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1Fórmulas e métodos
Valor temporal do dinheiro
Valor futuro
FV = PV·(1 + i)n
Valor atual
PV = FV/(1 + i)n
Vários períodos por ano
i = r/m, N = m·n
Anuidade, valor atual
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Anuidade, valor futuro
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Método
Desenhe uma linha do tempo com cada fluxo de caixa e o momento em que ocorre.
Ajuste a taxa ao período: uma taxa mensal para pagamentos mensais.
Use FV = PV·(1 + i)ⁿ para valores únicos e as fórmulas de anuidade para pagamentos iguais.
Verifique o sinal e a ordem de grandeza da resposta.
VAL e TIR
Valor atual líquido
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Fluxos iguais
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Taxa interna de retorno
o r em que NPV = 0
Decisão
aceitar se NPV > 0 (ou IRR > retorno exigido)
Método
Liste todos os fluxos de caixa com o seu ano; o investimento no ano 0 é negativo.
Desconte cada fluxo de caixa: CFt/(1 + r)t.
Some-os para obter o VPL. Positivo significa que o projeto rende mais que r.
Para a TIR, encontre a taxa que zera o VPL por tentativa ou interpolação.
Preço e rendimento de títulos
Preço do título
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Semestral
C/2, y/2 e 2n períodos
Rendimento corrente
C/P
Preço e rendimento
rendimento sobe → preço cai
Método
Encontre o cupom por período e o rendimento por período.
Preço = valor presente dos cupons (uma anuidade) + valor presente do valor de face.
Para cupons semestrais use metade do cupom, metade do rendimento e o dobro de períodos.
Verificação: se o rendimento está acima da taxa de cupom, o preço fica abaixo do valor de face.
CAPM e WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Valor da empresa
V = E + D
Análise do ponto crítico
Margem de contribuição
CM = p − v
Quantidade crítica
QBE = FC/(p − v)
Lucro pretendido
Q = (FC + profit)/(p − v)
Lucro
π = (p − v)·Q − FC
Margem de segurança
(Q − QBE)/Q
2Exercícios
1.Valor temporal do dinheiroMédia
Um cartão de crédito cobra uma taxa de juros nominal de 18% ao ano, capitalizada diária. Encontre a taxa efetiva anual EAR em porcentagem.
r = 18%m = 365
EAR = %
2.Valor temporal do dinheiroDifícil
Poupa €200 no fim de cada mês durante 20 anos. A conta rende 5,4 % ao ano, capitalizada mensalmente. Quanto poupou no fim? Calcule FV.
A = €2005,4% / 12N = 240
FV = €
3.VAL e TIRMédia
Um projeto custa €100 000 hoje. Ele gera €10 000 no final do primeiro ano, e o fluxo de caixa depois cresce 2% ao ano para sempre. O custo de capital é 10%. Encontre o valor presente líquido NPV.
C0 = €100 000CF1 = €10 000g = 2%r = 10%
NPV = €
4.VAL e TIRDifícil
Um projeto custa €50 000 e devolve €35 500, €24 500, €27 000 no fim dos anos 1 a 3. Calcule a sua taxa interna de rendibilidade IRR em percentagem.
CF0 = −50 000CF1 = 35 500CF2 = 24 500CF3 = 27 000
IRR = %
5.Preço e rendimento de títulosMédia
Um título com valor de face de €1 000 vence em 4 anos e paga cupons anuais. Ele é vendido a €1 112 quando o rendimento até o vencimento é 3%. Encontre a taxa de cupom c em porcentagem.
F = €1 000n = 4P = €1 112YTM = 3%
c = %
6.Preço e rendimento de títulosDifícil
Um título com valor de face de €1 000 paga um cupom anual de 7% e vence em 3 anos. O rendimento até o vencimento é 8%. Encontre a duration de Macaulay D em anos.
F = €1 000cupom = 7%n = 3YTM = 8%
D = anos
7.CAPM e WACCMédia
Uma empresa tem capital próprio de €6 000 000 e dívida de €1 000 000. Seu custo do capital próprio é 14%, seu custo da dívida antes dos impostos é 4,5% e a alíquota de imposto é 25,8%. Calcule o WACC.
Uma empresa tem 1 000 000 ações a €43,50 cada e 20 000 títulos negociados a €960 cada. O custo da dívida antes dos impostos é 4% e a alíquota de imposto é 25,8%. O beta da ação é 1,8, a taxa livre de risco é 3% e o retorno do mercado é 9,5%. Calcule o WACC.
β = 1,8rf = 3%rm = 9,5%rd = 4%T = 25,8%
WACC = %
9.Análise do ponto críticoMédia
Um produto vende-se a €36 por unidade com um custo variável de €30 por unidade. Os custos fixos são de €9 000 por mês. Quantas unidades Q é preciso vender por mês para ter um lucro de €6 000?
