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1Fórmulas e métodos
Valor temporal do dinheiro
Valor futuro
FV = PV·(1 + i)n
Valor atual
PV = FV/(1 + i)n
Vários períodos por ano
i = r/m, N = m·n
Anuidade, valor atual
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Anuidade, valor futuro
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Método
Desenhe uma linha do tempo com cada fluxo de caixa e o momento em que ocorre.
Ajuste a taxa ao período: uma taxa mensal para pagamentos mensais.
Use FV = PV·(1 + i)ⁿ para valores únicos e as fórmulas de anuidade para pagamentos iguais.
Verifique o sinal e a ordem de grandeza da resposta.
VAL e TIR
Valor atual líquido
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Fluxos iguais
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Taxa interna de retorno
o r em que NPV = 0
Decisão
aceitar se NPV > 0 (ou IRR > retorno exigido)
Método
Liste todos os fluxos de caixa com o seu ano; o investimento no ano 0 é negativo.
Desconte cada fluxo de caixa: CFt/(1 + r)t.
Some-os para obter o VPL. Positivo significa que o projeto rende mais que r.
Para a TIR, encontre a taxa que zera o VPL por tentativa ou interpolação.
Preço e rendimento de títulos
Preço do título
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Semestral
C/2, y/2 e 2n períodos
Rendimento corrente
C/P
Preço e rendimento
rendimento sobe → preço cai
Método
Encontre o cupom por período e o rendimento por período.
Preço = valor presente dos cupons (uma anuidade) + valor presente do valor de face.
Para cupons semestrais use metade do cupom, metade do rendimento e o dobro de períodos.
Verificação: se o rendimento está acima da taxa de cupom, o preço fica abaixo do valor de face.
CAPM e WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Valor da empresa
V = E + D
Análise do ponto crítico
Margem de contribuição
CM = p − v
Quantidade crítica
QBE = FC/(p − v)
Lucro pretendido
Q = (FC + profit)/(p − v)
Lucro
π = (p − v)·Q − FC
Margem de segurança
(Q − QBE)/Q
2Exercícios
1.Valor temporal do dinheiroMédia
Um cartão de crédito cobra uma taxa de juros nominal de 22% ao ano, capitalizada diária. Encontre a taxa efetiva anual EAR em porcentagem.
r = 22%m = 365
EAR = %
2.Valor temporal do dinheiroDifícil
Um financiamento imobiliário de €250 000 é pago em prestações mensais iguais ao longo de 25 anos a 3% ao ano, capitalizados mensalmente. Quanto ainda se deve logo após o pagamento do final do ano 7? Encontre o saldo devedor B.
P = €250 0003% / 12N = 300k = 84
B = €
3.VAL e TIRMédia
Um investimento de €60 000 gera estes fluxos no fim dos anos 1 a 4: €16 000, €17 000, €13 000, €26 000. O custo do capital é de 9 %. Calcule o valor atual líquido NPV.
Um projeto custa €20 000 e devolve €14 500, €12 000, €8 500 no fim dos anos 1 a 3. Calcule a sua taxa interna de rendibilidade IRR em percentagem.
CF0 = −20 000CF1 = 14 500CF2 = 12 000CF3 = 8 500
IRR = %
5.Preço e rendimento de títulosMédia
Um título com valor de face de €1 000 vence em 13 anos e paga cupons anuais. Ele é vendido a €582 quando o rendimento até o vencimento é 7%. Encontre a taxa de cupom c em porcentagem.
F = €1 000n = 13P = €582YTM = 7%
c = %
6.Preço e rendimento de títulosDifícil
Um título é negociado a €1 000 com rendimento até o vencimento de 3% (capitalização anual) e duration de Macaulay de 5,3 anos. Use a duration modificada para estimar o novo preço P se o rendimento cair 150 pontos-base.
P0 = €1 000y = 3%D = 5,3Δy = −150 bp
P = €
7.CAPM e WACCMédia
Uma empresa tem capital próprio de €5 000 000 e dívida de €5 000 000. Seu custo do capital próprio é 11%, seu custo da dívida antes dos impostos é 6% e a alíquota de imposto é 25%. Calcule o WACC.
Uma empresa tem capital próprio com valor de mercado de €15 000 000 e custo do capital próprio de 10%. Sua dívida consiste em 4 000 títulos (valor de face €1 000, cupom anual 7%, 12 anos até o vencimento) negociados a €1 129 cada. A alíquota de imposto é 20%. Encontre o WACC, usando o rendimento até o vencimento dos títulos como custo da dívida antes dos impostos.
Um produto vende-se a €55 por unidade com um custo variável de €45 por unidade. Os custos fixos são de €50 000 por mês. Quantas unidades Q é preciso vender por mês para ter um lucro de €10 000?
F = €50 000p = €55v = €45lucro = €10 000
Q = unidades
10.Análise do ponto críticoDifícil
Uma empresa vende 3 000 unidades por mês a €18 cada, com custo variável de €8 por unidade e custos fixos de €20 000 por mês. O custo variável aumenta €2 por unidade e o preço continua o mesmo. Quantas unidades Q precisam agora ser vendidas por mês para manter o mesmo lucro?
Q = 3 000p = €18v = €8 → €10F = €20 000
Q = unidades
3Soluções
1.Valor temporal do dinheiro
Resposta: EAR = 24,6 %
Valor temporal do dinheiro: o dinheiro hoje vale mais do que a mesma quantia no futuro, porque pode render juros. Com uma taxa i por período, um montante cresce para FV = PV·(1 + i)n. Uma série de pagamentos iguais (uma renda) avalia-se somando cada pagamento, o que dá as fórmulas das rendas.
