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1Fórmulas e métodos
Valor temporal do dinheiro
Valor futuro
FV = PV·(1 + i)n
Valor atual
PV = FV/(1 + i)n
Vários períodos por ano
i = r/m, N = m·n
Anuidade, valor atual
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Anuidade, valor futuro
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Método
Desenhe uma linha do tempo com cada fluxo de caixa e o momento em que ocorre.
Ajuste a taxa ao período: uma taxa mensal para pagamentos mensais.
Use FV = PV·(1 + i)ⁿ para valores únicos e as fórmulas de anuidade para pagamentos iguais.
Verifique o sinal e a ordem de grandeza da resposta.
VAL e TIR
Valor atual líquido
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Fluxos iguais
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Taxa interna de retorno
o r em que NPV = 0
Decisão
aceitar se NPV > 0 (ou IRR > retorno exigido)
Método
Liste todos os fluxos de caixa com o seu ano; o investimento no ano 0 é negativo.
Desconte cada fluxo de caixa: CFt/(1 + r)t.
Some-os para obter o VPL. Positivo significa que o projeto rende mais que r.
Para a TIR, encontre a taxa que zera o VPL por tentativa ou interpolação.
Preço e rendimento de títulos
Preço do título
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Semestral
C/2, y/2 e 2n períodos
Rendimento corrente
C/P
Preço e rendimento
rendimento sobe → preço cai
Método
Encontre o cupom por período e o rendimento por período.
Preço = valor presente dos cupons (uma anuidade) + valor presente do valor de face.
Para cupons semestrais use metade do cupom, metade do rendimento e o dobro de períodos.
Verificação: se o rendimento está acima da taxa de cupom, o preço fica abaixo do valor de face.
CAPM e WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Valor da empresa
V = E + D
Análise do ponto crítico
Margem de contribuição
CM = p − v
Quantidade crítica
QBE = FC/(p − v)
Lucro pretendido
Q = (FC + profit)/(p − v)
Lucro
π = (p − v)·Q − FC
Margem de segurança
(Q − QBE)/Q
2Exercícios
1.Valor temporal do dinheiroMédia
Precisa de €25 000 daqui a 5 anos. Uma conta rende 6 % ao ano, capitalizada mensalmente. Quanto tem de depositar hoje? Calcule o valor atual PV.
FV = €25 0006% / 12n = 5
PV = €
2.Valor temporal do dinheiroDifícil
Você deposita €5 000 no início de cada ano durante 12 anos, sendo o primeiro depósito hoje. A conta rende 3% ao ano. Quanto há na conta no final do ano 12? Encontre FV.
A = €5 000i = 3%n = 12
FV = €
3.VAL e TIRMédia
Um investimento de €75 000 gera estes fluxos no fim dos anos 1 a 3: €31 000, €30 000, €35 000. O custo do capital é de 15 %. Calcule o valor atual líquido NPV.
Um projeto custa €50 000 e devolve €34 500, €21 500 no fim dos anos 1 a 2. Calcule a sua taxa interna de rendibilidade IRR em percentagem.
CF0 = −50 000CF1 = 34 500CF2 = 21 500
IRR = %
5.Preço e rendimento de títulosMédia
Um título com valor de face de €1 000 paga um cupom anual de 4,5% em dois pagamentos semestrais e vence em 9 anos. O rendimento até o vencimento é de 7% ao ano. Calcule o preço P do título.
F = €1 000cupom = 4,5%YTM = 7%n = 9
P = €
6.Preço e rendimento de títulosDifícil
Um título com valor de face de €1 000 e cupom anual de 8% vence em 5 anos e é vendido por €1 085. Calcule seu rendimento até o vencimento YTM em porcentagem.
F = €1 000cupom = 8%n = 5P = €1 085
YTM = %
7.CAPM e WACCMédia
Uma empresa tem uma relação dívida/capital próprio (a valores de mercado) de 1. Seu custo do capital próprio é 10%, seu custo da dívida antes dos impostos é 5% e a alíquota de imposto é 25,8%. Encontre o WACC.
