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1Fórmulas e métodos
Valor temporal do dinheiro
Valor futuro
FV = PV·(1 + i)n
Valor atual
PV = FV/(1 + i)n
Vários períodos por ano
i = r/m, N = m·n
Anuidade, valor atual
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Anuidade, valor futuro
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Método
Desenhe uma linha do tempo com cada fluxo de caixa e o momento em que ocorre.
Ajuste a taxa ao período: uma taxa mensal para pagamentos mensais.
Use FV = PV·(1 + i)ⁿ para valores únicos e as fórmulas de anuidade para pagamentos iguais.
Verifique o sinal e a ordem de grandeza da resposta.
VAL e TIR
Valor atual líquido
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Fluxos iguais
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Taxa interna de retorno
o r em que NPV = 0
Decisão
aceitar se NPV > 0 (ou IRR > retorno exigido)
Método
Liste todos os fluxos de caixa com o seu ano; o investimento no ano 0 é negativo.
Desconte cada fluxo de caixa: CFt/(1 + r)t.
Some-os para obter o VPL. Positivo significa que o projeto rende mais que r.
Para a TIR, encontre a taxa que zera o VPL por tentativa ou interpolação.
Preço e rendimento de títulos
Preço do título
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Semestral
C/2, y/2 e 2n períodos
Rendimento corrente
C/P
Preço e rendimento
rendimento sobe → preço cai
Método
Encontre o cupom por período e o rendimento por período.
Preço = valor presente dos cupons (uma anuidade) + valor presente do valor de face.
Para cupons semestrais use metade do cupom, metade do rendimento e o dobro de períodos.
Verificação: se o rendimento está acima da taxa de cupom, o preço fica abaixo do valor de face.
CAPM e WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Valor da empresa
V = E + D
Análise do ponto crítico
Margem de contribuição
CM = p − v
Quantidade crítica
QBE = FC/(p − v)
Lucro pretendido
Q = (FC + profit)/(p − v)
Lucro
π = (p − v)·Q − FC
Margem de segurança
(Q − QBE)/Q
2Exercícios
1.Valor temporal do dinheiroMédia
Precisa de €15 000 daqui a 9 anos. Uma conta rende 3 % ao ano, capitalizada trimestralmente. Quanto tem de depositar hoje? Calcule o valor atual PV.
FV = €15 0003% / 4n = 9
PV = €
2.Valor temporal do dinheiroDifícil
Poupa €500 no fim de cada mês durante 16 anos. A conta rende 6 % ao ano, capitalizada mensalmente. Quanto poupou no fim? Calcule FV.
A = €5006% / 12N = 192
FV = €
3.VAL e TIRMédia
Um projeto custa €200 000 hoje. Ele gera €18 000 no final do primeiro ano, e o fluxo de caixa depois cresce 3% ao ano para sempre. O custo de capital é 11%. Encontre o valor presente líquido NPV.
C0 = €200 000CF1 = €18 000g = 3%r = 11%
NPV = €
4.VAL e TIRDifícil
Um projeto custa €100 000 hoje. Seu fluxo de caixa é €9 000 no final do ano 1 e cresce 2% ao ano até o último fluxo de caixa, no final do ano 10. O custo de capital é 12%. Encontre o valor presente líquido NPV.
C0 = €100 000CF1 = €9 000g = 2%n = 10r = 12%
NPV = €
5.Preço e rendimento de títulosMédia
Um título com valor de face de €1 000 vence em 11 anos e paga cupons anuais. Ele é vendido a €813 quando o rendimento até o vencimento é 7%. Encontre a taxa de cupom c em porcentagem.
F = €1 000n = 11P = €813YTM = 7%
c = %
6.Preço e rendimento de títulosDifícil
Um título com valor de face de €1 000 e cupom anual de 7% vence em 3 anos e é vendido por €1 040. Calcule seu rendimento até o vencimento YTM em porcentagem.
F = €1 000cupom = 7%n = 3P = €1 040
YTM = %
7.CAPM e WACCMédia
Uma empresa tem capital próprio de €6 000 000 e dívida de €3 000 000. Seu custo do capital próprio é 11%, seu custo da dívida antes dos impostos é 3,5% e a alíquota de imposto é 21%. Calcule o WACC.
Uma empresa tem 2 000 000 ações negociadas a €23,00; o valor contábil do seu patrimônio líquido é €23 000 000. Ela acaba de pagar um dividendo de €1,10 por ação, e os dividendos crescem 2% ao ano. Sua dívida tem valor de mercado de €13 800 000 e custo antes dos impostos de 4,5%. A alíquota de imposto é 20%. Encontre o WACC, usando o modelo de crescimento de dividendos para o custo do capital próprio.
Um produto pode ser fabricado de duas maneiras. O método A tem custos fixos de €25 000 por ano e custo variável de €12 por unidade. O método B, mais automatizado, tem custos fixos de €33 000 por ano e custo variável de €10 por unidade. Em que volume anual Q os dois métodos custam o mesmo?
FA = €25 000vA = €12FB = €33 000vB = €10
Q = unidades
10.Análise do ponto críticoDifícil
Uma empresa vende 1 600 unidades por mês a €45 cada, com custo variável de €25 por unidade e custos fixos de €16 000 por mês. O custo variável aumenta €4 por unidade e o preço continua o mesmo. Quantas unidades Q precisam agora ser vendidas por mês para manter o mesmo lucro?