Taxa por período
r/m = 0,22/365 = 0,0006027
Capitalize ao longo de um ano
EAR = (1 + 0,0006027)365 − 1 = 1,246 − 1 = 24,6%
Resposta
EAR = 24,6%
A taxa efetiva anual é sempre maior que a taxa nominal quando os juros são capitalizados mais de uma vez por ano.
2.Valor temporal do dinheiro
Resposta: B = 197679 €
Valor temporal do dinheiro: o dinheiro hoje vale mais do que a mesma quantia no futuro, porque pode render juros. Com uma taxa i por período, um montante cresce para FV = PV·(1 + i)n. Uma série de pagamentos iguais (uma renda) avalia-se somando cada pagamento, o que dá as fórmulas das rendas.
O que ainda se deve precisa ser quitado exatamente pelas prestações restantes.
N − k = 300 − 84 = 216
B = 1186·(1 − (1 + 0,0025)−216)/0,0025 = €197 679,21
Resposta
B = €197 679,21
3.VAL e TIR
Resposta: NPV = −2555 €
Valor atual líquido: desconte cada fluxo de caixa até hoje com a rendibilidade exigida r e some-os: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Um projeto com NPV > 0 rende mais do que r e cria valor. A taxa interna de rendibilidade (TIR) é a taxa para a qual NPV = 0.
Valor atual de cada fluxo
CF0 = −60 000
CF1/(1 + 0,09)1 = 16 000/1,09 = 14 678,90
CF2/(1 + 0,09)2 = 17 000/1,188 = 14 308,56
CF3/(1 + 0,09)3 = 13 000/1,295 = 10 038,39
CF4/(1 + 0,09)4 = 26 000/1,412 = 18 419,06
Somar
NPV = €−2 555,10
Resposta
NPV = €−2 555,10
O VAL é negativo, logo o projeto rende menos do que a rendibilidade exigida.
4.VAL e TIR
Resposta: IRR = 38,18 %
Valor atual líquido: desconte cada fluxo de caixa até hoje com a rendibilidade exigida r e some-os: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Um projeto com NPV > 0 rende mais do que r e cria valor. A taxa interna de rendibilidade (TIR) é a taxa para a qual NPV = 0.
Enquadrar a TIR
O VAL desce quando a taxa sobe, por isso a TIR está entre uma taxa com VAL positivo e outra com VAL negativo.
NPV(35%) = 779,86
NPV(40%) = −422,74
Aproximar
A interpolação linear dá uma primeira estimativa; repeti-la (ou usar a função TIR de uma calculadora) dá a taxa exata.
IRR ≈ 35 + 5·779,86/(779,86 − (−422,74)) = 38,24%
exato: NPV(38,18%) = 0 → IRR = 38,18%
Resposta
IRR = 38,18%
5.Preço e rendimento de títulos
Resposta: c = 1,999 %
Precificação de títulos: o preço de um título é o valor presente dos seus fluxos de caixa, descontados ao rendimento até o vencimento (YTM): os cupons formam uma anuidade e o valor de face é devolvido no vencimento. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando o rendimento está acima da taxa de cupom, o título é negociado abaixo do valor de face, e vice-versa.
Valor presente do valor de face
1000·(1 + 0,07)−13 = €414,96
Cupom
C = (582 − 414,96)/8,358 = €19,99
Taxa de cupom
c = 19,99/1000 = 1,999%
Resposta
c = 1,999%
6.Preço e rendimento de títulos
Resposta: P = 1077 €
Duration: a duration de Macaulay é o prazo médio ponderado em que um título paga seus fluxos de caixa, usando como pesos os valores presentes dos fluxos de caixa: D = Σ t·PVₜ/P. A duration modificada D/(1 + y) estima a variação percentual do preço para uma pequena variação do rendimento: %ΔP ≈ −Dmod·Δy.
Duration modificada
Dmod = 5,3/1,03 = 5,146
Variação estimada do preço
%ΔP ≈ −5,146·(−0,015) = 7,718%
P ≈ 1000·(1 + 0,07718) = €1 077,18
Resposta
P = €1 077,18
A duration é uma estimativa linear; para grandes variações de rendimento a convexidade torna o preço real um pouco mais alto.
7.CAPM e WACC
Resposta: WACC = 7,75 %
Custo de capital: o CAPM dá o retorno exigido pelos acionistas: re = rf + β·(rm − rf). O custo médio ponderado de capital combina capital próprio e dívida pelos seus valores de mercado: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), com V = E + D. Os juros são dedutíveis do imposto, daí o (1 − T).
Pesos
V = €10 000 000, E/V = 0,5, D/V = 0,5
WACC
WACC = 0,5·11% + 0,5·6%·(1 − 0,25) = 7,75%
Resposta
WACC = 7,75%
8.CAPM e WACC
Resposta: WACC = 8,705 %
Custo de capital: o CAPM dá o retorno exigido pelos acionistas: re = rf + β·(rm − rf). O custo médio ponderado de capital combina capital próprio e dívida pelos seus valores de mercado: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), com V = E + D. Os juros são dedutíveis do imposto, daí o (1 − T).
Custo-volume-resultado: cada unidade vendida gera uma margem de contribuição, preço menos custo variável unitário. Resultado = Q·(p − v) − F, onde F é o custo fixo. No ponto crítico o resultado é zero, logo Q = F/(p − v).
Custo-volume-resultado: cada unidade vendida gera uma margem de contribuição, preço menos custo variável unitário. Resultado = Q·(p − v) − F, onde F é o custo fixo. No ponto crítico o resultado é zero, logo Q = F/(p − v).