D/E = 1re = 10%rd = 5%T = 25,8%
WACC = %
8.CAPM e WACCDifícil
Uma empresa tem 5 000 000 ações a €24,50 cada e 40 000 títulos negociados a €1 000 cada. O custo da dívida antes dos impostos é 3% e a alíquota de imposto é 21%. O beta da ação é 0,9, a taxa livre de risco é 2% e o retorno do mercado é 9%. Calcule o WACC.
β = 0,9rf = 2%rm = 9%rd = 3%T = 21%
WACC = %
9.Análise do ponto críticoMédia
Uma empresa vende 8 000 unidades a €21 cada. O custo variável é €6 por unidade e os custos fixos são €75 000. Encontre o grau de alavancagem operacional DOL nesse nível de vendas.
Q = 8 000p = €21v = €6F = €75 000
DOL =
10.Análise do ponto críticoDifícil
Um produto vende-se a €12 por unidade, com custo variável de €4 por unidade e custos fixos de €12 000 por ano. As vendas orçamentadas são de 1 880 unidades. Calcule a margem de segurança MS em percentagem das vendas orçamentadas.
F = €12 000p = €12v = €4orçamento = 1 880
MS = %
3Soluções
1.Valor temporal do dinheiro
Resposta: PV = 18534 €
Valor temporal do dinheiro: o dinheiro hoje vale mais do que a mesma quantia no futuro, porque pode render juros. Com uma taxa i por período, um montante cresce para FV = PV·(1 + i)n. Uma série de pagamentos iguais (uma renda) avalia-se somando cada pagamento, o que dá as fórmulas das rendas.
Taxa e número de períodos
i = 0,06/12 = 0,005
N = 12·5 = 60
Valor atual
PV = FV/(1 + i)N = 25 000/1,349 = €18 534,30
Resposta
PV = €18 534,30
2.Valor temporal do dinheiro
Resposta: FV = 73089 €
Valor temporal do dinheiro: o dinheiro hoje vale mais do que a mesma quantia no futuro, porque pode render juros. Com uma taxa i por período, um montante cresce para FV = PV·(1 + i)n. Uma série de pagamentos iguais (uma renda) avalia-se somando cada pagamento, o que dá as fórmulas das rendas.
Fator de anuidade postecipada
((1 + 0,03)12 − 1)/0,03 = 14,19
Anuidade antecipada
Cada depósito fica investido um ano a mais.
FV = 5 000·14,19·1,03 = €73 088,95
Resposta
FV = €73 088,95
3.VAL e TIR
Resposta: NPV = −2346 €
Valor atual líquido: desconte cada fluxo de caixa até hoje com a rendibilidade exigida r e some-os: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Um projeto com NPV > 0 rende mais do que r e cria valor. A taxa interna de rendibilidade (TIR) é a taxa para a qual NPV = 0.
Valor atual de cada fluxo
CF0 = −75 000
CF1/(1 + 0,15)1 = 31 000/1,15 = 26 956,52
CF2/(1 + 0,15)2 = 30 000/1,322 = 22 684,31
CF3/(1 + 0,15)3 = 35 000/1,521 = 23 013,07
Somar
NPV = €−2 346,10
Resposta
NPV = €−2 346,10
O VAL é negativo, logo o projeto rende menos do que a rendibilidade exigida.
4.VAL e TIR
Resposta: IRR = 8,596 %
Valor atual líquido: desconte cada fluxo de caixa até hoje com a rendibilidade exigida r e some-os: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Um projeto com NPV > 0 rende mais do que r e cria valor. A taxa interna de rendibilidade (TIR) é a taxa para a qual NPV = 0.
Enquadrar a TIR
O VAL desce quando a taxa sobe, por isso a TIR está entre uma taxa com VAL positivo e outra com VAL negativo.
