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1Fórmulas e métodos
Valor temporal do dinheiro
Valor futuro
FV = PV·(1 + i)n
Valor atual
PV = FV/(1 + i)n
Vários períodos por ano
i = r/m, N = m·n
Anuidade, valor atual
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Anuidade, valor futuro
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Método
Desenhe uma linha do tempo com cada fluxo de caixa e o momento em que ocorre.
Ajuste a taxa ao período: uma taxa mensal para pagamentos mensais.
Use FV = PV·(1 + i)ⁿ para valores únicos e as fórmulas de anuidade para pagamentos iguais.
Verifique o sinal e a ordem de grandeza da resposta.
VAL e TIR
Valor atual líquido
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Fluxos iguais
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Taxa interna de retorno
o r em que NPV = 0
Decisão
aceitar se NPV > 0 (ou IRR > retorno exigido)
Método
Liste todos os fluxos de caixa com o seu ano; o investimento no ano 0 é negativo.
Desconte cada fluxo de caixa: CFt/(1 + r)t.
Some-os para obter o VPL. Positivo significa que o projeto rende mais que r.
Para a TIR, encontre a taxa que zera o VPL por tentativa ou interpolação.
Preço e rendimento de títulos
Preço do título
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Semestral
C/2, y/2 e 2n períodos
Rendimento corrente
C/P
Preço e rendimento
rendimento sobe → preço cai
Método
Encontre o cupom por período e o rendimento por período.
Preço = valor presente dos cupons (uma anuidade) + valor presente do valor de face.
Para cupons semestrais use metade do cupom, metade do rendimento e o dobro de períodos.
Verificação: se o rendimento está acima da taxa de cupom, o preço fica abaixo do valor de face.
CAPM e WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Valor da empresa
V = E + D
Análise do ponto crítico
Margem de contribuição
CM = p − v
Quantidade crítica
QBE = FC/(p − v)
Lucro pretendido
Q = (FC + profit)/(p − v)
Lucro
π = (p − v)·Q − FC
Margem de segurança
(Q − QBE)/Q
2Exercícios
1.Valor temporal do dinheiroMédia
Investe €2 000 a uma taxa nominal de 4,8 % ao ano, capitalizada trimestralmente. Calcule o valor FV do investimento ao fim de 5 anos.
PV = €2 0004,8% / 4n = 5
FV = €
2.Valor temporal do dinheiroDifícil
Você toma emprestado €12 000 a 4,8% ao ano, capitalizados mensalmente, e paga €375 no final de cada mês. Quantos meses leva até o empréstimo ser quitado (o último pagamento pode ser menor)? Dê o número de pagamentos N.
P = €12 000A = €3754,8% / 12
N = pagamentos
3.VAL e TIRMédia
Um investimento de €60 000 gera estes fluxos no fim dos anos 1 a 4: €29 000, €22 000, €26 000, €23 000. O custo do capital é de 12 %. Calcule o valor atual líquido NPV.
Um projeto custa €25 000 e devolve €14 500, €14 500 no fim dos anos 1 a 2. Calcule a sua taxa interna de rendibilidade IRR em percentagem.
CF0 = −25 000CF1 = 14 500CF2 = 14 500
IRR = %
5.Preço e rendimento de títulosMédia
Um título com valor de face de €1 000 vence em 14 anos e paga cupons anuais. Ele é vendido a €505 quando o rendimento até o vencimento é 8%. Encontre a taxa de cupom c em porcentagem.
F = €1 000n = 14P = €505YTM = 8%
c = %
6.Preço e rendimento de títulosDifícil
Um título é negociado a €925 com rendimento até o vencimento de 7% (capitalização anual) e duration de Macaulay de 7,2 anos. Use a duration modificada para estimar o novo preço P se o rendimento cair 100 pontos-base.
P0 = €925y = 7%D = 7,2Δy = −100 bp
P = €
7.CAPM e WACCMédia
Uma empresa é financiada com ações ordinárias no valor de €12 000 000, ações preferenciais no valor de €1 000 000 e dívida no valor de €3 000 000. O custo do capital próprio é 11%, o custo das ações preferenciais 6,5% e o custo da dívida antes dos impostos 4,5%. A alíquota de imposto é 28%. Encontre o WACC.
Uma empresa tem 2 000 000 ações a €21,00 cada e 40 000 títulos negociados a €1 020 cada. O custo da dívida antes dos impostos é 5% e a alíquota de imposto é 25,8%. O beta da ação é 0,9, a taxa livre de risco é 3,5% e o retorno do mercado é 10,5%. Calcule o WACC.
β = 0,9rf = 3,5%rm = 10,5%rd = 5%T = 25,8%
WACC = %
9.Análise do ponto críticoMédia
Um produto vende-se a €26 por unidade com um custo variável de €18 por unidade. Os custos fixos são de €8 000 por mês. Quantas unidades Q é preciso vender por mês para ter um lucro de €5 000?
F = €8 000p = €26v = €18lucro = €5 000
Q = unidades
10.Análise do ponto críticoDifícil
Um produto vende-se a €24 por unidade, com custo variável de €12 por unidade e custos fixos de €14 400 por ano. As vendas orçamentadas são de 1 800 unidades. Calcule a margem de segurança MS em percentagem das vendas orçamentadas.
