render juros. Com uma taxa i por período, um montante cresce para FV = PV·(1 + i)n. Uma série de pagamentos iguais (uma renda) avalia-se somando cada pagamento, o que dá as fórmulas das rendas.
Taxa mensal e número de prestações
i = 0,07200000000000001/12 = 0,006
N = 12·3 = 36
Prestação
O valor atual de N pagamentos iguais A é A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Iguale-o ao empréstimo e resolva em ordem a A.
(1 + i)−N = 0,8063
A = 25 000·0,006/(1 − 0,8063) = €774,22
Resposta
A = €774,22
3.VAL e TIR
Resposta: NPV = 1843 €
Valor atual líquido: desconte cada fluxo de caixa até hoje com a rendibilidade exigida r e some-os: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Um projeto com NPV > 0 rende mais do que r e cria valor. A taxa interna de rendibilidade (TIR) é a taxa para a qual NPV = 0.
Valor atual de cada fluxo
CF0 = −30 000
CF1/(1 + 0,07)1 = 14 000/1,07 = 13 084,11
CF2/(1 + 0,07)2 = 14 000/1,145 = 12 228,14
CF3/(1 + 0,07)3 = 8 000/1,225 = 6 530,38
Somar
NPV = €1 842,64
Resposta
NPV = €1 842,64
O VAL é positivo, logo o projeto rende mais do que a rendibilidade exigida.
4.VAL e TIR
Resposta: IRR = 9,606 %
Valor atual líquido: desconte cada fluxo de caixa até hoje com a rendibilidade exigida r e some-os: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Um projeto com NPV > 0 rende mais do que r e cria valor. A taxa interna de rendibilidade (TIR) é a taxa para a qual NPV = 0.
Fator de anuidade necessário
(1 − (1 + i)−10)/i = 25 000/4 000 = 6,25
Resolver para a taxa
O fator de anuidade diminui quando a taxa aumenta; delimite a taxa e vá estreitando o intervalo.
i = 9%: 6,418
i = 10%: 6,145
IRR = 9,606%
Resposta
IRR = 9,606%
5.Preço e rendimento de títulos
Resposta: P = 1069 €
Precificação de títulos: o preço de um título é o valor presente dos seus fluxos de caixa, descontados ao rendimento até o vencimento (YTM): os cupons formam uma anuidade e o valor de face é devolvido no vencimento. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando o rendimento está acima da taxa de cupom, o título é negociado abaixo do valor de face, e vice-versa.
Por período
C = €35,00, i = 0,03, N = 18
Valor presente dos cupons
€35,00·(1 − 0,5874)/0,03 = €481,37
Valor presente do valor de face
€1 000·0,5874 = €587,39
Preço
P = €1 068,77
Resposta
P = €1 068,77
O rendimento está abaixo da taxa de cupom, então o título é vendido com ágio.
6.Preço e rendimento de títulos
Resposta: YTM = 5,006 %
Precificação de títulos: o preço de um título é o valor presente dos seus fluxos de caixa, descontados ao rendimento até o vencimento (YTM): os cupons formam uma anuidade e o valor de face é devolvido no vencimento. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando o rendimento está acima da taxa de cupom, o título é negociado abaixo do valor de face, e vice-versa.
Por período
C = €20,00, N = 10
Resolva numericamente
i = 2,503% por semestre
YTM
YTM = 2·2,503% = 5,006%
Resposta
YTM = 5,006%
7.CAPM e WACC
Resposta: WACC = 7,714 %
Custo de capital: o CAPM dá o retorno exigido pelos acionistas: re = rf + β·(rm − rf). O custo médio ponderado de capital combina capital próprio e dívida pelos seus valores de mercado: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), com V = E + D. Os juros são dedutíveis do imposto, daí o (1 − T).
Pesos
V = €7 000 000, E/V = 0,4286, D/V = 0,5714
WACC
WACC = 0,4286·12% + 0,5714·6%·(1 − 0,25) = 7,714%
Resposta
WACC = 7,714%
8.CAPM e WACC
Resposta: re = 10,12 %
Beta alavancado (Hamada): a dívida torna o capital próprio mais arriscado. βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E), onde βU é o beta do negócio sem dívida. Para levar um beta a outra estrutura de capital, primeiro desalavanque-o e depois realavanque-o com o novo D/E.
Beta alavancado
βL = 0,6·(1 + 0,7·1) = 1,02
Custo do capital próprio (CAPM)
re = 4% + 1,02·6% = 10,12%
Resposta
re = 10,12%
9.Análise do ponto crítico
Resposta: Q = 1500 unidades
Custo-volume-resultado: cada unidade vendida gera uma margem de contribuição, preço menos custo variável unitário. Resultado = Q·(p − v) − F, onde F é o custo fixo. No ponto crítico o resultado é zero, logo Q = F/(p − v).
Custos totais iguais
25 000 + 18Q = 31 000 + 14Q
Resolver para Q
Q = (31 000 − 25 000)/(18 − 14) = 1 500
Resposta
Q = 1 500 unidades
Abaixo desse volume o método A é mais barato; acima dele o método automatizado B é mais barato.
10.Análise do ponto crítico
Resposta: MS = 44,44 %
Custo-volume-resultado: cada unidade vendida gera uma margem de contribuição, preço menos custo variável unitário. Resultado = Q·(p − v) − F, onde F é o custo fixo. No ponto crítico o resultado é zero, logo Q = F/(p − v).