NPV(5%) = 2 358,28
NPV(10%) = −867,77
Aproximar
A interpolação linear dá uma primeira estimativa; repeti-la (ou usar a função TIR de uma calculadora) dá a taxa exata.
Precificação de títulos: o preço de um título é o valor presente dos seus fluxos de caixa, descontados ao rendimento até o vencimento (YTM): os cupons formam uma anuidade e o valor de face é devolvido no vencimento. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando o rendimento está acima da taxa de cupom, o título é negociado abaixo do valor de face, e vice-versa.
Por período
C = €22,50, i = 0,035, N = 18
Valor presente dos cupons
€22,50·(1 − 0,5384)/0,035 = €296,77
Valor presente do valor de face
€1 000·0,5384 = €538,36
Preço
P = €835,13
Resposta
P = €835,13
O rendimento está acima da taxa de cupom, então o título é vendido com deságio.
6.Preço e rendimento de títulos
Resposta: YTM = 5,983 %
Precificação de títulos: o preço de um título é o valor presente dos seus fluxos de caixa, descontados ao rendimento até o vencimento (YTM): os cupons formam uma anuidade e o valor de face é devolvido no vencimento. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando o rendimento está acima da taxa de cupom, o título é negociado abaixo do valor de face, e vice-versa.
Equação do rendimento
€1 085 = €80·(1 − (1 + y)⁻⁵)/y + €1 000/(1 + y)⁵
Resolva numericamente
P(5%) = €1 129,88, P(6%) = €1 084,25
YTM = 5,983%
Resposta
YTM = 5,983%
7.CAPM e WACC
Resposta: WACC = 6,855 %
Custo de capital: o CAPM dá o retorno exigido pelos acionistas: re = rf + β·(rm − rf). O custo médio ponderado de capital combina capital próprio e dívida pelos seus valores de mercado: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), com V = E + D. Os juros são dedutíveis do imposto, daí o (1 − T).
Pesos a partir de D/E
E/V = 1/(1 + 1) = 0,5
D/V = 1/(1 + 1) = 0,5
WACC
WACC = 0,5·10% + 0,5·5%·(1 − 0,258) = 6,855%
Resposta
WACC = 6,855%
8.CAPM e WACC
Resposta: WACC = 6,84 %
Custo de capital: o CAPM dá o retorno exigido pelos acionistas: re = rf + β·(rm − rf). O custo médio ponderado de capital combina capital próprio e dívida pelos seus valores de mercado: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), com V = E + D. Os juros são dedutíveis do imposto, daí o (1 − T).
Valores de mercado
E = 5 000 000·€24,50 = €122 500 000
D = 40 000·€1 000 = €40 000 000
Custo do capital próprio (CAPM)
re = 2% + 0,9·7% = 8,3%
Pesos
V = €162 500 000, E/V = 0,7538, D/V = 0,2462
WACC
WACC = 0,7538·8,3% + 0,2462·3%·(1 − 0,21) = 6,84%
Resposta
WACC = 6,84%
9.Análise do ponto crítico
Resposta: DOL = 2,667
Alavancagem operacional: os custos fixos fazem o lucro reagir mais fortemente que as vendas. O grau de alavancagem operacional DOL = margem de contribuição/lucro operacional indica que uma variação de 1% nas vendas muda o lucro em DOL %. Ele é muito alto logo acima do ponto de equilíbrio e diminui à medida que as vendas crescem.
Margem de contribuição total
CM = 8 000·(21 − 6) = €120 000
Lucro operacional
Π = 120 000 − 75 000 = €45 000
DOL
DOL = 120 000/45 000 = 2,667
Resposta
DOL = 2,667
10.Análise do ponto crítico
Resposta: MS = 20,21 %
Custo-volume-resultado: cada unidade vendida gera uma margem de contribuição, preço menos custo variável unitário. Resultado = Q·(p − v) − F, onde F é o custo fixo. No ponto crítico o resultado é zero, logo Q = F/(p − v).