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1Fórmulas e métodos
Valor temporal do dinheiro
Valor futuro
FV = PV·(1 + i)n
Valor atual
PV = FV/(1 + i)n
Vários períodos por ano
i = r/m, N = m·n
Anuidade, valor atual
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Anuidade, valor futuro
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Método
Desenhe uma linha do tempo com cada fluxo de caixa e o momento em que ocorre.
Ajuste a taxa ao período: uma taxa mensal para pagamentos mensais.
Use FV = PV·(1 + i)ⁿ para valores únicos e as fórmulas de anuidade para pagamentos iguais.
Verifique o sinal e a ordem de grandeza da resposta.
VAL e TIR
Valor atual líquido
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Fluxos iguais
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Taxa interna de retorno
o r em que NPV = 0
Decisão
aceitar se NPV > 0 (ou IRR > retorno exigido)
Método
Liste todos os fluxos de caixa com o seu ano; o investimento no ano 0 é negativo.
Desconte cada fluxo de caixa: CFt/(1 + r)t.
Some-os para obter o VPL. Positivo significa que o projeto rende mais que r.
Para a TIR, encontre a taxa que zera o VPL por tentativa ou interpolação.
Preço e rendimento de títulos
Preço do título
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Semestral
C/2, y/2 e 2n períodos
Rendimento corrente
C/P
Preço e rendimento
rendimento sobe → preço cai
Método
Encontre o cupom por período e o rendimento por período.
Preço = valor presente dos cupons (uma anuidade) + valor presente do valor de face.
Para cupons semestrais use metade do cupom, metade do rendimento e o dobro de períodos.
Verificação: se o rendimento está acima da taxa de cupom, o preço fica abaixo do valor de face.
CAPM e WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Valor da empresa
V = E + D
Análise do ponto crítico
Margem de contribuição
CM = p − v
Quantidade crítica
QBE = FC/(p − v)
Lucro pretendido
Q = (FC + profit)/(p − v)
Lucro
π = (p − v)·Q − FC
Margem de segurança
(Q − QBE)/Q
2Exercícios
1.Valor temporal do dinheiroMédia
Precisa de €50 000 daqui a 4 anos. Uma conta rende 4,8 % ao ano, capitalizada trimestralmente. Quanto tem de depositar hoje? Calcule o valor atual PV.
FV = €50 0004,8% / 4n = 4
PV = €
2.Valor temporal do dinheiroDifícil
Poupa €100 no fim de cada mês durante 16 anos. A conta rende 4,8 % ao ano, capitalizada mensalmente. Quanto poupou no fim? Calcule FV.
A = €1004,8% / 12N = 192
FV = €
3.VAL e TIRMédia
Um projeto custa €60 000 hoje e retorna €20 000 no final de cada ano durante 6 anos. O custo de capital é 6%. Suponha que os fluxos de caixa entrem de forma uniforme ao longo de cada ano. Encontre o período de payback descontado DPB em anos.
Um projeto custa €20 000 e devolve €13 000, €14 000 no fim dos anos 1 a 2. Calcule a sua taxa interna de rendibilidade IRR em percentagem.
CF0 = −20 000CF1 = 13 000CF2 = 14 000
IRR = %
5.Preço e rendimento de títulosMédia
Um título com valor de face de €1 000 paga um cupom anual de 8% em dois pagamentos semestrais e vence em 10 anos. O rendimento até o vencimento é de 3,5% ao ano. Calcule o preço P do título.
F = €1 000cupom = 8%YTM = 3,5%n = 10
P = €
6.Preço e rendimento de títulosDifícil
Um título com valor de face de €1 000 e cupom anual de 5% vence em 4 anos e é vendido por €930. Calcule seu rendimento até o vencimento YTM em porcentagem.
F = €1 000cupom = 5%n = 4P = €930
YTM = %
7.CAPM e WACCMédia
Uma empresa tem uma relação dívida/capital próprio (a valores de mercado) de 0,25. Seu custo do capital próprio é 13%, seu custo da dívida antes dos impostos é 3% e a alíquota de imposto é 20%. Encontre o WACC.
D/E = 0,25re = 13%rd = 3%T = 20%
WACC = %
8.CAPM e WACCDifícil
Uma empresa tem 4 000 000 ações negociadas a €18,50; o valor contábil do seu patrimônio líquido é €37 000 000. Ela acaba de pagar um dividendo de €1,90 por ação, e os dividendos crescem 5% ao ano. Sua dívida tem valor de mercado de €59 200 000 e custo antes dos impostos de 3%. A alíquota de imposto é 30%. Encontre o WACC, usando o modelo de crescimento de dividendos para o custo do capital próprio.
Um produto é vendido a €20 com custo variável de €15 por unidade. Os custos fixos são €2 500 por mês e o lucro é tributado a 20%. Quantas unidades Q devem ser vendidas por mês para obter €1 000 após os impostos?
p = €20v = €15F = €2 500T = 20%lucro após os impostos = €1 000
Q = unidades
10.Análise do ponto críticoDifícil
Um produto vende-se a €20 por unidade, com custo variável de €8 por unidade e custos fixos de €24 000 por ano. As vendas orçamentadas são de 3 600 unidades. Calcule a margem de segurança MS em percentagem das vendas orçamentadas.
F = €24 000p = €20v = €8orçamento = 3 600
MS = %
3Soluções
1.Valor temporal do dinheiro
Resposta: PV = 41313 €
Valor temporal do dinheiro: o dinheiro hoje vale mais do que a mesma quantia no futuro, porque pode render juros. Com uma taxa i por período, um montante cresce para FV = PV·(1 + i)n. Uma série de pagamentos iguais (uma renda) avalia-se somando cada pagamento, o que dá as fórmulas das rendas.
