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1Fórmulas e métodos
Valor temporal do dinheiro
Valor futuro
FV = PV·(1 + i)n
Valor atual
PV = FV/(1 + i)n
Vários períodos por ano
i = r/m, N = m·n
Anuidade, valor atual
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Anuidade, valor futuro
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Método
Desenhe uma linha do tempo com cada fluxo de caixa e o momento em que ocorre.
Ajuste a taxa ao período: uma taxa mensal para pagamentos mensais.
Use FV = PV·(1 + i)ⁿ para valores únicos e as fórmulas de anuidade para pagamentos iguais.
Verifique o sinal e a ordem de grandeza da resposta.
VAL e TIR
Valor atual líquido
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Fluxos iguais
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Taxa interna de retorno
o r em que NPV = 0
Decisão
aceitar se NPV > 0 (ou IRR > retorno exigido)
Método
Liste todos os fluxos de caixa com o seu ano; o investimento no ano 0 é negativo.
Desconte cada fluxo de caixa: CFt/(1 + r)t.
Some-os para obter o VPL. Positivo significa que o projeto rende mais que r.
Para a TIR, encontre a taxa que zera o VPL por tentativa ou interpolação.
Preço e rendimento de títulos
Preço do título
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Semestral
C/2, y/2 e 2n períodos
Rendimento corrente
C/P
Preço e rendimento
rendimento sobe → preço cai
Método
Encontre o cupom por período e o rendimento por período.
Preço = valor presente dos cupons (uma anuidade) + valor presente do valor de face.
Para cupons semestrais use metade do cupom, metade do rendimento e o dobro de períodos.
Verificação: se o rendimento está acima da taxa de cupom, o preço fica abaixo do valor de face.
CAPM e WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Valor da empresa
V = E + D
Análise do ponto crítico
Margem de contribuição
CM = p − v
Quantidade crítica
QBE = FC/(p − v)
Lucro pretendido
Q = (FC + profit)/(p − v)
Lucro
π = (p − v)·Q − FC
Margem de segurança
(Q − QBE)/Q
2Exercícios
1.Valor temporal do dinheiroMédia
Uma anuidade paga €8 000 no final de cada ano durante 19 anos. A taxa de juros é 5% ao ano. Encontre o valor presente PV da anuidade.
A = €8 000i = 5%n = 19
PV = €
2.Valor temporal do dinheiroDifícil
Um financiamento imobiliário de €200 000 é pago em prestações mensais iguais ao longo de 30 anos a 6% ao ano, capitalizados mensalmente. Quanto ainda se deve logo após o pagamento do final do ano 9? Encontre o saldo devedor B.
P = €200 0006% / 12N = 360k = 108
B = €
3.VAL e TIRMédia
Um investimento de €45 000 gera estes fluxos no fim dos anos 1 a 3: €18 000, €15 000, €21 000. O custo do capital é de 15 %. Calcule o valor atual líquido NPV.
Um projeto custa €50 000 e devolve €22 500, €34 000 no fim dos anos 1 a 2. Calcule a sua taxa interna de rendibilidade IRR em percentagem.
CF0 = −50 000CF1 = 22 500CF2 = 34 000
IRR = %
5.Preço e rendimento de títulosMédia
Você compra um título com 5 anos até o vencimento (valor de face €1 000, cupom anual 3%) quando seu rendimento até o vencimento é 5%. Um ano depois, logo após receber o primeiro cupom, você o vende quando o rendimento até o vencimento é 4%. Encontre seu retorno no período de posse HPR em porcentagem.
F = €1 000cupom = 3%n = 5y0 = 5%y1 = 4%
HPR = %
6.Preço e rendimento de títulosDifícil
Um título com valor de face de €1 000 paga um cupom anual de 3% em dois pagamentos semestrais e vence em 5 anos. Ele é vendido a €955. Encontre seu rendimento até o vencimento YTM como taxa anual (o dobro do rendimento semestral), em porcentagem.
F = €1 000cupom = 3% (2×)n = 5P = €955
YTM = %
7.CAPM e WACCMédia
Uma empresa tem capital próprio de €6 000 000 e dívida de €2 000 000. Seu custo do capital próprio é 14%, seu custo da dívida antes dos impostos é 3% e a alíquota de imposto é 21%. Calcule o WACC.
Uma empresa tem 5 000 000 ações a €39,00 cada e 10 000 títulos negociados a €960 cada. O custo da dívida antes dos impostos é 3,5% e a alíquota de imposto é 20%. O beta da ação é 0,8, a taxa livre de risco é 2,5% e o retorno do mercado é 9%. Calcule o WACC.
β = 0,8rf = 2,5%rm = 9%rd = 3,5%T = 20%
WACC = %
9.Análise do ponto críticoMédia
Um produto pode ser fabricado de duas maneiras. O método A tem custos fixos de €20 000 por ano e custo variável de €15 por unidade. O método B, mais automatizado, tem custos fixos de €22 500 por ano e custo variável de €10 por unidade. Em que volume anual Q os dois métodos custam o mesmo?
FA = €20 000vA = €15FB = €22 500vB = €10
Q = unidades
10.Análise do ponto críticoDifícil
Um produto vende-se a €18 por unidade, com custo variável de €12 por unidade e custos fixos de €7 200 por ano. As vendas orçamentadas são de 1 440 unidades. Calcule a margem de segurança MS em percentagem das vendas orçamentadas.