Q = 1 600p = €45v = €25 → €29F = €16 000
Q = unidades
3Soluções
1.Valor temporal do dinheiro
Resposta: PV = 11462 €
Valor temporal do dinheiro: o dinheiro hoje vale mais do que a mesma quantia no futuro, porque pode render juros. Com uma taxa i por período, um montante cresce para FV = PV·(1 + i)n. Uma série de pagamentos iguais (uma renda) avalia-se somando cada pagamento, o que dá as fórmulas das rendas.
Taxa e número de períodos
i = 0,03/4 = 0,0075
N = 4·9 = 36
Valor atual
PV = FV/(1 + i)N = 15 000/1,309 = €11 462,23
Resposta
PV = €11 462,23
2.Valor temporal do dinheiro
Resposta: FV = 160546 €
Valor temporal do dinheiro: o dinheiro hoje vale mais do que a mesma quantia no futuro, porque pode render juros. Com uma taxa i por período, um montante cresce para FV = PV·(1 + i)n. Uma série de pagamentos iguais (uma renda) avalia-se somando cada pagamento, o que dá as fórmulas das rendas.
Valor atual líquido: desconte cada fluxo de caixa até hoje com a rendibilidade exigida r e some-os: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Um projeto com NPV > 0 rende mais do que r e cria valor. A taxa interna de rendibilidade (TIR) é a taxa para a qual NPV = 0.
Valor dos fluxos de caixa
PV = 18 000/(0,11 − 0,03) = 225 000,00
NPV
NPV = 225 000,00 − 200 000 = €25 000,00
Resposta
NPV = €25 000,00
O VAL é positivo, logo o projeto rende mais do que a rendibilidade exigida.
4.VAL e TIR
Resposta: NPV = −45324 €
Valor atual líquido: desconte cada fluxo de caixa até hoje com a rendibilidade exigida r e some-os: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Um projeto com NPV > 0 rende mais do que r e cria valor. A taxa interna de rendibilidade (TIR) é a taxa para a qual NPV = 0.
Valor presente da anuidade crescente
((1,02)/(1,12))10 = 0,3925
PV = 9 000/(0,12 − 0,02)·(1 − 0,3925) = 54 676,48
NPV
NPV = 54 676,48 − 100 000 = −€45 323,52
Resposta
NPV = −€45 323,52
O VAL é negativo, logo o projeto rende menos do que a rendibilidade exigida.
5.Preço e rendimento de títulos
Resposta: c = 4,506 %
Precificação de títulos: o preço de um título é o valor presente dos seus fluxos de caixa, descontados ao rendimento até o vencimento (YTM): os cupons formam uma anuidade e o valor de face é devolvido no vencimento. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando o rendimento está acima da taxa de cupom, o título é negociado abaixo do valor de face, e vice-versa.
Valor presente do valor de face
1000·(1 + 0,07)−11 = €475,09
Cupom
C = (813 − 475,09)/7,499 = €45,06
Taxa de cupom
c = 45,06/1000 = 4,506%
Resposta
c = 4,506%
6.Preço e rendimento de títulos
Resposta: YTM = 5,517 %
Precificação de títulos: o preço de um título é o valor presente dos seus fluxos de caixa, descontados ao rendimento até o vencimento (YTM): os cupons formam uma anuidade e o valor de face é devolvido no vencimento. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando o rendimento está acima da taxa de cupom, o título é negociado abaixo do valor de face, e vice-versa.
Equação do rendimento
€1 040 = €70·(1 − (1 + y)⁻³)/y + €1 000/(1 + y)³
Resolva numericamente
P(5%) = €1 054,46, P(6%) = €1 026,73
YTM = 5,517%
Resposta
YTM = 5,517%
7.CAPM e WACC
Resposta: WACC = 8,255 %
Custo de capital: o CAPM dá o retorno exigido pelos acionistas: re = rf + β·(rm − rf). O custo médio ponderado de capital combina capital próprio e dívida pelos seus valores de mercado: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), com V = E + D. Os juros são dedutíveis do imposto, daí o (1 − T).
Custo de capital: o CAPM dá o retorno exigido pelos acionistas: re = rf + β·(rm − rf). O custo médio ponderado de capital combina capital próprio e dívida pelos seus valores de mercado: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), com V = E + D. Os juros são dedutíveis do imposto, daí o (1 − T).
Custo-volume-resultado: cada unidade vendida gera uma margem de contribuição, preço menos custo variável unitário. Resultado = Q·(p − v) − F, onde F é o custo fixo. No ponto crítico o resultado é zero, logo Q = F/(p − v).
Custos totais iguais
25 000 + 12Q = 33 000 + 10Q
Resolver para Q
Q = (33 000 − 25 000)/(12 − 10) = 4 000
Resposta
Q = 4 000 unidades
Abaixo desse volume o método A é mais barato; acima dele o método automatizado B é mais barato.
10.Análise do ponto crítico
Resposta: Q = 2000 unidades
Custo-volume-resultado: cada unidade vendida gera uma margem de contribuição, preço menos custo variável unitário. Resultado = Q·(p − v) − F, onde F é o custo fixo. No ponto crítico o resultado é zero, logo Q = F/(p − v).