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1Fórmulas e métodos
Valor temporal do dinheiro
Valor futuro
FV = PV·(1 + i)n
Valor atual
PV = FV/(1 + i)n
Vários períodos por ano
i = r/m, N = m·n
Anuidade, valor atual
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Anuidade, valor futuro
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Método
Desenhe uma linha do tempo com cada fluxo de caixa e o momento em que ocorre.
Ajuste a taxa ao período: uma taxa mensal para pagamentos mensais.
Use FV = PV·(1 + i)ⁿ para valores únicos e as fórmulas de anuidade para pagamentos iguais.
Verifique o sinal e a ordem de grandeza da resposta.
VAL e TIR
Valor atual líquido
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Fluxos iguais
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Taxa interna de retorno
o r em que NPV = 0
Decisão
aceitar se NPV > 0 (ou IRR > retorno exigido)
Método
Liste todos os fluxos de caixa com o seu ano; o investimento no ano 0 é negativo.
Desconte cada fluxo de caixa: CFt/(1 + r)t.
Some-os para obter o VPL. Positivo significa que o projeto rende mais que r.
Para a TIR, encontre a taxa que zera o VPL por tentativa ou interpolação.
Preço e rendimento de títulos
Preço do título
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Semestral
C/2, y/2 e 2n períodos
Rendimento corrente
C/P
Preço e rendimento
rendimento sobe → preço cai
Método
Encontre o cupom por período e o rendimento por período.
Preço = valor presente dos cupons (uma anuidade) + valor presente do valor de face.
Para cupons semestrais use metade do cupom, metade do rendimento e o dobro de períodos.
Verificação: se o rendimento está acima da taxa de cupom, o preço fica abaixo do valor de face.
CAPM e WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Valor da empresa
V = E + D
Análise do ponto crítico
Margem de contribuição
CM = p − v
Quantidade crítica
QBE = FC/(p − v)
Lucro pretendido
Q = (FC + profit)/(p − v)
Lucro
π = (p − v)·Q − FC
Margem de segurança
(Q − QBE)/Q
2Exercícios
1.Valor temporal do dinheiroMédia
Uma anuidade paga €1 000 no final de cada ano durante 15 anos. A taxa de juros é 5% ao ano. Encontre o valor presente PV da anuidade.
A = €1 000i = 5%n = 15
PV = €
2.Valor temporal do dinheiroDifícil
Um empréstimo de €250 000 é pago em prestações mensais iguais durante 30 anos. A taxa de juro é de 4,2 % ao ano, capitalizada mensalmente. Calcule a prestação mensal A.
P = €250 0004,2% / 12N = 360
A = €
3.VAL e TIRMédia
Um investimento de €60 000 gera estes fluxos no fim dos anos 1 a 3: €30 000, €25 000, €28 000. O custo do capital é de 15 %. Calcule o valor atual líquido NPV.
Um projeto custa €10 000 e devolve €5 500, €7 000 no fim dos anos 1 a 2. Calcule a sua taxa interna de rendibilidade IRR em percentagem.
CF0 = −10 000CF1 = 5 500CF2 = 7 000
IRR = %
5.Preço e rendimento de títulosMédia
Um título com valor de face de €1 000 vence em 5 anos e paga cupons anuais. Ele é vendido a €1 084 quando o rendimento até o vencimento é 6%. Encontre a taxa de cupom c em porcentagem.
F = €1 000n = 5P = €1 084YTM = 6%
c = %
6.Preço e rendimento de títulosDifícil
Um título com valor de face de €1 000 e cupom anual de 4% vence em 9 anos e é vendido por €835. Calcule seu rendimento até o vencimento YTM em porcentagem.
F = €1 000cupom = 4%n = 9P = €835
YTM = %
7.CAPM e WACCMédia
Uma ação com beta de 1,6 tem retorno exigido de 11,1%. A taxa livre de risco é 1,5%. Que retorno esperado do mercado rm o CAPM implica?
β = 1,6re = 11,1%rf = 1,5%
rm = %
8.CAPM e WACCDifícil
Uma empresa tem 2 500 000 ações a €29,50 cada e 5 000 títulos negociados a €980 cada. O custo da dívida antes dos impostos é 4% e a alíquota de imposto é 30%. O beta da ação é 1,8, a taxa livre de risco é 2,5% e o retorno do mercado é 7%. Calcule o WACC.
β = 1,8rf = 2,5%rm = 7%rd = 4%T = 30%
WACC = %
9.Análise do ponto críticoMédia
Um produto é vendido a €28 com custo variável de €20 por unidade. Os custos fixos são €40 000 por mês e o lucro é tributado a 25%. Quantas unidades Q devem ser vendidas por mês para obter €12 000 após os impostos?
p = €28v = €20F = €40 000T = 25%lucro após os impostos = €12 000
Q = unidades
10.Análise do ponto críticoDifícil
Um produto vende-se a €35 por unidade, com custo variável de €15 por unidade e custos fixos de €80 000 por ano. As vendas orçamentadas são de 5 200 unidades. Calcule a margem de segurança MS em percentagem das vendas orçamentadas.
F = €80 000p = €35v = €15orçamento = 5 200
MS = %
3Soluções
1.Valor temporal do dinheiro
Resposta: PV = 10380 €
Valor temporal do dinheiro: o dinheiro hoje vale mais do que a mesma quantia no futuro, porque pode render juros. Com uma taxa i por período, um montante cresce para FV = PV·(1 + i)n. Uma série de pagamentos iguais (uma renda) avalia-se somando cada pagamento, o que dá as fórmulas das rendas.