F = €7 200p = €18v = €12orçamento = 1 440
MS = %
3Soluções
1.Valor temporal do dinheiro
Resposta: PV = 96683 €
Valor temporal do dinheiro: o dinheiro hoje vale mais do que a mesma quantia no futuro, porque pode render juros. Com uma taxa i por período, um montante cresce para FV = PV·(1 + i)n. Uma série de pagamentos iguais (uma renda) avalia-se somando cada pagamento, o que dá as fórmulas das rendas.
Fator de anuidade
(1 − (1 + i)−n)/i = (1 − 0,3957)/0,05 = 12,09
Valor atual
PV = 8 000·12,09 = €96 682,57
Resposta
PV = €96 682,57
2.Valor temporal do dinheiro
Resposta: B = 171580 €
Valor temporal do dinheiro: o dinheiro hoje vale mais do que a mesma quantia no futuro, porque pode render juros. Com uma taxa i por período, um montante cresce para FV = PV·(1 + i)n. Uma série de pagamentos iguais (uma renda) avalia-se somando cada pagamento, o que dá as fórmulas das rendas.
O que ainda se deve precisa ser quitado exatamente pelas prestações restantes.
N − k = 360 − 108 = 252
B = 1199·(1 − (1 + 0,005)−252)/0,005 = €171 580,34
Resposta
B = €171 580,34
3.VAL e TIR
Resposta: NPV = −4198 €
Valor atual líquido: desconte cada fluxo de caixa até hoje com a rendibilidade exigida r e some-os: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Um projeto com NPV > 0 rende mais do que r e cria valor. A taxa interna de rendibilidade (TIR) é a taxa para a qual NPV = 0.
Valor atual de cada fluxo
CF0 = −45 000
CF1/(1 + 0,15)1 = 18 000/1,15 = 15 652,17
CF2/(1 + 0,15)2 = 15 000/1,322 = 11 342,16
CF3/(1 + 0,15)3 = 21 000/1,521 = 13 807,84
Somar
NPV = €−4 197,83
Resposta
NPV = €−4 197,83
O VAL é negativo, logo o projeto rende menos do que a rendibilidade exigida.
4.VAL e TIR
Resposta: IRR = 7,977 %
Valor atual líquido: desconte cada fluxo de caixa até hoje com a rendibilidade exigida r e some-os: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Um projeto com NPV > 0 rende mais do que r e cria valor. A taxa interna de rendibilidade (TIR) é a taxa para a qual NPV = 0.
Enquadrar a TIR
O VAL desce quando a taxa sobe, por isso a TIR está entre uma taxa com VAL positivo e outra com VAL negativo.
NPV(5%) = 2 267,57
NPV(10%) = −1 446,28
Aproximar
A interpolação linear dá uma primeira estimativa; repeti-la (ou usar a função TIR de uma calculadora) dá a taxa exata.
Precificação de títulos: o preço de um título é o valor presente dos seus fluxos de caixa, descontados ao rendimento até o vencimento (YTM): os cupons formam uma anuidade e o valor de face é devolvido no vencimento. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando o rendimento está acima da taxa de cupom, o título é negociado abaixo do valor de face, e vice-versa.
Precificação de títulos: o preço de um título é o valor presente dos seus fluxos de caixa, descontados ao rendimento até o vencimento (YTM): os cupons formam uma anuidade e o valor de face é devolvido no vencimento. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando o rendimento está acima da taxa de cupom, o título é negociado abaixo do valor de face, e vice-versa.
Por período
C = €15,00, N = 10
Resolva numericamente
i = 2,001% por semestre
YTM
YTM = 2·2,001% = 4,002%
Resposta
YTM = 4,002%
7.CAPM e WACC
Resposta: WACC = 11,09 %
Custo de capital: o CAPM dá o retorno exigido pelos acionistas: re = rf + β·(rm − rf). O custo médio ponderado de capital combina capital próprio e dívida pelos seus valores de mercado: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), com V = E + D. Os juros são dedutíveis do imposto, daí o (1 − T).
Pesos
V = €8 000 000, E/V = 0,75, D/V = 0,25
WACC
WACC = 0,75·14% + 0,25·3%·(1 − 0,21) = 11,09%
Resposta
WACC = 11,09%
8.CAPM e WACC
Resposta: WACC = 7,47 %
Custo de capital: o CAPM dá o retorno exigido pelos acionistas: re = rf + β·(rm − rf). O custo médio ponderado de capital combina capital próprio e dívida pelos seus valores de mercado: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), com V = E + D. Os juros são dedutíveis do imposto, daí o (1 − T).
Custo-volume-resultado: cada unidade vendida gera uma margem de contribuição, preço menos custo variável unitário. Resultado = Q·(p − v) − F, onde F é o custo fixo. No ponto crítico o resultado é zero, logo Q = F/(p − v).
Custos totais iguais
20 000 + 15Q = 22 500 + 10Q
Resolver para Q
Q = (22 500 − 20 000)/(15 − 10) = 500
Resposta
Q = 500 unidades
Abaixo desse volume o método A é mais barato; acima dele o método automatizado B é mais barato.
10.Análise do ponto crítico
Resposta: MS = 16,67 %
Custo-volume-resultado: cada unidade vendida gera uma margem de contribuição, preço menos custo variável unitário. Resultado = Q·(p − v) − F, onde F é o custo fixo. No ponto crítico o resultado é zero, logo Q = F/(p − v).