F = €14 400p = €24v = €12orçamento = 1 800
MS = %
3Soluções
1.Valor temporal do dinheiro
Resposta: FV = 2539 €
Valor temporal do dinheiro: o dinheiro hoje vale mais do que a mesma quantia no futuro, porque pode render juros. Com uma taxa i por período, um montante cresce para FV = PV·(1 + i)n. Uma série de pagamentos iguais (uma renda) avalia-se somando cada pagamento, o que dá as fórmulas das rendas.
Valor temporal do dinheiro: o dinheiro hoje vale mais do que a mesma quantia no futuro, porque pode render juros. Com uma taxa i por período, um montante cresce para FV = PV·(1 + i)n. Uma série de pagamentos iguais (uma renda) avalia-se somando cada pagamento, o que dá as fórmulas das rendas.
Reorganize a fórmula da anuidade
i = 0,004
(1 + i)−N = 1 − 12 000·0,004/375 = 0,872
Resolver com logaritmos
N = −ln(0,872)/ln(1,004) = 34,31
Arredonde para cima até pagamentos inteiros
34 pagamentos completos deixam um pequeno saldo, que o último pagamento, menor, quita.
N = 35
Resposta
N = 35 pagamentos
3.VAL e TIR
Resposta: NPV = 16554 €
Valor atual líquido: desconte cada fluxo de caixa até hoje com a rendibilidade exigida r e some-os: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Um projeto com NPV > 0 rende mais do que r e cria valor. A taxa interna de rendibilidade (TIR) é a taxa para a qual NPV = 0.
Valor atual de cada fluxo
CF0 = −60 000
CF1/(1 + 0,12)1 = 29 000/1,12 = 25 892,86
CF2/(1 + 0,12)2 = 22 000/1,254 = 17 538,27
CF3/(1 + 0,12)3 = 26 000/1,405 = 18 506,29
CF4/(1 + 0,12)4 = 23 000/1,574 = 14 616,92
Somar
NPV = €16 554,32
Resposta
NPV = €16 554,32
O VAL é positivo, logo o projeto rende mais do que a rendibilidade exigida.
4.VAL e TIR
Resposta: IRR = 10,49 %
Valor atual líquido: desconte cada fluxo de caixa até hoje com a rendibilidade exigida r e some-os: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Um projeto com NPV > 0 rende mais do que r e cria valor. A taxa interna de rendibilidade (TIR) é a taxa para a qual NPV = 0.
Enquadrar a TIR
O VAL desce quando a taxa sobe, por isso a TIR está entre uma taxa com VAL positivo e outra com VAL negativo.
NPV(10%) = 165,29
NPV(15%) = −1 427,22
Aproximar
A interpolação linear dá uma primeira estimativa; repeti-la (ou usar a função TIR de uma calculadora) dá a taxa exata.
Precificação de títulos: o preço de um título é o valor presente dos seus fluxos de caixa, descontados ao rendimento até o vencimento (YTM): os cupons formam uma anuidade e o valor de face é devolvido no vencimento. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando o rendimento está acima da taxa de cupom, o título é negociado abaixo do valor de face, e vice-versa.
Valor presente do valor de face
1000·(1 + 0,08)−14 = €340,46
Cupom
C = (505 − 340,46)/8,244 = €19,96
Taxa de cupom
c = 19,96/1000 = 1,996%
Resposta
c = 1,996%
6.Preço e rendimento de títulos
Resposta: P = 987,2 €
Duration: a duration de Macaulay é o prazo médio ponderado em que um título paga seus fluxos de caixa, usando como pesos os valores presentes dos fluxos de caixa: D = Σ t·PVₜ/P. A duration modificada D/(1 + y) estima a variação percentual do preço para uma pequena variação do rendimento: %ΔP ≈ −Dmod·Δy.
Duration modificada
Dmod = 7,2/1,07 = 6,729
Variação estimada do preço
%ΔP ≈ −6,729·(−0,01) = 6,729%
P ≈ 925·(1 + 0,06729) = €987,24
Resposta
P = €987,24
A duration é uma estimativa linear; para grandes variações de rendimento a convexidade torna o preço real um pouco mais alto.
7.CAPM e WACC
Resposta: WACC = 9,264 %
Custo de capital: o CAPM dá o retorno exigido pelos acionistas: re = rf + β·(rm − rf). O custo médio ponderado de capital combina capital próprio e dívida pelos seus valores de mercado: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), com V = E + D. Os juros são dedutíveis do imposto, daí o (1 − T).
Custo de capital: o CAPM dá o retorno exigido pelos acionistas: re = rf + β·(rm − rf). O custo médio ponderado de capital combina capital próprio e dívida pelos seus valores de mercado: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), com V = E + D. Os juros são dedutíveis do imposto, daí o (1 − T).
Custo-volume-resultado: cada unidade vendida gera uma margem de contribuição, preço menos custo variável unitário. Resultado = Q·(p − v) − F, onde F é o custo fixo. No ponto crítico o resultado é zero, logo Q = F/(p − v).
Custo-volume-resultado: cada unidade vendida gera uma margem de contribuição, preço menos custo variável unitário. Resultado = Q·(p − v) − F, onde F é o custo fixo. No ponto crítico o resultado é zero, logo Q = F/(p − v).