Fator de anuidade
(1 − (1 + i)−n)/i = (1 − 0,481)/0,05 = 10,38
Valor atual
PV = 1 000·10,38 = €10 379,66
Resposta
PV = €10 379,66
2.Valor temporal do dinheiro
Resposta: A = 1223 €
Valor temporal do dinheiro: o dinheiro hoje vale mais do que a mesma quantia no futuro, porque pode render juros. Com uma taxa i por período, um montante cresce para FV = PV·(1 + i)n. Uma série de pagamentos iguais (uma renda) avalia-se somando cada pagamento, o que dá as fórmulas das rendas.
Taxa mensal e número de prestações
i = 0,042/12 = 0,0035
N = 12·30 = 360
Prestação
O valor atual de N pagamentos iguais A é A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Iguale-o ao empréstimo e resolva em ordem a A.
(1 + i)−N = 0,2843
A = 250 000·0,0035/(1 − 0,2843) = €1 222,54
Resposta
A = €1 222,54
3.VAL e TIR
Resposta: NPV = 3401 €
Valor atual líquido: desconte cada fluxo de caixa até hoje com a rendibilidade exigida r e some-os: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Um projeto com NPV > 0 rende mais do que r e cria valor. A taxa interna de rendibilidade (TIR) é a taxa para a qual NPV = 0.
Valor atual de cada fluxo
CF0 = −60 000
CF1/(1 + 0,15)1 = 30 000/1,15 = 26 086,96
CF2/(1 + 0,15)2 = 25 000/1,322 = 18 903,59
CF3/(1 + 0,15)3 = 28 000/1,521 = 18 410,45
Somar
NPV = €3 401,00
Resposta
NPV = €3 401,00
O VAL é positivo, logo o projeto rende mais do que a rendibilidade exigida.
4.VAL e TIR
Resposta: IRR = 15,57 %
Valor atual líquido: desconte cada fluxo de caixa até hoje com a rendibilidade exigida r e some-os: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Um projeto com NPV > 0 rende mais do que r e cria valor. A taxa interna de rendibilidade (TIR) é a taxa para a qual NPV = 0.
Enquadrar a TIR
O VAL desce quando a taxa sobe, por isso a TIR está entre uma taxa com VAL positivo e outra com VAL negativo.
NPV(15%) = 75,61
NPV(20%) = −555,56
Aproximar
A interpolação linear dá uma primeira estimativa; repeti-la (ou usar a função TIR de uma calculadora) dá a taxa exata.
IRR ≈ 15 + 5·75,61/(75,61 − (−555,56)) = 15,6%
exato: NPV(15,57%) = 0 → IRR = 15,57%
Resposta
IRR = 15,57%
5.Preço e rendimento de títulos
Resposta: c = 7,994 %
Precificação de títulos: o preço de um título é o valor presente dos seus fluxos de caixa, descontados ao rendimento até o vencimento (YTM): os cupons formam uma anuidade e o valor de face é devolvido no vencimento. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando o rendimento está acima da taxa de cupom, o título é negociado abaixo do valor de face, e vice-versa.
Valor presente do valor de face
1000·(1 + 0,06)−5 = €747,26
Cupom
C = (1084 − 747,26)/4,212 = €79,94
Taxa de cupom
c = 79,94/1000 = 7,994%
Resposta
c = 7,994%
6.Preço e rendimento de títulos
Resposta: YTM = 6,476 %
Precificação de títulos: o preço de um título é o valor presente dos seus fluxos de caixa, descontados ao rendimento até o vencimento (YTM): os cupons formam uma anuidade e o valor de face é devolvido no vencimento. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando o rendimento está acima da taxa de cupom, o título é negociado abaixo do valor de face, e vice-versa.
Equação do rendimento
€835 = €40·(1 − (1 + y)⁻⁹)/y + €1 000/(1 + y)⁹
Resolva numericamente
P(6%) = €863,97, P(7%) = €804,54
YTM = 6,476%
Resposta
YTM = 6,476%
7.CAPM e WACC
Resposta: rm = 7,5 %
Custo de capital: o CAPM dá o retorno exigido pelos acionistas: re = rf + β·(rm − rf). O custo médio ponderado de capital combina capital próprio e dívida pelos seus valores de mercado: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), com V = E + D. Os juros são dedutíveis do imposto, daí o (1 − T).
Prêmio de risco de mercado
rm − rf = (11,1% − 1,5%)/1,6 = 6%
Retorno do mercado
rm = 1,5% + 6% = 7,5%
Resposta
rm = 7,5%
8.CAPM e WACC
Resposta: WACC = 10,11 %
Custo de capital: o CAPM dá o retorno exigido pelos acionistas: re = rf + β·(rm − rf). O custo médio ponderado de capital combina capital próprio e dívida pelos seus valores de mercado: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), com V = E + D. Os juros são dedutíveis do imposto, daí o (1 − T).
Custo-volume-resultado: cada unidade vendida gera uma margem de contribuição, preço menos custo variável unitário. Resultado = Q·(p − v) − F, onde F é o custo fixo. No ponto crítico o resultado é zero, logo Q = F/(p − v).
Lucro antes dos impostos necessário
12 000/(1 − 0,25) = €16 000
Unidades necessárias
Q = (40 000 + 16 000)/8 = 7 000
Resposta
Q = 7 000 unidades
10.Análise do ponto crítico
Resposta: MS = 23,08 %
Custo-volume-resultado: cada unidade vendida gera uma margem de contribuição, preço menos custo variável unitário. Resultado = Q·(p − v) − F, onde F é o custo fixo. No ponto crítico o resultado é zero, logo Q = F/(p − v).