Taxa e número de períodos
i = 0,048/4 = 0,012
N = 4·4 = 16
Valor atual
PV = FV/(1 + i)N = 50 000/1,21 = €41 312,53
Resposta
PV = €41 312,53
2.Valor temporal do dinheiro
Resposta: FV = 28804 €
Valor temporal do dinheiro: o dinheiro hoje vale mais do que a mesma quantia no futuro, porque pode render juros. Com uma taxa i por período, um montante cresce para FV = PV·(1 + i)n. Uma série de pagamentos iguais (uma renda) avalia-se somando cada pagamento, o que dá as fórmulas das rendas.
Período de payback: o tempo até que os fluxos de caixa acumulados recuperem o investimento inicial. Supõe-se que o caixa entra de forma uniforme durante cada ano, então a última parte é uma fração de ano. O payback simples ignora o valor do dinheiro no tempo; o payback descontado usa os fluxos de caixa descontados.
Fluxos de caixa descontados e acumulados
ano 1: 20 000/1,06 = 18 867,92 → Σ = 18 867,92
ano 2: 20 000/1,124 = 17 799,93 → Σ = 36 667,85
ano 3: 20 000/1,191 = 16 792,39 → Σ = 53 460,24
ano 4: 20 000/1,262 = 15 841,87 → Σ = 69 302,11
Fração do último ano
DPB = 3 + 6 539,76/15 841,87 = 3,413
Resposta
DPB = 3,413 anos
O payback descontado é sempre mais longo que o payback simples (3 anos).
4.VAL e TIR
Resposta: IRR = 22,26 %
Valor atual líquido: desconte cada fluxo de caixa até hoje com a rendibilidade exigida r e some-os: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Um projeto com NPV > 0 rende mais do que r e cria valor. A taxa interna de rendibilidade (TIR) é a taxa para a qual NPV = 0.
Enquadrar a TIR
O VAL desce quando a taxa sobe, por isso a TIR está entre uma taxa com VAL positivo e outra com VAL negativo.
NPV(20%) = 555,56
NPV(25%) = −640,00
Aproximar
A interpolação linear dá uma primeira estimativa; repeti-la (ou usar a função TIR de uma calculadora) dá a taxa exata.
IRR ≈ 20 + 5·555,56/(555,56 − (−640,00)) = 22,32%
exato: NPV(22,26%) = 0 → IRR = 22,26%
Resposta
IRR = 22,26%
5.Preço e rendimento de títulos
Resposta: P = 1377 €
Precificação de títulos: o preço de um título é o valor presente dos seus fluxos de caixa, descontados ao rendimento até o vencimento (YTM): os cupons formam uma anuidade e o valor de face é devolvido no vencimento. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando o rendimento está acima da taxa de cupom, o título é negociado abaixo do valor de face, e vice-versa.
Por período
C = €40,00, i = 0,0175, N = 20
Valor presente dos cupons
€40,00·(1 − 0,7068)/0,0175 = €670,12
Valor presente do valor de face
€1 000·0,7068 = €706,82
Preço
P = €1 376,94
Resposta
P = €1 376,94
O rendimento está abaixo da taxa de cupom, então o título é vendido com ágio.
6.Preço e rendimento de títulos
Resposta: YTM = 7,07 %
Precificação de títulos: o preço de um título é o valor presente dos seus fluxos de caixa, descontados ao rendimento até o vencimento (YTM): os cupons formam uma anuidade e o valor de face é devolvido no vencimento. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando o rendimento está acima da taxa de cupom, o título é negociado abaixo do valor de face, e vice-versa.
Equação do rendimento
€930 = €50·(1 − (1 + y)⁻⁴)/y + €1 000/(1 + y)⁴
Resolva numericamente
P(7%) = €932,26, P(8%) = €900,64
YTM = 7,07%
Resposta
YTM = 7,07%
7.CAPM e WACC
Resposta: WACC = 10,88 %
Custo de capital: o CAPM dá o retorno exigido pelos acionistas: re = rf + β·(rm − rf). O custo médio ponderado de capital combina capital próprio e dívida pelos seus valores de mercado: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), com V = E + D. Os juros são dedutíveis do imposto, daí o (1 − T).
Pesos a partir de D/E
E/V = 1/(1 + 0,25) = 0,8
D/V = 0,25/(1 + 0,25) = 0,2
WACC
WACC = 0,8·13% + 0,2·3%·(1 − 0,2) = 10,88%
Resposta
WACC = 10,88%
8.CAPM e WACC
Resposta: WACC = 9,702 %
Custo de capital: o CAPM dá o retorno exigido pelos acionistas: re = rf + β·(rm − rf). O custo médio ponderado de capital combina capital próprio e dívida pelos seus valores de mercado: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), com V = E + D. Os juros são dedutíveis do imposto, daí o (1 − T).
Custo-volume-resultado: cada unidade vendida gera uma margem de contribuição, preço menos custo variável unitário. Resultado = Q·(p − v) − F, onde F é o custo fixo. No ponto crítico o resultado é zero, logo Q = F/(p − v).
Lucro antes dos impostos necessário
1 000/(1 − 0,2) = €1 250
Unidades necessárias
Q = (2 500 + 1 250)/5 = 750
Resposta
Q = 750 unidades
10.Análise do ponto crítico
Resposta: MS = 44,44 %
Custo-volume-resultado: cada unidade vendida gera uma margem de contribuição, preço menos custo variável unitário. Resultado = Q·(p − v) − F, onde F é o custo fixo. No ponto crítico o resultado é zero, logo Q = F/(p − v).