F = €9 000p = €36v = €30lucro = €6 000
Q = unidades
10.Análise do ponto críticoDifícil
Uma empresa vende dois produtos. O produto A é vendido a €14 com custo variável de €10; o produto B é vendido a €18 com custo variável de €10. Eles são vendidos em um mix fixo de 5 unidades de A para cada 2 de B. Os custos fixos são €10 800 por mês. Encontre o número total de unidades Q (A e B juntos) necessário para atingir o ponto de equilíbrio.
pA = €14, vA = €10pB = €18, vB = €10A : B = 5 : 2F = €10 800
Q = unidades
3Soluções
1.Valor temporal do dinheiro
Resposta: EAR = 19,72 %
Valor temporal do dinheiro: o dinheiro hoje vale mais do que a mesma quantia no futuro, porque pode render juros. Com uma taxa i por período, um montante cresce para FV = PV·(1 + i)n. Uma série de pagamentos iguais (uma renda) avalia-se somando cada pagamento, o que dá as fórmulas das rendas.
Taxa por período
r/m = 0,18/365 = 0,0004932
Capitalize ao longo de um ano
EAR = (1 + 0,0004932)365 − 1 = 1,197 − 1 = 19,72%
Resposta
EAR = 19,72%
A taxa efetiva anual é sempre maior que a taxa nominal quando os juros são capitalizados mais de uma vez por ano.
2.Valor temporal do dinheiro
Resposta: FV = 86114 €
Valor temporal do dinheiro: o dinheiro hoje vale mais do que a mesma quantia no futuro, porque pode render juros. Com uma taxa i por período, um montante cresce para FV = PV·(1 + i)n. Uma série de pagamentos iguais (uma renda) avalia-se somando cada pagamento, o que dá as fórmulas das rendas.
Valor atual líquido: desconte cada fluxo de caixa até hoje com a rendibilidade exigida r e some-os: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Um projeto com NPV > 0 rende mais do que r e cria valor. A taxa interna de rendibilidade (TIR) é a taxa para a qual NPV = 0.
Valor dos fluxos de caixa
PV = 10 000/(0,1 − 0,02) = 125 000,00
NPV
NPV = 125 000,00 − 100 000 = €25 000,00
Resposta
NPV = €25 000,00
O VAL é positivo, logo o projeto rende mais do que a rendibilidade exigida.
4.VAL e TIR
Resposta: IRR = 36,13 %
Valor atual líquido: desconte cada fluxo de caixa até hoje com a rendibilidade exigida r e some-os: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Um projeto com NPV > 0 rende mais do que r e cria valor. A taxa interna de rendibilidade (TIR) é a taxa para a qual NPV = 0.
Enquadrar a TIR
O VAL desce quando a taxa sobe, por isso a TIR está entre uma taxa com VAL positivo e outra com VAL negativo.
NPV(35%) = 713,31
NPV(40%) = −2 303,21
Aproximar
A interpolação linear dá uma primeira estimativa; repeti-la (ou usar a função TIR de uma calculadora) dá a taxa exata.
Precificação de títulos: o preço de um título é o valor presente dos seus fluxos de caixa, descontados ao rendimento até o vencimento (YTM): os cupons formam uma anuidade e o valor de face é devolvido no vencimento. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando o rendimento está acima da taxa de cupom, o título é negociado abaixo do valor de face, e vice-versa.
Valor presente do valor de face
1000·(1 + 0,03)−4 = €888,49
Cupom
C = (1112 − 888,49)/3,717 = €60,13
Taxa de cupom
c = 60,13/1000 = 6,013%
Resposta
c = 6,013%
6.Preço e rendimento de títulos
Resposta: D = 2,805 anos
Duration: a duration de Macaulay é o prazo médio ponderado em que um título paga seus fluxos de caixa, usando como pesos os valores presentes dos fluxos de caixa: D = Σ t·PVₜ/P. A duration modificada D/(1 + y) estima a variação percentual do preço para uma pequena variação do rendimento: %ΔP ≈ −Dmod·Δy.
Valor atual de cada fluxo
t = 1: 70/1,08 = 64,81, t·PV = 64,81
t = 2: 70/1,166 = 60,01, t·PV = 120,03
t = 3: 1070/1,26 = 849,40, t·PV = 2 548,20
Duration
P = 974,23
D = 2 733,04/974,23 = 2,805
Resposta
D = 2,805 anos
7.CAPM e WACC
Resposta: WACC = 12,48 %
Custo de capital: o CAPM dá o retorno exigido pelos acionistas: re = rf + β·(rm − rf). O custo médio ponderado de capital combina capital próprio e dívida pelos seus valores de mercado: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), com V = E + D. Os juros são dedutíveis do imposto, daí o (1 − T).
Custo de capital: o CAPM dá o retorno exigido pelos acionistas: re = rf + β·(rm − rf). O custo médio ponderado de capital combina capital próprio e dívida pelos seus valores de mercado: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), com V = E + D. Os juros são dedutíveis do imposto, daí o (1 − T).
Custo-volume-resultado: cada unidade vendida gera uma margem de contribuição, preço menos custo variável unitário. Resultado = Q·(p − v) − F, onde F é o custo fixo. No ponto crítico o resultado é zero, logo Q = F/(p − v).
Ponto de equilíbrio com mix de vendas: quando os produtos são vendidos em uma proporção fixa, use a margem de contribuição média ponderada: pondere o p − v de cada produto pela sua participação em unidades. Unidades no ponto de equilíbrio = F/(margem de contribuição ponderada), divididas de novo na proporção do mix.